专题22.4 二次函数与一元二次方程【六大题型】（原卷版）

专题224 二次函数与一元二次方程【六大题型】 【人版】 【题型1 抛物线与x 轴的交点情况】......................................................................................................................1 【题型2 抛物线与x 轴交点上的四点问题】..........................................................................................................2 【题型3 由二次函数解一元二次方程】................................................................................................................. 3 【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】......................................................................................3 【题型5 由二次函数的图象解不等式】................................................................................................................. 4 【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】..............................................................................................5 【知识点1 二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x 轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线 与x 轴交于 ， 两 点，且 ， 此时称抛物线与x 轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线 与x 轴交切于 这一点，此时称 抛物线与x 轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线 与x 轴无交点，此时称抛物线与x 轴相 离 一元二次方程 在实数范围内无解（或 称无实数根） 【题型1 抛物线与x 轴的交点情况】 【例1】（2022 春•西湖区校级期末）抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+与x 轴只有一个交 点（x1，0）．下列式子中正确的是（ ） ．x1﹣x2＝m B．x2﹣x1＝m ．m（x1﹣x2）＝ D．m（x1+x2）＝ 【变式1-1】（2022 春•澧县校级月考）抛物线y＝x2+2x 3 ﹣与坐标轴的交点个数有（ ） 1 ．0 个 B．1 个 ．2 个 D．3 个 【变式1-2】（2022•广阳区一模）已知抛物线y＝﹣3x2+bx+与x 轴只有一个交点，且过点 （m 2 ﹣，），B（m+4，），则的值为（ ） ．﹣9 B．﹣16 ．﹣18 D．﹣27 【变式1-3】（2022 春•汉滨区期中）已知抛物线y＝x2+bx+与x 轴的两个交点之间的距离为 6，对称轴为x＝3，则抛物线的顶点P 关于x 轴对称的点P'的坐标是（ ） ．（3，9） B．（3，﹣9） ．（﹣3，9） D．（﹣3，﹣9） 【题型2 抛物线与x 轴交点上的四点问题】 【例2】（2022•武汉模拟）二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，一元二次方程问题 有时可以转化为二次函数问题．请你根据这句话所提供的思想方法解决如下问题：若 s，t（s＜t）是关于x 的方程1+（x﹣m）（x﹣）＝0 的两根，且m＜，则m，，s，t 的 大小关系是（ ） ．s＜m＜＜t B．m＜s＜＜t ．m＜s＜t＜ D．s＜m＜t＜ 【变式2-1】（2022•定远县模拟）二次函数y＝x2+bx+（≠0）的部分图象如图所示，图象 过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，方程（x+1）（x 5 ﹣）＝﹣3 的两根为x1和x2， 且x1＜x2，则下列结论正确的是（ ） ．x1＜﹣1＜5＜x2 B．x1＜﹣1＜x2＜5 ．﹣1＜x1＜5＜x2 D．﹣1＜x1＜x2＜5 【变式2-2】（2022•张店区期末）已知二次函数y＝（x 1 ﹣）2﹣t2（t 是常数，且t≠0），方 程（x 1 ﹣）2﹣t2 1 ﹣＝0 的两根分别为m，（m＜），方程（x 1 ﹣）2﹣t2 3 ﹣＝0 的两根分 别为p，q（p＜q），判断m，，p，q 的大小关系是（ ） ．p＜q＜m＜ B．p＜m＜＜q ．m＜p＜q＜ D．m＜＜p＜q 【变式2-3】（2022•河东区期末）已知抛物线y＝x2+bx+的图象与x 轴的两交点的横坐标分 别α，β（α＜β），而x2+bx+ 2 ﹣＝0 的两根为M、（M＜），则α、β、M、的大小顺序 为（ ） ．α＜β＜M＜ B．M＜α＜β＜ ．α＜M＜β＜ D．M＜α＜＜β 【题型3 由二次函数解一元二次方程】 【例3】（2022•娄底一模）已知二次函数y＝x2+bx+的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点， 关于x 的方程x2+bx++m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．则关于x 的方程 x2+bx++＝0（0＜＜m）有两个整数根，这两个整数根是（ ） 1 ．﹣2 或4 B．﹣2 或0 ．0 或4 D．﹣2 或5 【变式3-1】（2022•潮南区模拟）已知二次函数y＝x2 2 ﹣x+（≠0）的图象与x 轴的一个交 点为（﹣1，0），则关于x 的一元二次方程x2 2 ﹣x+＝0 的根是 ． 【变式3-2】（2022•咸宁一模）已知二次函数y＝x2+bx+（、b、为常数，且≠0）的y 与x 的部分对应值如下表： x 5 ﹣ 4 ﹣ 2 ﹣ 0 2 y 6 0 6 ﹣ 4 ﹣ 6 则关于x 的一元二次方程x2+bx+＝0 的根是 ． 【变式3-3】（2022•永嘉县校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+的图象经过（﹣1，0）与 （5，0）两点，且关于x 的方程﹣x2+bx++d＝0 有两个根，其中一个根是6，则d 的值为 （ ） ．5 B．7 ．12 D．﹣7 【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】 （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 【例4】（2022•平度市期末）如表给出了二次函数y＝x2+2x 10 ﹣ 中x，y 的一些对应值，则 可以估计一元二次方程x2+2x 10 ﹣ ＝0 的一个近似解为（ ） x … 21 22 23 24 25 … y … 139 ﹣ 076 ﹣ 011 ﹣ 056 125 … ．22 B．23 ．24 D．25 【变式4-1】（2022•灌云县期末）已知二次函数y＝x2+bx+中，函数y 与自变量x 的部分对 应值如表，则方程x2+bx+＝0 的一个解的范围是 ． x 617 618 619 620 y 003 ﹣ 001 ﹣ 002 004 【变式4-2】（2022•渠县一模）如图，是二次函数y＝x2+bx﹣的部分图象，由图象可知关 于x 的一元二次方程x2+bx＝的两个根可能是 ．（精确到01） 1 【变式4-3】（2022 秋•萍乡期末）代数式x2+bx+（≠0，，b，是常数）中，x 与x2+bx+的 对应值如下表： x 1 ﹣ −1 2 0 1 2 1 3 2 2 5 2 3 x2+bx+ 2 ﹣ −1 4 1 7 4 2 7 4 1 −1 4 2 ﹣ 请判断一元二次方程x2+bx+＝0（≠0，，b，是常数）的两个根x1，x2的取值范围是下列 选项中的（ ） ．−1 2 ＜x1＜0，3 2 ＜x2＜2 B．﹣1＜x1＜−1 2，2＜x2＜5 2 ．−1 2 ＜x1＜0，2＜x2＜5 2 D．﹣1＜x1＜−1 2，3 2 ＜x2＜2 【题型5 由二次函数的图象解不等式】 【例5】（2022 秋•垦利区期末）如图，抛物线y＝x2+与直线y＝mx+交于（﹣1，p），B （3，q）两点，则不等式x2﹣mx+＜的解集为（ ） ．x＞﹣1 B．x＜3 ．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3 或x＞1 【变式5-1】（2022•定远县二模）抛物线y＝x2+bx+（≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如下表： x … 2 ﹣ 1 ﹣ 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 请求出当y＜0 时x 的取值范围 ． 1 【变式5-2】（2022•工业区校级模拟）若二次函数y＝x2+bx+（、b、为常数）的图象如图 所示，则关于x 的不等式（x+2）2+b（x+2）+＜0 的解集为 ． 【变式5-3】（2022•驿城区校级期末）如图，二次函数y＝x2 4 ﹣x+m 的图象与y 轴交于点， 点B 是点关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b 的图象经过该 二次函数图象上点（1，0）及点B．则满足kx+b≥x2 4 ﹣x+m 的x 的取值范围是（ ） ．x≤1 或x≥4 B．1≤x≤4 ．x≤1 或x≥5 D．1≤x≤5 【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】 【例6】（2022•虞城县三模）已知抛物线y＝（x 2 ﹣）2+（＞0）． （1）若抛物线与直线y＝mx+交于（1，0），（5，8）两点． ①求抛物线和直线的函数解析式； ②直接写出当（x 2 ﹣）2+＞mx+时自变量x 的取值范围． （2）若＝，线段B 的两个端点坐标分别为（0，3），B（3，3），当抛物线与线段B 有 唯一公共点时，直接写出的取值范围． 【变式6-1】（2022•余姚市一模）已知：一次函数y1＝2x 2 ﹣，二次函数y2＝﹣x2+bx+ （b，为常数）， （1）如图，两函数图象交于点（3，m），（，﹣6）．求二次函数的表达式，并写出当 1 y1＜y2时x 的取值范围． （2）请写出一组b，的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由． 【变式6-2】（2022•河南模拟）小新对函数y＝|x2+bx|+（≠0）的图象和性质进行了探究． 已知当自变量x 的值为0 或4 时，函数值都为﹣3；当自变量x 的值为1 或3 时，函数值 都为0．探究过程如下，请补充完整． （1）这个函数的表达式为 ； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质： ； （3）进一步探究函数图象并解决问题： ①直线y＝k 与函数y＝|x2+bx|+有三个交点，则k＝ ； ②已知函数y＝x 3 ﹣的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式|x2+bx|+≤x﹣ 3 的解集： ． 1 【变式6-3】（2022•海珠区一模）令、b、三个数中最大数记作mx{，b，}，直线y¿ 1 2x+t 与函数y＝mx{﹣x2+4，x 2 ﹣，﹣x 2} ﹣ 的图象有且只有3 个公共点，则t 的值为 ． 1