第32讲 锐角三角函数及其应用（练习）（原卷版）

第32 讲 锐角三角函数及其应用 目 录 题型01 理解正弦、余弦、正切的概念 题型02 求角的正弦值 题型03 求角的余弦值 题型04 求角的正切值 题型05 已知正弦值求边长 题型06 已知余弦值求边长 题型07 已知正切值求边长 题型08 含特殊角的三角函数值的混合运算 题型09 求特殊角的三角函数值 题型10 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型11 用计算器求锐角三角函数值 题型12 根据特殊角的三角函数值求角的度数 题型13 已知角度比较三角函数值大小 题型14 根据三角函数值判断锐角的取值范围 题型15 利用同角三角函数关系求解 题型16 互余两角三角函数关系 题型17 构造直角三角形解直角三角形 题型18 格中解直角三角形 题型19 在坐标系中解直角三角形 题型20 解直角三角形的相关计算 题型21 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型22 仰角、俯角问题 题型23 方位角问题 题型24 坡度坡比问题 题型25 坡度坡比与仰角俯角问题综合 题型01 理解正弦、余弦、正切的概念 1．（2022·湖北·统考模拟预测）如图，在Rt △ABC中，BD是斜边AC上的高，AB≠BC，则下列比值中 等于sin A的是（ ）． ．AD AB B．BD AD ．BD BC D．DC BC 2．（2023·安徽合肥·一模）一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5 米，此时钢球距地面的高度是（单位： 米）（ ） ．5cos31° B．5sin31° ． 5 sin31° D．5 tan31° 3．（2023·湖北宜昌·统考二模）如图，在Rt△B 中，D 是斜边B 上的高，∠≠45°，则下列比值中不等于 cos B的是（ ） ．CD AC B．BD CB ．CD CB D．CB AB 题型02 求角的正弦值 1．（2022·山东济宁·统考二模）如图，AB为⊙O的直径，点P 在AB的延长线上，PC , PD与⊙O相切， 切点分别为，D．若AB=6, PC=4，则sin∠CAD等于（ ） ．3 5 B．2 5 ．3 4 D．4 5 2．（2017·广东东莞·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,3)，那么sin α的值是 （ ） ．3 4 B．4 3 ．4 5 D．3 5 3．（2023·浙江金华·校考一模）如图，在6×6正方形格中，△ABC的顶点A、B、C都在格线上，且都是 小正方形边的中点，则sin A=¿ ． 题型03 求角的余弦值 1．（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D 是⊙O的直径．若CD=10，弦 AC=6，则cos∠ABC的值为（ ） ．4 5 B．3 5 ．4 3 D．3 4 2．（2022·安徽合肥·统考二模）如图，在△B 中，B=，∠=36°，BD 平分∠B，交于点D，则s=（ ） ． ❑ √5−1 4 B． ❑ √5+1 4 ． ❑ √5−1 2 D．3−❑ √5 2 3．（2022·河北·模拟预测）在△B 中，∠＝90°，若tB＝075，则s 的值为（ ） ．05 B．06 ．08 D． ❑ √3 2 题型04 求角的正切值 1．（2022·广东广州·广东实验中学校考二模）如图，由边长为1 的小正方形组成的格中，点，B，都在格 点上，以B 为直径的圆经过点和点D，则t∠D＝（ ） ．4 3 B． ❑ √3 2 ．1 D．3 2 2．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点，B 分别在x 轴负半轴和y 轴 正半轴上，点在B 上，OC :BC=1:2，连接，过点作OP∥AB交的延长线于P．若P (1,1)，则 tan∠OAP的值是（ ） ． ❑ √3 3 B． ❑ √2 2 ．1 3 D．3 3．（2023·山东枣庄·统考一模）如图，D 是平面镜，光线从点出发经D 上点反射后照射到B 点，若入射角 为α，反射角为β（反射角等于入射角），⊥D 于点，BD⊥D 于点D，且＝3，BD＝6，D＝12，则tα 的值 为 ． 题型05 已知正弦值求边长 1．（2022·安徽合肥·统考二模）图，在Rt△B 中，∠B=90°，E 是斜边B 上的中线，过点E 作EF⊥B 交于点 F，若B=4，s∠EF=3 5 ，则△EF 的面积为（ ） ．3 B．4 ．5 D．6 2．（2020·山东潍坊·统考二模）如图，以直角坐标系的原点为圆心，以1 为半径作圆．若点P 是该圆上第 一象限内的一点，且P 与x 轴正方向组成的角为α，则点P 的坐标为（ ） ．(cosα ,1) B．(1,sin α ) ．(sin α ,cosα ) D．(cosα ,sin α ) 3．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，在△B 中，B=，以边为直径作⊙交B 于点D，过点D 作DE⊥AB 交B 于点E，交的延长线于点F． (1)求证：DE 是⊙的切线； (2)若EB=1，且sin∠CFD=3 5 ，求DF 的长． 题型06 已知余弦值求边长 1．（2022·广西南宁·南宁二中校考三模）如图，在△ABC中，∠C=90° ,cos A= ❑ √3 2 , AC=4 ❑ √3，则 AB长为（ ） ．4 B．8 ．8 ❑ √3 D．12 2．（2022·北京西城·统考二模）如图，菱形BD 的对角线，BD 交于点，点E，F 分别在D，B 的延长线上， 且BE⊥ED，F=E． (1)求证：四边形EBFD 是矩形； (2)若AB=5，cos∠OBC= 4 5 ，求BF 的长． 3．（2022·陕西·校联考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点在⊙O上且不与点，B 重合，CD是⊙O 的切线，过点B 作BD⊥CD于点D，交⊙O于点E． (1)证明：点是´ AE的中点； (2)若BD=4，cos∠ABD=1 3 ，求⊙O的半径． 题型07 已知正切值求边长 1．（2021·江苏无锡·统考一模）如图，在△B 中，∠B＝90°，t∠B＝1 2 ，D＝2，BD＝4，连接D，则D 长的 最大值是（ ） ．2❑ √5+ 3 4 B．2❑ √5+1 ．2❑ √5+ 3 2 D．2❑ √5＋2 2．（2022·广东深圳·统考二模）如图，直角△ABC中，∠C=90°，根据作图痕迹，若CA=3cm， tan B= 3 4 ，则DE=¿ m． 3．（2023·江苏泰州·统考一模）如图，△B 内接于⊙，P 是⊙的直径B 延长线上一点，∠PB=∠，过点作B 的平行线交P 的延长线于点D． (1)试判断P 与⊙的位置关系，并说明理由； (2)若P＝4，t＝1 2 ，求△D 的面积． 题型08 含特殊角的三角函数值的混合运算 1．（2022·广东珠海·珠海市第九中学校考一模）计算：6sin 45°−¿1−❑ √2∨−❑ √8×(π−2021) 0−( 1 2 ) −2 ． 2．（2022·江西·模拟预测）（1）计算：(−1) −3+ 3 √8+|2−❑ √5|+( π 2 −1.57) 0 −❑ √20； （2）先化简，再求值：x 2+2 x+1 x−2022 ÷ x 2−1 x−2022−( 1 x−1 +1)，其中x=cos60°． 3．（2023·河南商丘·校考二模）先化简，再求值：( a 2−2a a 2−1 −1)÷ 2a−1 a+1 ，其中a=2cos30°+1． 题型09 求特殊角的三角函数值 1．（2022·贵州铜仁·统考二模）tan30°的值等于（ ） ． ❑ √3 3 B． ❑ √2 2 ．1 D．2 2．（2022·天津滨海新·统考二模）2sin 45°的值等于（ ） ． ❑ √2 2 B． ❑ √3 3 ．1 D．❑ √2 题型10 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 3．（2021·贵州黔西·统考模拟预测）在△ABC中，若∠A，∠B都是锐角，且sin A=1 2 ，cos B=1 2 ，则 △ABC的形状是（ ） ．钝角三角形 B．等腰三角形 ．锐角三角形 D．直角三角形 2．（2020·四川自贡·校考一模）在△ABC中，若|sin A− ❑ √3 2 |+( 1 2−cos B) 2 =0，∠A，∠B都是锐角， 则△ABC是 三角形． 3．（2019·四川自贡·统考一模）在△B 中，（s﹣1 2 ）2+|tB 1| ﹣＝0，则∠＝ ． 4．（2022·河北·模拟预测）已知△ABC中，∠A 、∠B都是锐角，且(cos A−1 2) 2 +|tan B−1|=0， (1)分别求出三个内角度数； (2)若AC=2，求AB长度． 题型11 用计算器求锐角三角函数值 1．（2023·山东威海·统考一模）利用科学计算器计算1 2 cos35°，下列按键顺序正确的是（ ） ． B． ． D． 2．（2023·山东烟台·统考二模）运用我们课本上采用的计算器进行计算时，下列说法不正确的是（ ） ．计算❑ √5的按键顺序依次为 B．要打开计算器并启动其统计计算功能应按的键是 ．启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键 D．用计算器计算时，依次按如下各键 ，最后显示 结果是05 3．（2020·山东淄博·统考一模）运用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下，则计算器显示的结果是 ． 题型12 根据特殊角的三角函数值求角的度数 1．（2021·广东广州·校联考二模）已知∠是锐角，且1 2s ﹣ ＝0，则∠＝ ． 2．（2023·广东佛山·校考一模）若t（- 10°）＝1，则锐角= 题型13 已知角度比较三角函数值大小 1．（2019·江苏南京·统考一模）如图，在Rt△B 中，∠＝90°，∠＞∠B，则下列结论正确的是( ) ．s＜sB B．s＜sB ．t＜tB D．s＜s 2．（2020·四川成都·校考模拟预测）比较大小：sin54° cos35°（填“¿”“¿”）． 3．（2017·四川遂宁·统考一模）化简：❑ √(1−sin52°) 2− ❑ √(1−tan52°) 2的结果是 ．tan52°−sin52° B．sin52°−tan52° ．2−sin52°−tan52° D．−sin52°−tan52° 题型14 根据三角函数值判断锐角的取值范围 1．（2023·陕西西安·校考三模）若t=2，则∠的度数估计在（ ） ．在0°和30°之间 B．在30° 和45°之间 ．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间 2．（2021·安徽安庆·统考一模）若锐角α 满足sα＜ ❑ √2 2 且tα＜❑ √3，则α 的范围是( ) ．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° ．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60° 题型15 利用同角三角函数关系求解 1．（2022·河北石家庄·校考模拟预测）如图，在Rt △ABC中，∠BAC=90° , AD⊥BC于点D，若 BD:CD=3:2，则tan∠DAC的值为（ ） ．2 3 B． ❑ √6 3 ． ❑ √6 2 D． ❑ √15 3 2．（2023·吉林松原·统考一模）在Rt△B 中，∠＝90°，s＝4 5 ，则t＝ ． 3．（2019·浙江杭州·模拟预测）α为锐角，则sin 2α+cos 2α=¿ ．若sin α=cos 40°，则锐角α=¿ ． 4．（2018·浙江宁波·统考一模）如图，△B 中，以B 为直径的⊙交B 于点D，E 平分∠B 交B 于点E，交D 于点F．且E=F． （1）求证：直线是⊙的切线； （2）若BD=4 3 D，求DF CF 的值． 题型16 互余两角三角函数关系 1．（2018·山东聊城·统考一模）在Rt△B 中，∠=90°，如果sin A=1 3 ，那么sin B的值是( ) ．2❑ √2 3 B．2❑ √2 ． ❑ √2 4 D．3 2．（2023·云南昆明·校考三模）在Rt △ABC中，∠C=90°，sin A=6 7 ，则cos B=¿ ． 3．（2022·湖南湘潭·校考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式： sin (α−β )=sin α cos β−cosα sin β，sin (α+β )=sin α cos β+cosα sin β； cos (a−β )=cosα cos β+sin α sin β，cos (α+β )=cosα cos β−sin α sin β． 例：sin15°=sin (45°−30° )=sin 45° cos30°−cos 45° sin30°= ❑ √6−❑ √2 4 ． (1)试仿照例题，求出cos75°的值； (2)若已知锐角α 满足条件sin α=1 3 ，求sin 2α的值． 4．（2020·广东惠州·统考一模）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题： 如图1：sin 2∠A1+sin 2∠B1= 如图2：sin 2∠A2+sin 2∠B2= 如图3：sin 2∠A3+sin 2∠B3=¿ ①观察上述等式，猜想：如图4，在Rt △ABC中，∠C =90°，都有sin 2∠A +sin 2∠B= ； ②如图4，在Rt △ABC中，∠C =90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定 义和勾股定理，证明你的猜想； ③已知：∠A +∠B=90°，且sin∠A =0.7，求sin∠B． 题型17 构造直角三角形解直角三角形 1．（2022·河北保定·统考一模）如图1，在6×4 的小正方形格中，小正方形的边长都为1，Δ ABC的顶点 均在格点上，利用四边形的不稳定性，将格变化成小菱形格，且小菱形的较小角为60°，Δ ABC也相应地 变成了△A ' B 'C '，如图2，则△A ' B 'C '的面积为（ ） ．3 B．3 2 ❑ √3 ．3 2 ❑ √15 D．3 4 ❑ √10 2．（2021·江苏常州·统考二模）在锐角△B 中，∠B＝60°，B＝2❑ √7，B＝6，则∠B 的正切值为 ． 3．（2022 上·山东泰安·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A=45°，tan B= 3 4 ，BC=10，则B 的长为 ． 4．（2018·黑龙江哈尔滨·统考一模）在△B 中，B=2，=3，s∠B=2❑ √2 3 ，则∠B 的大小为 度． 5．（2021 上·浙江湖州·九年级统考期末）根据新冠疫情的防疫需要，学校需要做到经常开窗通风．如图 1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM上的点A处，另一端B在边ON上滑动，如图2 为 某一位置从上往下看的平面图，测得此时∠ABO是45°，AB长为20m．（参考数据：sin37°≈0.6， cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，❑ √2≈1.4，结果精确到1m） （1）求固定点A到窗框OB的距离； （2）若测得∠AOB=37°，求OA的长度． 题型18 格中解直角三角形 1．（2022·辽宁鞍山·统考二模）如图，在由边长为1 的小正方形组成的格中，一条弧经过格点（格线的交 点），B，D，点为弧BD上一点．若∠CAD=30°，则阴影部分的面积为（ ） ．5 6 π+ 5 4 ❑ √3 B．5 6 π+ 13 4 ❑ √3 ．13 6 π+ 5 4 ❑ √3 D．13 6 π+ 13 4 ❑ √3 2．（2021·福建·统考模拟预测）如图，△B 的三个顶点在边长为1 的正方形格的格点上，则s∠BAC= ． 3．（2020·甘肃天水·统考中考真题）如图所示，∠AOB是放置在正方形格中的一个角，则sin∠AOB的 值是 ． 题型19 在坐标系中解直角三角形 1．（2023·安徽·统考模拟预测）如图，在Rt △OAB中，∠A=90°，∠ABO=60°，点B的坐标为 (−2，0)，若反比例函数y= k x 经过点A．则k=¿ ． 2．（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图，含30°角的直角三角尺的斜边OA在y轴上，点O是坐标原点， 点A的坐标为(0,8)，∠OAB=30°，直角顶点B在第一象限，把直角三角尺OAB绕点O顺时针旋转75°得 到△O A ' B '，则点B的对应点B '的坐标为 ． 3（2023·广东梅州·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点，与x 轴、y 轴分别交于、 B 两点，点B 坐标为 (0,2❑ √3)，OC与⊙D交于点，∠OCA=30°，则圆中阴影部分的面积为 ． 4．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考模拟预测）某款沙发三视图如图1 所示，将沙发侧面展 示图简化后放入平面直角坐标系，得到图2．其中椅背AB是双曲线y= k x (k>0)的一部分，椅面BD是一条 线段，点B (20,32)，沙发腿DE⊥x轴、BC与x 轴夹角为α．请你根据图形解决以下问题： （1）k＝ ； （2）过点作AF ⊥x轴于点F．已知CF=4 cm，DE=40 cm，tan α=4，tan D=5．则 ①点坐标为 ； ②沙发的外包装箱是一个长方体，则这个包装箱的体积至少是 cm 3（精确到万位，并用科学记数法 表示）． 题型20 解直角三角形的相关计算 1．（2020·浙江杭州·统考中考真题）如图，已知B 是⊙的直径，B 与⊙相切于点B，连接，．若s∠B＝1 3 ，则t∠B＝ ． 2．（2022·广东广州·统考二模）如图，正方形BD 边长为3，点E 在边B 上，以E 为旋转中心，将E 逆时 针旋转90°得到EF，D 与FE 交于P 点．若tan∠BCE=1 3 ，则PF 的值为 ． 3．（2020·浙江金华·统考中考真题）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六 边形的边重合，点，B，均为正六边形的顶点，B 与地面B 所成的锐角为β，则tβ 的值是 ． 4．（2020·内蒙古·中考真题）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE． 若∠ADB=30°，则如tan∠DEC的值为 ． 题型21 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 1．（2019·江苏苏州