专题51 一次函数的平行、垂直、面积问题（原卷版）(1)

方法点拨 知识点1 两直线平行 如图，直线b∥，那么kb=k，若已知k 及的坐标即可求出直线b 的解析式 知识点2 两直线垂直 如图，直线⊥，那么k*k=-1，若已知k 及或B 的坐标即可求出直线的 解析式（针对这一性质，初中不要求掌握，一般用全等、相似的方法求解） 考点一：一次函数平行问题 模型介绍 例题精讲 【例1】．一次函数y＝kx+b 与y＝3x+1 平行，且经过点（﹣3，4），则这个函数的表达式 为 ． 变式训练 【变1-1】．一条直线平行于直线y＝2x 1 ﹣，且与两坐标轴围成的三角形面积是4，则直 线的解析式是（ ） ．y＝2x+4 B．y＝2x 4 ﹣ ．y＝2x±4 D．y＝x+2 【变1-2】．一个一次函数图象与直线y＝ x+ 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为、B， 并且过点（﹣1，﹣20），则在线段B 上（包括端点、B），横、纵坐标都是整数的点有 个． 考点二：一次函数垂直问题 【例2】．已知直线y＝kx+b 经过点（3，8），并与直线y＝2x 3 ﹣垂直，则k＝ ；b ＝ ． 变式训练 【变2-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+4 与x 轴、y 轴分别交于点、B， 直线D 与y 轴交于点（0，﹣8），与直线B 交于点D，若△B∽△DB，则点D 的坐标为 ． 【变2-2】．直线y＝kx+b 与抛物线y＝ x2 交于（x1，y1），B（x2，y2）两点，当⊥B 时， 直线B 恒过一个定点，该定点坐标为 ．[提示：直线l1：y＝k1x+b1与直线l2：y＝ k2x+b2互相垂直，则k1•k2＝﹣1] 考点三：一次函数的面积问题 【例3】．已知一次函数y＝mx+2 的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则常数m＝ ． 变式训练 【变3-1】．已知直线y＝ （为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为 S．则S1+S2+S3+…+S2020的值为（ ） ． B． ． D． 【变3-2】．如图，正比例函数y＝﹣3x 的图象与一次函数y＝kx+b 的图象交于点P（m， 3），一次函数图象经过点B（1，1），与y 轴的交点为D，与x 轴的交点为． （1）求一次函数表达式； （2）求△P 的面积． 1．两直线y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2相交于y 轴，则（ ） ．k1≠k2，b1≠b2 B．k1≠k2，b1＝b2 ．k1＝k2，b1≠b2 D．k1＝k2，b1＝b2 2．若直线x+3y+1＝0 与x+y+1＝0 互相垂直，则实数的值为（ ） ．﹣3 B．﹣ ． D．3 3．已知一次函数y＝x+2 与y＝﹣2+x，下面说法正确的是（ ） ．两直线交于点（1，0） B．两直线之间的距离为4 个单位 ．两直线与x 轴的夹角都是30° D．两条已知直线与直线y＝x 都平行 4．如图，直线l1过原点，直线l2解析式为y＝﹣ x+2，且直线l1和l2互相垂直，那么直 线l1解析式为（ ） ．y＝ x B．y＝ x ．y＝ x D．y＝ x 5．已知直线y＝mx 1 ﹣上有一点B（1，），它到原点的距离是 ，则此直线与两坐标轴 围成的三角形的面积为（ ） ． B． 或 ． 或 D． 或 6．如图，一次函数y＝kx+b 的图象与正比例函数y＝2x 的图象平行且经过点（1，﹣2）， 则kb＝ ． 7．若平行于直线y＝﹣2x 的某直线y＝kx+b 与两坐标轴所围成的三角形面积为5，则b＝ ． 8．如图，直线y＝﹣ x+2 与x，y 轴交于、B 两点，以B 为边在第一象限作矩形BD，矩形 的对称中心为点M，若双曲线y＝ （x＞0）恰好过点、M，则k＝ ． 9．在平面直角坐标系xy 中，已知直线B 与x 轴交于点（2，0），与y 轴交于点B（0， 1）． （1）求直线B 的解析式； （2）若x 轴上有一点，且S△B＝2，求点的坐标． 10．如图，直线l1：y＝x 3 ﹣与x 轴交于点，与y 轴交于点B，直线l2：y＝kx+b 与x 轴交于 点（05，0），与y 轴交于点D（0，2），直线l1，l2交于点E． （1）求直线l2的函数表达式． （2）试说明D＝E． （3）若P 为直线l1上一点，当∠PB＝∠BDE 时，求点P 的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板△B 放在第三象限，斜靠在两坐标 轴上，点坐标为（0，﹣4），直角顶点B 坐标为（﹣1，0），一次函数y＝kx+b 的图象 经过点、交x 轴于点D． （1）求点的坐标； （2）求直线与坐标轴围成的三角形的面积． 12．如图，直线l1：y＝x+3 分别与直线l2：y＝kx+b（k≠0）、直线l3：y＝k1x+b1（k1≠0）交 于、B 两点，直线l1交y 轴于点E，直线l2与x 轴和y 轴分别交于、D 两点，已知点的纵 坐标为 ，B 的横坐标为1，l2∥l3，D＝1，连BD． （1）求直线l3的解析式； （2）求△BD 的面积． 13．如图，一次函数y＝ x 2 ﹣的图象与x 轴交于点，与反比例函数y＝ （x＞0）的图象 交于点B，且点B 的纵坐标为1． （1）求反比例函数y＝ （x＞0）的表达式； （2）过点作x 轴的垂线交反比例函数y＝ （x＞0）的图象于点，平移直线y＝ x 2 ﹣ 得到过点的直线l，l 的函数表达式为y＝mx+，结合函数的图象，求 ＞mx+对应x 的取 值范围． 14．已知抛物线y＝x2﹣（＞0）． （1）求抛物线与x 轴的交点坐标； （2）设为抛物线上的一定点，抛物线和x 轴交点为E、F，直线l：y＝kx+2k+3 与抛物 线交于点、B（点B 与点不重合），与y 轴交于点P，直线BD 垂直于直线y＝﹣，垂足 为D，且△EF 为等腰直角三角形． ①求点的坐标和抛物线的解析式； ②证明：对于每一个给定的实数k，都有DP∥． 15．定义：已知直线l：y＝kx+b（k≠0），则k 叫直线l 的斜率． 性质：直线l1：y＝k1x+b1．l2：y＝k2x+b2（两直线斜率存在且均不为0），若直线 l1⊥l2，则k1k2＝﹣1 （1）应用：若直线y＝2x+1 与y＝kx 1 ﹣互相垂直，求斜率k 的值； （2）探究：一直线过点（2，3），且与直线y＝﹣ x+3 互相垂直，求该直线的解析式． 16．在平面几何中，我们学过两条直线垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的 两条直线，给出它们垂直的定义：设一次函数y＝k1x+b（k1≠0）的图象为直线l1，一次 函数y＝k2x+b2（k≠0）的图象为直线l2，若k1•k2＝﹣1，我们就称直线l1与直线l2互相垂 直，如直线y＝3x 1 ﹣与直线y＝﹣ x+1，因为3×（﹣ ）＝﹣1，所以相互垂直． 根据以上定义内容，解答下面的问题： （1）求过点P（1，2）且与已知直线y＝05x 2 ﹣垂直的直线l 的函数表达式，并在如图 所示的坐标系中画出直线l 的图象． （2）求（1）问中的两条直线与y 轴所围的三角形的面积； （3）已知点（0，2），点B，分别是（1）问中直线l 和x 轴上的动点，求出△B 周长的 最小值． 17．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象经过点（﹣4，3），将 点向右平移2 个单位长度，再向上平移个单位长度得到点B，点B 恰好落在该函数的图 象上，过，B 两点的直线与y 轴交于点． （1）求k 的值及点的坐标； （2）在y 轴上有一点D（0，4），连接D，BD，求△BD 的面积． 18．如图在平面直角坐标系中，过点（0，6）的直线与直线相交于点（4，2），动点M 在 线段和射线上运动． （1）求直线B 的函数关系式； （2）求△B 的面积； （3）是否存在点M，使△M 的面积与△B 的面积相等？若存在求出此时点M 的坐标；若 不存在，说明理由． 19．如图1，平面直角坐标系中，直线y＝ x 2 ﹣与x 轴、y 轴分别交于点，B，直线y＝﹣ x+b 经过点，并与y 轴交于点． （1）求，B 两点的坐标及b 的值； （2）如图2，动点P 从原点出发，以每秒1 个单位长度的速度沿x 轴正方向运动．过点 P 作x 轴的垂线，分别交直线，B 于点D，E．设点P 运动的时间为t．点D 的坐标为 ．点E 的坐标为 ；（均用含t 的式子表示） （3）在（2）的条件下，当点P 在线段上时，探究是否存在某一时刻，使DE＝B？若存 在，求出此时△DE 的面积；若不存在说明理由． 20．如图，已知一次函数y1＝kx+b 的图象与函数y2＝ （x＞0）的图象交于（6，﹣ ）， B（ ，）两点，与y 轴交于点．将直线B 沿y 轴向上平移t 个单位长度得到直线DE， DE 与y 轴交于点F． （1）求y1与y2的解析式； （2）观察图象，直接写出y1＜y2时x 的取值范围； （3）连接D，D，若△D 的面积为6，则t 的值为 ． 21．如图，抛物线y＝x2+bx 与直线l 交于点（1，5）、B（6，0），点是l 上方的抛物线上 的一动点，过作D⊥x 轴于点D，交直线l 于点E．连接、B． （1）求抛物线的解析式； （2）设点的横坐标为，△B 的面积为S，求出S 的最大值； （3）在抛物线上是否存在点P，使得△PB 是直角三角形，且始终满足B 边为直角边？ 若存在，求出所有符合条件的P 的坐标；若不存在，简要说明理由．