第32讲 锐角三角函数及其应用（讲义）（原卷版）

第32 讲 锐角三角函数及其应用 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 锐角三角函数 题型01 理解正弦、余弦、正切的概念 题型02 求角的正弦值 题型03 求角的余弦值 题型04 求角的正切值 题型05 已知正弦值求边长 题型06 已知余弦值求边长 题型07 已知正切值求边长 题型08 含特殊角的三角函数值的混合运算 题型09 求特殊角的三角函数值 题型10 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型11 用计算器求锐角三角函数值 题型12 已知角度比较三角函数值大小 题型13 根据三角函数值判断锐角的取值范围 题型14 利用同角三角函数关系求解 题型15 求证同角三角函数关系式 题型16 互余两角三角函数关系 考点二 解直角三角形 题型01 构造直角三角形解直角三角形 题型02 格中解直角三角形 题型03 在坐标系中解直角三角形 题型04 解直角三角形的相关计算 题型05 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 考点三 解直角三角形的应用 题型01 仰角、俯角问题 类型一 利用水平距离测量物体高度 类型二 测量底部可以到达的物体高度 类型三 测量底部不可到达的物体的高度 题型02 方位角问题 题型03 坡度坡比问题 题型04 坡度坡比与仰角俯角问题综合 考点要求 新课标要求 命题预测 锐角三角函数  利用相似的直角三角形，探索并认识锐角 三角函数(s，s，t)  知道 30°，45°，60°角的三角函数值  会使用计算器由已知锐角求它的三角函数 值，由已知三角函数值求它的对应锐角 锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考 点,其考察内容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定 义，②特殊角的三角函数值，③解直角三角形与其应用 等出题时除了会单独出题以外，还常和四边形、圆、格 图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型预 计2024 年各地中考还将以选题和综合题的形式出现，在 牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅 助线构造直角三角形，是得分的关键 解直角三角形  能用锐角三角函数解直角三角形，能用相 关知识解决一些简单的实际问题 解直角三角形 的应用 考点一 锐角三角函数 1 锐角三角函数的概念：锐角的正弦、余弦、正切都叫做∠的锐角三角函数．（其中：0＜∠＜90°） 2 正弦、余弦、正切的概念 定义 表达式 图形 正弦 sin A=∠A 的对边 斜边 sin A=a c a c b C B A 余弦 cos A=∠A 的邻边 斜边 cos A=b c 正切 tan A= ∠A 的对边 ∠A 的邻边 tan A=a b 3 锐角三角函数的关系： 在Rt△B 中，若∠为直角，则∠与∠B 互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系：tan A= sin A cos A ，sin 2 A+cos 2 A=1 2) 互余两角的三角函数关系：s = s B, s B = s , tan A • tan B=1 4 特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° ❑ √2 2 ❑ √3 2 cos α ❑ √3 2 ❑ √2 2 1 2 tan α ❑ √3 3 1 ❑ √3 【补充】表中是特殊角的三角函数值反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角 5 锐角三角函数的性质 性质 前提：0°＜∠＜90° s 随∠的增大而增大 s 随∠的增大而减小 t 随∠的增大而增大 1 若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省 略角的符号“∠”,如 t 、s 、s 若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的,则表示它的正弦、 余弦及正切时,不能省略角的符号“∠”,如s∠B，s∠2，t∠1 2 t 乘方时,一般写成tan n A,它与(tan A ) n含义相同(正弦、余弦相同) 3 锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的 而且由锐角三角函数的定义可知,其本质特征是两 条线段长的比因此,锐角三角函数只有数值,没有单位，它的大小只与角的大小有关，而与它所在的三 角形的边长无关 根据定义求 角 数值时 定根据题 图形来 解 严格按照 角 数的定义求解 有时需要通 题型01 理解正弦、余弦、正切的概念 【例1】（2022·湖北·统考模拟预测）如图，在Rt △ABC中，BD是斜边AC上的高，AB≠BC，则下列比 值中等于sin A的是（ ）． ．AD AB B．BD AD ．BD BC D．DC BC 【变式1-1】（2021·浙江杭州·统考一模）在△B 中，∠＝90°，BC AB =3 5，则（ ） ．s＝3 5 B．sB＝3 5 ．t＝4 3 D．tB＝4 3 【变式1-2】（2023·福建泉州·统考一模）在Rt △ABC中，∠C=90°，sin A=3 5，则cos A的值是 （ ） ．3 5 B．3 4 ．4 5 D．5 ❑ √34 34 【变式1-3】（2022·河北唐山·统考二模）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠α，叙述正确的 是（ ） ．sin α的值越大，梯子越陡 B．cosα的值越大，梯子越陡 ．tan α的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠α的函数值无关 【变式1-4】（2021·浙江杭州·统考三模）在△B 中，∠＝90°，∠、∠B、∠的对边分别是、b、，下列结 论正确的是（ ） ．b＝•s B．b＝•t ．＝•s D．＝•sB 【变式1-5】（2019·湖南邵阳·校联考一模）在Rt△B 中，∠＝90°，各边都扩大5 倍，则t 的值（ ） ．不变 B．扩大5 倍 ．缩小5 倍 D．不能确定 【变式1-6】（2021·辽宁抚顺·统考一模）如图，在△ABC中，∠＝90°，设∠，∠B，∠所对的边分别为， b，，则（ ） ．＝bsB B．b＝sB ．＝btB D．b＝tB 题型02 求角的正弦值 【例2】（2022·江西·模拟预测）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于 点C、D，若CD=12，PA=8，则sin∠ADB的值为（ ） ．4 5 B．3 5 ．3 4 D．4 3 【变式2-1】（2020·江苏扬州·统考模拟预测）如图，由边长为1 的小正方形构成的格中，点，B，都在格 点上，以B 为直径的圆经过点、D，则sin∠ADC的值为（ ） ．2❑ √13 13 B．3 ❑ √13 13 ．2 3 D．3 2 【变式2-2】（2020·山东聊城·统考模拟预测）如图，在4×5的正方形格中，每个小正方形的边长都是1， △ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（ ）． ．3 ❑ √5 5 B． ❑ √17 5 ．3 5 D．4 5 题型03 求角的余弦值 【例3】（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）如图，在4×4格正方形中，每个小正方形的边长为 1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是（ ） ． ❑ √5 5 B． ❑ √10 5 ．2❑ √5 5 D．4 5 【变式3-1】（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D 是⊙O的直径．若 CD=10，弦AC=6，则cos∠ABC的值为（ ） ．4 5 B．3 5 ．4 3 D．3 4 【变式3-2】（2023·内蒙古乌兰察布·校考模拟预测）如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1 的正方形 格上，则cos∠BAC的值为 ． 【变式3-3】（2022·广东中山·统考一模）如图，B 为 的直径，点在直径 ⊙ B 上（点与，B 两点不重合）， ＝3，点D 在 上且满足＝ ⊙ D，连接D 并延长到E 点，使BE＝BD． (1)求证：BE 是 的切线； ⊙ (2)若BE＝6，试求s∠D 的值． 题型04 求角的正切值 【例4】（2023·江苏扬州·统考二模）北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理 念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点，F，B，D，，E 是正六边形的六个顶点，则t∠BE＝ ． 【变式4-1】（2023·江苏苏州·校考二模）如图，AB为⊙O的直径，点是⊙O上一点，点D 是⊙O外一点， ∠BCD=∠BAC，连接OD交BC于点E． (1)求证：CD是⊙O的切线． (2)若CE=OA ,sin∠BAC= 4 5 ，求tan∠CEO的值． 【变式4-2】（2022·浙江绍兴·一模）如图，正方形BD 和正方形EFG 中，点D 在G 上，B=1，E=3，连接 F 交G 于点K，是F 的中点，连接． (1)求t∠GFK 的值； (2)求的长． 题型05 已知正弦值求边长 【例5】（2022·云南昆明·官渡六中校考一模）在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sin A=3 5，则 AB的长是（ ） ．500 3 B．503 5 ．60 D．80 【变式5-1】（2023·广东佛山·校联考模拟预测）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部 分示意图，现测得∠A=88°，∠C=42°，AB=60，则点到BC的距离为（ ） ．60sin50° B． 60 sin50° ．60cos50° D．60 tan50° 【变式5-2】（2020·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形B 的边在x 轴上，点A(10,0)， sin∠COA= 4 5 ．若反比例函数y= k x (k>0, x>0)经过点，则k 的值等于（ ） ．10 B．24 ．48 D．50 题型06 已知余弦值求边长 【例6】（2022·广西南宁·南宁二中校考三模）如图，在△ABC中，∠C=90° ,cos A= ❑ √3 2 , AC=4 ❑ √3， 则AB长为（ ） ．4 B．8 ．8 ❑ √3 D．12 【变式6-1】（2016·内蒙古鄂尔多斯·统考二模）如图，在△B 中，B＝＝10，点D 是边B 上一动点（不与 B、重合），∠DE＝∠B＝α，DE 交于点E，且sα＝4 5 ，则线段E 的最大值为 ． 【变式6-2】（2020·广东广州·统考一模）如图所示，ABCD为平行四边形，AD=13，AB=25， ∠DAB=α，且cosα= 5 13，点E为直线CD上一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，连接 CF． （1）求平行四边形ABCD的面积； （2）当点C，B，F三点共线时，设EF与AB相交于点G，求线段BG的长； （3）求线段CF的长度的最小值． 题型07 已知正切值求边长 【例7】（2021·江苏无锡·统考一模）如图，在△B 中，∠B＝90°，t∠B＝1 2，D＝2，BD＝4，连接D，则 D 长的最大值是（ ） ．2❑ √5+ 3 4 B．2❑ √5+1 ．2❑ √5+ 3 2 D．2❑ √5＋2 【变式7-1】（2023·山东日照·校考三模）如图，点，，D，B 在 上，＝ ⊙ B，∠B＝90°．若D＝，t∠BD＝ 1 3，则D 的长是 ． 【变式7-2】（2023·江西萍乡·统考二模）如图，点在第一象限，AC ⊥x轴，垂足为，OA=2❑ √5， tan A=1 2，反比例函数y= k x 的图像经过OA的中点B，与AC交于点D． (1)求k 值； (2)求△OBD的面积． 【变式7-3】（2021·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，已知，在△B 中，为B 上一点，平分∠B，以为圆心，B 长为半径作 ， 与 ⊙ ⊙ B 相切于点B，交于点D，延长交 于点 ⊙ E，连接BD，BE． （1）求证：是 的切线． ⊙ （2）若t∠BDE¿2，B=6，求 的半径． ⊙ 题型08 含特殊角的三角函数值的混合运算 【例8】（2022·贵州·模拟预测）计算❑ √8+¿−2∨×cos 45°的结果，正确的是（ ） ．❑ √2 B．3 ❑ √2 ．2❑ √2+❑ √3 D．2❑ √2+2 【变式8-1】（2023·湖南株洲·校考一模）计算：( 1 2) −1 +❑ √12−¿4sin 60°． 【变式8-2】（2023·山东济南·模拟预测）计算：❑ √12+(3.14−π ) 0−3 tan 60°+|1−❑ √3|+(−2) −2． 【变式8-3】（2023·山东聊城·统考一模）先化简，再求值：(a+1− 3 a−1)÷ a 2+4 a+4 a−1 ，其中 a=tan 45°+( 1 2 ) −1 −π 0 题型09 求特殊角的三角函数值 【例9】（2023·山东淄博·统考一模）在实数❑ √2，x0（x≠0），s30°，3 √8中，有理数的个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式9-1】（2023·广东潮州·二模）计算¿1−tan 60°∨¿的值为（ ） ．1−❑ √3 B．0 ．❑ √3−1 D．1− ❑ √3 3 题型10 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【例10】（2022·湖南衡阳·校考模拟预测）在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且 |tan B−❑ √3|+(2cos A−❑ √3) 2=0，则△ABC是（ ） ．等腰三角形 B．等边三角形 ．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式10-1】（2021·广东广州·广州大学附属中学校考二模）在△ABC中，sin A=cos (90°−C )= ❑ √2 2 ， 则△ABC的形状是（ ） ．锐角三角形 B．直角三角形 ．钝角三角形 D．不确定 【变式10-2】（2020·四川自贡·校考一模）在△ABC中，若|sin A− ❑ √3 2 |+( 1 2−cos B) 2 =0，∠A，∠B 都是锐角，则△ABC是 三角形． 题型11 用计算器求锐角三角函数值 【例11】（2022·山东烟台·统考一模）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算s36°18＇，按键顺序正 确的是（ ） ． B． ． D． 【变式11-1】（2023·山东淄博·统考一模）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知 楼梯共有五级均匀分布的台阶，高B＝075m，斜坡的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边 缘离楼梯底部的最短距离ED＝255m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果 精确到1） （参考数据表） 计算器按键顺序 计算结果（已精确到0001） 11310 0003 14744 0005 题型12 已知角度比较三角函数值大小 【例12】（2022·上海·校考模拟预测）如果锐角的度数是25°，那么下列结论中正确的是（ ） ．0<sin A< 1 2 B．0<cos A< ❑ √3 2 ． ❑ √3 3 <tan A<1 D．1<cot A<❑ √3 【变式12-1】（2020·江苏扬州·统考一模）比较大小：sin 81 ∘ tan 47°(填“¿”“¿”或“＞”) 【变式12-2】（2020·内蒙古·统考二模）在直角三角形B 中，角为直角，锐角的余弦函数定义为 ，写出 s70º、s40º、s50º 的大小关系 ． 题型13 根据三角函数值判断锐角的取值范围 【例13】（2023·陕西西安·校考三模）若t=2，则∠的度数估计在（ ） ．在0°和30°之间 B．在30° 和45°之间 ．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间 【变式13-1】（2022·浙江金华·校联考一模）若∠是锐角，且s＝1 3，则（ ） ．0°＜∠＜30° B．30°＜∠＜45° ．45°＜∠＜60° D．60°＜∠＜90° 【变式13-2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）若s 1=08 ∠ ，则∠1 的度数在（ ）范围内． ．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° ．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90° 【变式13-3】（2021·安徽安庆·统考一模）若锐角α 满足sα＜ ❑ √2 2 且tα＜❑ √3，则α 的范围是( ) ．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° ．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60° 题型14 利用同角三角函数关系求解 【例14】（2021·江苏扬州·统考一模）已知∠α为锐角，且sin α= 5 13，则cosα=¿ ． 【变式14-1】（2023·广东东莞·统考三模）如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处． 已知CF=4，sin∠EFC=3 5，则BF=¿ ． 题型15 求证同角三角函数关系式 【例15】（2021·北京·统考一模）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO=BO． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）∠BDC的平分线DM交BC于点M，当AB=3，tan∠DBC= 3 4 时，求CM的长． 【变式15-1】（2022·福建福州·福建省福州屏东中学校考模拟预测）求证：若α为锐角，则 sin 2α+cos 2α=1．要求： (1)如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，∠ACB为90°的Rt △ABC（保 留作图痕迹，不写作法）． (2)根据（1）中所画图形证明该命题． 【变式15-2】（2023·河北保定·统考二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果： sin 27°+sin 283°≈0.12 2+0.99 2=0.9945， sin 222°+sin 268°≈0.37 2+0.93 2=1.0018， sin 29°+sin 261°≈0.48 2+0.87 2=0.9873， sin37°+sin 253°≈0.60 2+0.80 2=1.0000， sin 245°+sin 245=( ❑ √2 2 ) 2 +( ❑ √2 2 ) 2 =1． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角α，β，若α+β=90°，均有sin 2α+sin 2 β=1． (1)当α=30°，β=60°时，验证sin 2α+sin 2 β=1是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示Rt △ABC给予证明，其中∠A所对的边为a，∠B所 对的边为b，斜边为c；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出tan α与sin α，cosα之间的关系． 题型16 互余两角三角函数关系 【例16】（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）化简❑ √(sin 28°−cos28° ) 2等于（ ） ．sin 28°−cos28° B．0 ．cos28°−sin 28° D．以上都不对 【变式16-1】（2023·四川成都·成都实外校考一模）已知sin 42°≈2 3，则cos 48°的值约为（ ） ． ❑ √5 3