重难点突破03 二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题（原卷版）

重难点突破03 二次函数中的线段、周长与面积 的最值问题及定值问题 目 录 题型01 利用二次函数解决单线段的最值问题 题型02 利用二次函数解决两条线段之和的最值问题 题型03 利用二次函数解决两条线段之差的最值问题 题型04 利用二次函数解决三条线段之和的最值问题 题型05 利用二次函数解决三角形周长的最值问题 题型06 利用二次函数解决四边形周长的最值问题 题型07 利用二次函数解决图形面积的最值问题 类型一 利用割补、拼接法解决面积最值问题 类型二 利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题 类型三 构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题 题型08 利用二次函数解决定值问题 题型01 利用二次函数解决单线段的最值问题 【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式： 1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函 数性质求解．求最值时应注意： ①当线段平行于y 轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标； ②当线段平行于x 轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围 应确定正确． 1．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a x 2+2 x+c与x 轴分别交于 点(1，0)和点B，与y 轴交于点(0，﹣3)，连接B． (1)求抛物线的解析式及点B 的坐标． (2)如图，点P 为线段B 上的一个动点（点P 不与点B，重合），过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q， 求线段PQ 长度的最大值． (3)动点P 以每秒❑ √2个单位长度的速度在线段B 上由点向点B 运动，同时动点M 以每秒1 个单位长度的速 度在线段B 上由点B 向点运动，在平面内是否存在点，使得以点P，M，B，为顶点的四边形是菱形？若存 在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2021·西藏·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋与x 轴交于，B 两点．与y 轴 交于点．且点的坐标为（﹣1，0），点的坐标为（0，5）． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图（甲）．若点P 是第一象限内抛物线上的一动点．当点P 到直线B 的距离最大时，求点P 的坐 标； （3）图（乙）中，若点M 是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使得以B，，M， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2021·山东泰安·统考中考真题）二次函数y=a x 2+bx+4(a≠0)的图象经过点A(−4,0)，B(1,0)， 与y 轴交于点，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P 作PD⊥x轴于点 D． （1）求二次函数的表达式； （2）连接BC，当∠DPB=2∠BCO时，求直线BP的表达式； （3）请判断：PQ QB 是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理由． 4．（2020·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数y=x 2+bx+c的图象交x 轴于点A (−3,0)，B (1,0)，交y 轴于点．点P (m,0)是x 轴上的一动点，PM ⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）①若点P 仅在线段AO上运动，如图1．求线段MN的最大值； ②若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q，使以M，，，Q 为顶点的四边形为菱形．若存在，请 直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2020·天津·中考真题）已知点A(1,0)是抛物线y=a x 2+bx+m（a,b,m为常数，a≠0,m<0）与x 轴的一个交点． （1）当a=1,m=−3时，求该抛物线的顶点坐标； （2）若抛物线与x 轴的另一个交点为M (m,0)，与y 轴的交点为，过点作直线l 平行于x 轴，E 是直线l 上 的动点，F 是y 轴上的动点，EF=2❑ √2． ①当点E 落在抛物线上（不与点重合），且AE=EF时，求点F 的坐标； ②取EF的中点，当m 为何值时，MN的最小值是 ❑ √2 2 ？ 6．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= 1 4 x 2+bx+c与x轴交于点A，B， 与y轴交于点C，其中B (3,0)，C (0,−3)． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F， Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标， 并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来． 题型02 利用二次函数解决两条线段之和的最值问题 【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式： 2 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”， 解决这类问题的方法 是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求 的点 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等 【常见模型一】（两点在河的异侧）：在直线L 上找一点M，使P+PB 的值最小 方法：如右图，连接B，与直线L 交于点M,在M 处渡河距离最短，最短距离为线段B 的长。 【常见模型二】（两点在河的同侧）：在直线L 上找一点M，使P+PB 的值最小 方法：如右图，作点B 关于直线L 的对称点B’，连接B’,与直线L 的交点即为所求的渡河点，最短距离为 线段B’的长。 7．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线y=−x 2+bx+c经过A(−1,0),C(0,3)两点，并交x 轴 于另一点B，点M 是抛物线的顶点，直线M 与轴交于点D． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是x 轴上一动点，分别连接M，D，求MH +DH的最小值； (3)若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四 边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2015·四川自贡·统考中考真题）如图，已知抛物线y=a x 2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−1，且 抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A(1,0)，C(0,3) （1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴x=−1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的 坐标； （3）设点P为抛物线的对称轴x=−1上的一个动点，求使ΔBPC为直角三角形的点P的坐标 9．（2021·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线y=−1 2 x 2+bx+c与x轴交于、B 两点，与y轴交于点， 直线y=−1 2 x+2过B、两点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：△AOC ∽△ACB； （3）点M (3,2)是抛物线上的一点，点D 为抛物线上位于直线B 上方的一点，过点D 作DE⊥x轴交直线 B 于点E，点P 为抛物线对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD+PM的最小值． 10．（2023·山东德州·校考一模）如图，已知抛物线y=a x 2−3 2 x+c与x 轴交于点A(−4,0)，B(1,0)，与 y 轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q 使QB+QC最小？若存在，请求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P 为AC上方抛物线上的动点，过点P作PD⊥AC，垂足为点D，连接PC，当△PCD与△ACO相 似时，求点P的坐标． 11．（2021·广东东莞·校考一模）如图，抛物线y＝x2+bx+3 与x 轴交于（﹣1，0）、B（3，0）两点，抛物 线的对称轴l 与x 轴交于M 点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)设点P 是直线l 上的一个动点，当P+P 的值最小时，求P+P 长； (3)已知点（0，﹣1），在y 轴上是否存在点Q，使以M、、Q 为顶点的三角形与△BM 相似？若存在；若不 存在，请说明理由． 12．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，二次函数y=−1 4 x 2+ 1 2 (m−1) x+m（m 是常数，且m>0）的图象 与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，动点P在对称轴l上，连接AC、BC、PA、 PC． (1)求点A、B、C的坐标（用数字或含m的式子表示）； (2)当PA+PC的最小值等于4 ❑ √5时，求m的值及此时点P的坐标； (3)当m取（2）中的值时，若∠APC=2∠ABC，请直接写出点P的坐标． 题型03 利用二次函数解决两条线段之差的最值问题 【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式： 3 两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”， 解决这 类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。 【常见模型一】（两点在同侧）：在直线L 上求一点P,求|P-PB|的最大值 方法：如右图，延长射线B，与直线L 交于点P，|P-PB|最大值为B 【常见模型二】（两点在异侧）：在直线L 上求一点P,求|P-PB|的最大值。 方法：如右图，作点B 关于直线L 的对称点B’， 延长射线B’，与直线L 交于点P，|P-PB|最大值为B’ 13．（2023·江西九江·校考模拟预测）已知二次函数y=a x 2＋bx＋c中，x，y 的部分对应值如下表，点 P(t ，0)是x 轴上一动点． x … - 1 0 1 3 … y … 0 3 m 0 … (1)表格中m=______，在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)若二次函数y=a x 2＋bx＋c的图象与y 轴交于点，顶点为B，求¿ PA−PB∨¿的最大值及此时点P 的 坐标； (3)设Q(0，2t )是y 轴上的动点，若线段PQ与函数y=a x 2＋bx＋c (x ≥0)的图象只有一个公共点，求t 的取值范围． 14．（2022·湖南常德·统考中考真题）如图，已经抛物线经过点O(0,0)，A(5,5)，且它的对称轴为x=2． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15 时，求B的坐标； (3)在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA−PB的值最大时，求P的坐标以及PA−PB的最大值 15．（2022 上·福建泉州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为E (1，4 )的抛物线 y=a x 2+bx+c与x轴从左到右依次交于，B两点，与y轴的交点为C (0，3)，P是抛物线对称轴右侧图象 上的一点，且在x轴的上方． (1)求此抛物线的解析式； (2)若直线BP与抛物线对称轴交于点D，当|BD−CD|取得最大值时，求点P的坐标； (3)若直线BC与抛物线对称轴交于点F，连接PC，PE，PF，记△PCF，△PEF的面积分别为S1，S2， 判断2S1+S2是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 16．（2020 上·广东惠州·九年级惠州一中校考阶段练习）如图，抛物线y=a x 2−2ax−3a与x轴交于，B 两点，点，B 分别位于原点的左、右两侧，与y 轴交于点，D 为抛物线的顶点，已知△ABC的面积为2❑ √3． (1)求抛物线的解析式． (2)P为抛物线对称轴上的点，当PA−PC取最大值时，求点P的坐标． (3)在（2）的条件下，E为抛物线上的动点，若S△BDE:S△BDP=1:2时，直接写出点E的坐标． 17．（2019·云南红河·统考一模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+经过点（﹣1，0），与y 轴交于点B，且对称轴 为x＝1． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P 是抛物线对称轴上的一动点，当|P﹣PB|取最大值时，求点P 的坐标． 题型04 利用二次函数解决三条线段之和的最值问题 18．（2021·湖北恩施·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x 轴上，抛物线y=x 2+bx+c经过点B，D (−4,5)两点，且与直线DC交于另一点E． （1）求抛物线的解析式； （2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四 边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP．探究EM +MP+PB是 否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（2022·山东烟台·统考二模）如图，平面直角坐标系中，正方形BD 的顶点，B 在x 轴上，抛物线 y=−x 2+bx+c经过，C (4 ,−5)两点，且与直线D 交于另一点E． (1)求抛物线的解析式： (2)P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，P．试求EQ+PQ+ AP的最小值； (3)为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，，E，为顶点的四边形是菱形？若存在， 请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（2022·湖北恩施·统考模拟预测）如图，已知抛物线y= 1 4 (x+h) 2+k．点A (−1,2)在抛物线的对称轴 上，B(0, 5 4)是抛物线与y轴的交点，D为抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C． (1)直接写出h，k的值； (2)如图，若点D的坐标为(3,m)，点Q为y轴上一动点，直线QK与抛物线对称轴垂直，垂足为点K．探求 DK +KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，连接AD，AC，若∠DAC=60°，求点D的坐标． 题型05 利用二次函数解决三角形周长的最值问题 21．（2023·广东湛江·校考一模）抛物线y=a x 2+bx+2与x 轴交于点A (−3,0),B (1,0)，与y 轴交于点． (1) (2)求抛物线的解析式 (3)在抛物线对称轴上找一点M，使△MBC的周长最小，并求出点M 的坐标和△MBC的周长 (4)若点P 是x 轴上的一个动点，过点P 作PQ∥BC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、、 P、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q 的坐标，若不存在请说明理由． 22．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知抛物线y=a x 2+bx+4与x轴相交于点A (1,0)，B (4,0)，与y轴 相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求PA PC 的值； (3)如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=1 2 ？若存在，求出点Q的坐标； 若不存在，请说明理由． 23．（2023·四川资阳·统考二模）如图，直线y=−4 3 x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线 y=−4 3 x 2+bx+c过A、B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线上位于AB上方的一点，过点D作DE⊥AB于点E，作DF ∥y轴交AB于点F，当△≝¿的 周长最大时，求点D的坐标； (3)G是平面内的一点，在（2）的条件下，将△≝¿绕点G顺时针旋转α得到△D ' E ' F '，当α=∠OBA时， △D ' E ' F '的两个顶点恰好落在抛物线上，求点D '的横坐标． 24．（2023·湖北恩施·统考一模）已知直线y=x−1与x 轴交于点，过x 轴上，两点的抛物线 y=a x 2+bx+3与y 轴交于点B，与直线y=x−1交于D 且OB=OC， (1)直接写出，B，三点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点M 是抛物线对称轴l 上一动点，当△CDM的周长最小时，求△CDM的面积； (4)点P 是抛物线上一动点（点P 不与B，重合），连接AP，DP，若△ADP的面积等于3，求点P 的坐 标． 25．（2023·四川成都·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a x 2+bx+c (a≠0) 与x 轴交 于点A (−1，0)，点B (3，0)，与y 轴交于点C (0，−3)． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在对称轴上找一点Q，使△AQC的周长最小，求点Q 的坐标； (3)在（2）的条件下，点P 是抛物线上的一点，当△AQC和△AQP面积相等时，请求出所有点P 的坐标． 题型06 利用二次函数解决四边形周长的最值问题 26．（2023·辽宁丹东·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a x 2+bx+5与x 轴交于 A (−1,0)，B (5,0)两点，与y 轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P 是位于直线BC上方抛物线上的一个动点，求△BPC面积的最大值； (3)若点D 是y 轴上的一点，且以B、、D 为顶点的三角形与△B 相似，求点D 的坐标； (4)若点E 为抛物线的顶点，点F (3,a)是该抛物线上的一点，点M 在x 轴、点在y 轴上，是否存在点M、使 四边形EFMN的周长最小，若存在，请直接写出点M、点的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（2022·广东东莞·东莞市光明中学校考一模）二次函数y=a x 2+bx+3 (a≠0)的图像与y轴交于点C， 与x轴交于点A (1,0)、B( 9 2 ,0)． (1)求a、b的值； (2)P是二次函数图像在第一象限部分上一点，且∠PAB=∠OCA，求P点坐标； (3)在（2）的条件下，有一条长度为1的线段EF落在OA上（E与点O重合，F与点A重合），将线段EF沿 x轴正方向以每秒6 13 个单位向右平移，设移动时间为t秒，当四边形CEFP周长最小时，求t的值． 28．（2022·安徽六安·校考一模）如图，直线B∶y=x-3 与x 轴、y 轴分别交于，B 两点，抛物线y=x²+bx+经 过点，B，抛物线的对称轴与x 轴交于点D，与直线B 交于点，顶点为 (1)求抛物线的解析式； (2)点M 在线段B 上运动，过点M 作线段EF 平行于y 轴，分别交抛物线于点F，交x 轴于点E，作FG⊥D 于点G； ①若设E（t，0），试用含t 的式子表示 DE 的长度； ②试求四边形 EFGD 的周长取得最大值． 题型07 利用二次函数解决图形面积的最值问题 【解题思路】抛物线中的面积最值问题通常有以下3 种解题方法： 1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下： 一般步骤为：①设出要求的点的坐标； ②通过割补将要求的图形转化成通过条