题型9 二次函数综合题 类型8 二次函数与平行四边形有关的问题（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型八 二次函数与平行四边形有关的问题（专题训练） 1．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，抛物线 与x 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ． (1)求抛物线解析式及 ， 两点坐标； (2)以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，求点 坐标； (3)该抛物线对称轴上是否存在点 ，使得 ，若存在，求出点 的坐标；若不存 在，请说明理由． 【答】(1)抛物线解析式为 ， ， ；(2) 或 或 ；(3) 【分析】（1）将点 代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令 ， 即可求得 两点的坐标； （2）分三种情况讨论，当 ， 为对角线时，根据中点坐标即可求解； （3）根据题意，作出图形，作 交于点 ， 为 的中点，连接 ，则 在 上，根据等弧所对的圆周角相等，得出 在 上，进而勾股定理，根 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 据 建立方程，求得点 的坐标，进而得出 的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线 与x 轴交于 ， ∴ 解得： ， ∴抛物线解析式为 ， 当 时， ， ∴ ， 当 时， 解得： ， ∴ （2）∵ ， ， ， 设 ， ∵以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形 当 为对角线时， 解得： ， ∴ ； 当 为对角线时， 解得： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ 当 为对角线时， 解得： ∴ 综上所述，以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形， 或 或 （3）解：如图所示，作 交于点 ， 为 的中点，连接 ， ∵ ∴ 是等腰直角三角形， ∴ 在 上， ∵ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ 在 上， 设 ，则 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 解得： （舍去） ∴点 设直线 的解析式为 ∴ 解得： ∴直线 的解析式 ∵ ， ， ∴抛物线对称轴为直线 ， 当 时， ， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆 周角角定理，勾股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线 经过 两点， 并交x 轴于另一点B，点M 是抛物线的顶点，直线M 与轴交于点D． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是x 轴上一动点，分别连接M，D，求 的最小值； (3)若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q 为顶点的 四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说 明理由． 【答】(1) ；(2) ；(3)存在， 或 或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 ， 与 轴的交点即为点 ，进而得到 的最小值为 的长，利用两点间距离公式进行求解即可； （3）分 ， ， 分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过 两点， ∴ ，解得： ， ∴ ； （2）∵ ， ∴ ， 设直线 ， 则： ，解得： ， ∴ ， 当 时， ， ∴ ； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 作点 关于 轴的对称点 ，连接 ， 则： ， ， ∴当 三点共线时， 有最小值为 的长， ∵ ， ， ∴ ， 即： 的最小值为： ； （3）解：存在； ∵ ， ∴对称轴为直线 ， 设 ， ， 当以D，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形时： ① 为对角线时： ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， 当 时， ， ∴ ， ∴ ； ②当 为对角线时： ， ∴ ， 当 时， ， ∴ ， ∴ ； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ③当 为对角线时： ， ∴ ， 当 时， ， ∴ ， ∴ ； 综上：当以D，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形时， 或 或 ． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式， 熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 3．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图①，抛物线 与x 轴交于点 ， ，与y 轴交于点，连接，B 点P 是x 轴上任意一点． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)求抛物线的表达式； (2)点Q 在抛物线上，若以点，，P，Q 为顶点，为一边的四边形为平行四边形时，求点Q 的坐标； (3)如图②，当点 从点出发沿x 轴向点B 运动时（点P 与点，B 不重合），自点P 分 别作 ，交于点E，作 ，垂足为点D．当m 为何值时， 面积最大， 并求出最大值． 【答】(1) ；(2)点Q 坐标 ，或 或 ；(3) 时， 有最大值，最大值为 【分析】（1）将 ， 代入 ，待定系数法确定函数解析式； （2）由二次函数 ，求得点 ，设点 ，点 ， 分类讨论：当 为边， 为对角线时，当 为边， 为对角线时，运用平行四边形 对角线互相平分性质，构建方程求解； （3）如图，过点D 作 ，过点E 作 ，垂足为G，F， 可证 ， ；运用待定系数法求直线 解析式 ，直 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 线 解析式 ；设点 ， ，则 ， ， ， ，运用解直角三角形， 中， ， ， 中， ，可得 ， ， ； 中， ，可得， ， ， ，于是 ，从而确定 时，最大值为 ． 【详解】（1）将 ， 代入 ，得 ，解得 ∴抛物线解析式为： （2）二次函数 ，当 时， ∴点 设点 ，点 ， 当 为边， 为对角线时， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵四边形 为平行四边形， ∴ ， 互相平分 ∴ 解得， （舍去）或 点Q 坐标 ； 当 为边， 为对角线时， 同理得， 解得， 或 ， ∴ 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴点Q 坐标 或 综上，点Q 坐标 ，或 或 ； （3）如图，过点D 作 ，过点E 作 ，垂足为G，F， ∵ ， ∴ ∴ ∵ ∴ ，同理可得 设直线 的解析式为： 则 ，解得 ∴直线 ： 同理由点 ， ，可求得直线 ： 设点 ， ， 则 ， ， ， 中， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， 中， ∴ ，解得 ， ∴ ∵ ∴ ； 中， ∴ ，解得， ∴ ∵ ∴ ∴ ， 即 ． ∵ 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ 时， ， 有最大值，最大值为 ． 【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，平行四边形的性质，一元二次方程求解， 解直角三角形，结合动点运动情况，分类讨论是解题的关键． 4．（2023·山东·统考中考真题）如图，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，对称 轴为 的抛物线经过 两点，交 轴负半轴于点 ． 为抛物线上一动点，点 的 横坐标为 ，过点 作 轴的平行线交抛物线于另一点 ，作 轴的垂线 ，垂足为 ， 直线 交 轴于点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)若 ，当 为何值时，四边形 是平行四边形？ (3)若 ，设直线 交直线 于点 ，是否存在这样的 值，使 ？若存在， 求出此时 的值；若不存在，请说明理由． 【答】(1) ；(2) ；(3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式； （2）结合平行四边形的性质，通过求直线 的函数解析式，列方程求解； （3）根据 ，确定 点坐标，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【详解】（1）解：在直线 中，当 时， ，当 时， ， ∴点 ，点 ， 设抛物线的解析式为 ， 把点 ，点 代入可得 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为 ； （2）解：由题意， ， ∴ ， 当四边形 是平行四边形时， ， ∴ ， ∴ ， ， 设直线 的解析式为 ， 把 代入可得 ， 解得 ， ∴直线 的解析式为 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 又∵过点 作 轴的平行线交抛物线于另一点 ，且抛物线对称轴为 ， ∴ ∴ ， 解得 （不合题意，舍去）， ； （3）解：存在，理由如下： ∵ ， ∴点E 为线段 的中点， ∴点E 的横坐标为 ， ∵点E 在直线 上， ∴ ， 把 代入 中，可得 ， 解得 （不合题意，舍去）， ． 【点睛】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式，利用 数形结合思想和方程思想解题是关键． 5．（2023·四川南充·统考中考真题）如图1，抛物线 （ ）与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)求抛物线的解析式； (2)点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，以B，，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标； (3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x 轴交于点E，过点 的直线（直线 除外） 与抛物线交于G，两点，直线 ， 分别交x 轴于点M，．试探究 是否为定值， 若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答】(1) ；(2) 或 或 ；(3)定值，理由见详解 【分析】（1）将 两点代入抛物线的解析式即可求解； （2）根据P，Q 的不确定性，进行分类讨论：①过 作 轴，交抛物线于 ，过 作 ，交 轴于 ，可得 ，由 ，可求解；②在 轴的负半轴 上取点 ，过 作 ，交抛物线于 ，同时使 ，连接 、 ，过 作 轴，交 轴于 ， ，即可求解；③当 为平行四边形的对角线时， 在①中，只要点Q 在点B 的左边，且满足 ，也满足条件，只是点P 的坐标仍是① 中的坐标； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （3）可设直线 的解析式为 ， ， ， 可求 ，再求直线 的解析式为 ，从而可求 ，同理可求 ，即可求解． 【详解】（1）解： 抛物线 与x 轴交于 两点， ，解得 ， 故抛物线的解析式为 ． （2）解：①如图，过 作 轴，交抛物线于 ，过 作 ，交 轴于 ， 四边形 是平行四边形， ， ， 解得： ， ， ； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ②如图，在 轴的负半轴上取点 ，过 作 ，交抛物线于 ，同时使 ，连接 、 ，过 作 轴，交 轴于 ， 四边形 是平行四边形， ， 在 和 中， ， ( )， ， ， ， 解得： ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ； 如上图，根据对称性： ， ③当 为平行四边形的对角线时，由①知，点Q 在点B 的左边，且 时，也 满足条件，此时点P 的坐标仍为 ； 综上所述： 的坐标为 或 或 ． （3）解：是定值， 理由：如图， 直线 经过 ， 可设直线 的解析式为 ， 、 在抛物线上， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 可设 ， ， ， 整理得： ， ， ， ， 当 时， ， ， 设直线 的解析式为 ，则有 ， 解得 ， 直线 的解析式为 ， 当 时， ， 解得： ， ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 同理可求： ， ； 当 与 对调位置后，同理可求 ； 故 的定值为 ． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，求函数 图象与坐标轴交点坐标，动点产生的平行四边形判定，一元二次方程根与系数的关系，理 解一次函数与二次函数图象的交点，与对应一元二次方程根的关系，掌握具体的解法，并 会根据题意设合适的辅助未知数是解题的关键． 6（2021·四川南充市·中考真题）如图，已知抛物线 与x 轴交于点 （1，0）和B，与y 轴交于点，对称轴为 ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P 是线段B 上的一个动点（不与点B，重合），过点P 作y 轴的平行 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 线交抛物线于点Q，连接Q．当线段PQ 长度最大时，判断四边形PQ 的形状并说明理由． （3）如图2，在（2）的条件下，D 是的中点，过点Q 的直线与抛物线交于点E，且 ．在y 轴上是否存在点F，使得 为等腰三角形？若存在，求点 F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】（1） ；（2）四边形PQ 是平行四边形，理由见详解；（3）（0， ）或（0，1）或（0，-1） 【分析】 （1）设抛物线 ，根据待定系数法，即可求解； （2）先求出直线B 的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x， ），（0≤x≤4），得到PQ = ，从而求出线段PQ 长度最大值，进而即可得 到结论； （3）过点Q 作QM⊥y 轴，过点Q 作Q∥y 轴，过点E 作E∥x 轴，交于点，推出 ，从而得 ，进而求出E（5，4），设F（0， y），分三种情况讨论，即可求解． 【详解】 解：（1）∵抛物线 与x 轴交于点（1，0）和B，与y 轴交于点， 对称轴为直线 ， B ∴（4，0），（0，4）， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 设抛物线 ，把（0，4）代入得： ，解得：=1， ∴抛物线的解析式为： ； （2）∵B（4，0），（0，4）， ∴直线B 的解析式为：y=-x+4， 设P（x，-x+4），则Q（x， ），（0≤x≤4）， PQ=-x+4-( ∴ )= = ， ∴当x=2 时，线段PQ 长度最大=4， ∴此时，PQ=， 又∵PQ∥， ∴四边形PQ 是平行四边形； （3）过点Q 作QM⊥y 轴，过点Q 作Q∥y 轴，过点E 作E∥x 轴，交于点， 由（2）得：Q（2，-2）， D ∵ 是的中点， D ∴ （0，2）， Q∥y ∵ 轴， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即： ， 设E（x， ），则 ，解得： ， （舍去）， E ∴（5，4）， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 设F（0，y），则 ， ， ， ①当BF=EF 时， ，解得： ， ②当BF=BE 时， ，解得： 或 ， ③当EF=BE 时， ，无解， 综上所述：点F 的坐标为：（0， ）或（0，1）或（0，-1）． ． 【点睛】 本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征， 添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 7（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm x 轴交于点 ， ，与y 轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）直线l 为该抛物线的对称轴，点D 与点关于直线l 对称，点P 为直线D 下方抛物线上 一动点，连接P，PD，求 面积的最大值； （3）在（2）的条件下，将抛物线 沿射线D 平移 个单位，得 到新的抛物线 ，点E 为点P 的对应点，点F 为 的对称轴上任意一点，在 上确定一 点G，使得以点D，E，F，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 【答】（1）y=x2-3x-4；（2）8；（3） 或 或 ，过程 见解析 【分析】 （1）将 ， 的坐标代入函数式利用待定系数法求解即可； （2）先得出抛物线的对称轴，作PE∥y 轴交直线D 于E，设P（m，m2-3m-4），用m 表示出△PD 的面积即可求出最大面积； （3）通过平移距离为 ，转化为向右平移4 个单位，再向下平移4 个单位，根据平移 变化得出平移后的抛物线关系式和E 的坐标，分DE 为对角线、EG 为对角线、EF 为对角 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 线三种情况进行讨论即可． 【详解】 解：（1）将（-1，0），B（4，0）代入y=x2+bx-4 得 ，解得： ， ∴该抛物线的解析式为y=x2-3x-4， （2）把x=0 代入y=x2-3x-4 中得：y=-4， ∴（0，-4）， 抛物线y=x2-3x-4 的对称轴l 为 ∵点D 与点关于直线l 对称， D ∴ （3，-4）， ∵（-1，0）， 设直线D 的解析式为y=kx+b； ∴ ，解得： ， ∴直线D 的函数关系式为：y=-x-1， 设P（m，m2-3m-4）， 作PE∥y 轴交直线D 于E， E ∴（m，-m-1）， PE=-m-1- ∴ （m2-3m-4）=-m2+2m+3， ∴ ， ∴ ， ∴当m=1 时， 的面积最大，最大值为：8 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （3）∵直线D 的函数关系式为：y=-x-1， ∴直线D 与x 轴正方向夹角为45°， ∴抛物线沿射线D 方向平移平移 个单位，相当于将抛物线向右平移4 个单位，再向 下平移4 个单位， ∵ ， ，平移后的坐标分别为（3，-4），（8，-4）， 设平移后的抛物线的解析式为 则 ，解得： ， ∴平移后y1=x2-11x+20， ∴抛物线y1的对称轴为： ， P ∵（1，-6）， E ∴（5，-10）， ∵以点D，E，F，G 为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：