专题06 二元一次方程组的四种实际应用（教师版）

专题06 二元一次方程组的四种实际应用 类型一、方问题 例．已知：用2 辆型车和1 辆B 型车装满货物一次可运货10 吨；用1 辆型车和2 辆B 型车 装满货物一次可运货11 吨．某物流公司现有31 吨货物，计划同时租用型车m 辆，B 型车 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1 辆型车和1 辆B 型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方，且分别求出m，的值； (3)若型车每辆需租金100 元/次，B 型车每辆需租金120 元/次．请选出最省钱的租车方，并 求出最少租车费． 【答】(1)一辆型车装满货物可运货3 吨，一辆B 型车装满货物可运货4 吨； (2)物流公司共有以下三种租车方，方一：租型车1 辆，B 型车7 辆；方二：租型车5 辆，B 型车4 辆；方三：租型车9 辆，B 型车1 辆． (3)方一：租型车1 辆，B 型车7 辆，最省钱，最少租车费为940 元． 【解析】(1)设一辆型车装满货物可运货x 吨，一辆B 型车装满货物可运货y 吨， 根据题意，得： ，解得： ， 答：一辆型车装满货物可运货3 吨，一辆B 型车装满货物可运货4 吨； (2)由题意得：3m+4=31， ∵m、均为正整数， ∴ 或 或 ， ∴该物流公司共有以下三种租车方， 方一：租型车1 辆，B 型车7 辆； 方二：租型车5 辆，B 型车4 辆； 方三：租型车9 辆，B 型车1 辆． (3)方一费用：100×1+120×7=940(元)，方二费用：100×5+120×4=980(元)， 方三费用：100×9+120×1=1020(元)， 940 ∵ ＜980＜1020， ∴方一：租型车1 辆，B 型车7 辆，最省钱，最少租车费为940 元． 【变式训练1】某校准备组织八年级280 名学生和5 名老师参加研学活动，已知用1 辆小客 车和2 辆大客车每次可运送120 人；用3 辆小客车和1 辆大客车每次可运送135 人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少人？ (2)若学校计划租用小客车m 辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满． ①请你设计出所有的租车方； ②若小客车每辆需租金6000 元，大客车每辆需租金7500 元，总租金为元，写出与m 的关 系式，根据关系式选出最省钱的租车方，并求出最少租金． 【答】(1)每辆小客车能坐30 人，每辆大客车能坐45 人； (2)①租车方有三种：方一：小客车8 车、大客车1 辆，方二：小客车5 辆，大客车3 辆， 方三：小客车2 辆，大客车5 辆；②租用小客车2 辆，大客车5 辆时费用最小，最小费用 为49500 元． 【解析】(1)设每辆小客车能坐人，每辆大客车能坐b 人，根据题意，得： ，解得： ， 答：每辆小客车能坐30 人，每辆大客车能坐45 人； (2)①根据题意，得30m+45=280+5， 因为m，均为整数 所以解得： 或 或 ，∴租车方有三种： 方一：小客车8 车、大客车1 辆， 方二：小客车5 辆，大客车3 辆， 方三：小客车2 辆，大客车5 辆； ②根据题意，得=6000m+7500× =1000m+47500， 1000 ∵ ＞0，∴随m 的增大而增大， ∴当m=2 时，有最小值为：49500． 答：租用小客车2 辆，大客车5 辆时费用最小，最小费用为49500 元． 【变式训练2】现在以及未来，会有更多的高科技应用在我们日常的生产生活中，比如： 无人机放牧，机器狗导盲，智能化无人码头装卸等．某快递公司为了提高工作效率，计划 购买，B 两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台B 型机器人每天多搬运 25 吨，并且3 台型机器人和2 台B 型机器人每天共搬运货物450 吨． (1)求每台型机器人和每台B 型机器人每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台型机器人售价3 万元，每台B 型机器人售价25 万元，该公司计划采购，B 两种型号 的机器人共20 台，同时厂家要求型机器人购买量不得少于10 台，请根据以上要求，求出， B 两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？ 【答】(1)每台型机器人每天搬运货物100 吨，每台B 型机器人每天搬运货物75 吨； (2)、B 两种机器人分别采购10 台，10 台时，所需费用最低，最低费用是55 万元． 【解析】(1)解：设每台型机器人每天搬运货物x 吨，每台B 型机器人每天搬运货物y 吨， 根据题意得： ，解得： ， 则每台型机器人每天搬运货物100 吨，每台B 型机器人每天搬运货物75 吨； (2)设：种机器人采购m 台，B 种机器人采购(20﹣m)台，总费用为(万元)，根据题意得： m≥10； ＝3m+25(20﹣m)＝05m+50． 05 ∵ ＞0，∴随着m 的减少而减少． ∴当m＝10 时，有最小值，最小＝05×10+50＝55． ∴、B 两种机器人分别采购10 台，10 台时，所需费用最低，最低费用是55 万元． 【变式训练3】一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆 行走向战场外，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲，乙两种货车向武汉运送爱心物资． 两次满载的运输情况如表： 甲种货车辆数 乙种货车辆数 合计运物资吨数 第一次 3 4 31 第二次 2 6 34 (1)求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资； (2)由于疫情的持续，该公司安排甲乙货车共10 辆进行第三次物资的运送，运送的物资不少 于484 吨，其中每辆甲车一次运送花费500 元，每辆乙车一次运送花费300 元，请问该公 司应如何安排车辆最节省费用？ 【答】(1)甲、乙两种货车每次满载分别能运输5 吨和4 吨物资；(2)该公司应安排甲种货车 9 辆，乙种货车1 辆最节省费用 【详解】解：(1)设甲、乙两种货车每次满载分别能运输x 吨和y 吨物资， 根据题意，得 ，解得： ， ∴甲、乙两种货车每次满载分别能运输5 吨和4 吨物资， 答：甲、乙两种货车每次满载分别能运输5 吨和4 吨物资； (2)设安排甲货车z 辆，乙货车(10-z)辆，总运费为元，根据题意得， =500z+300(10-z)=200z+3000， 200 ∵ ＞0，∴随z 的增大而增大， ∵运送的物资不少于484 吨， ∴ ，∴ ， 又∵z 是整数，∴当z=9 时，的值最小为=200×9+3000=4800， 答：该公司应安排甲种货车9 辆，乙种货车1 辆最节省费用． 类型二、销售利润问题 例．在元旦期间，某水果店销售葡萄，零售一箱该种葡萄的利润是60 元，批发一箱该种葡 萄的利润是30 元． (1)已知该水果店元日放假三天卖出100 箱这种葡萄共获利润3600 元，求该水果店元旦放假 三天零售、批发该种葡萄分别是多少箱？(要求：列二元一次方程组解应用问题) (2)现该水果店要经营1000 箱该种葡萄，并规定该葡萄零售的箱数小于等于200 箱，请直接 写出零售和批发各多少箱时，才能使总利润最大？并直接写出最大总利润是多少元？ 【答】(1)零售该种葡萄20 箱，批发该种葡萄80 箱； (2)当零售和批发各200 箱，800 箱时，总利润最大为36000 元． 【解析】(1)设零售该种葡萄x 箱，批发该种葡萄y 箱，由题意可得， ，解得 ， ∴零售该种葡萄20 箱，批发该种葡萄80 箱； (2)设零售该种葡萄箱，则批发该种葡萄(1000 ) ﹣箱，利润为元， 由题意可得，＝60+30(1000 ) ﹣＝30+30000， 30 ∵ ＞0，∴随的增大而增大， 又∵≤200， ∴当＝200 时，利润最大为30×200+30000＝36000， 此时1000 200 ﹣ ＝800(箱)， ∴当零售和批发各200 箱，800 箱时，总利润最大为36000 元． 【变式训练1】某水果店以4 元千克的价格购进一批水果，由于销售状况良好，该店又再 次购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了05 元，所购水果重量恰好是第 一次购进水果重量的2 倍，这样该水果店两次购进水果共花去了2200 元． (1)该水果店两次分别购买了多少元的水果？ (2)在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的 水果有 的损耗，第二次购进的水果有 的损耗，该水果店希望售完这些水果获利不低 于1244 元，则该水果每千克售价至少为多少元？ 【答】(1)水果店两次分别购买了800 元和1400 元的水果；(2)6 元 【解析】(1)解：设该水果店两次分别购买了 元和 元的水果．根据题意，得 ，解得 ，经检验， 符合题意． 答：水果店两次分别购买了800 元和1400 元的水果． (2)解：第一次所购该水果的重量为 (千克)． 第二次所购该水果的重量为 (千克)． 设该水果每千克售价为 元，根据题意，得 ．解得 ． 答：该水果每千克售价至少为6 元． 【变式训练2】2020 年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线育用户规模不断增大．络 师小李抓住时机，开始组建团队，制作面向、B 两个不同需求学生群体的微课视频．已知 制作3 个类微课和5 个B 类微课需要4600 元成本，制作5 个类微课和10 个B 类微课需要 8500 元成本．李老师又把做好的微课出售给某视频播放站，每个类微课售价1500 元，每 个B 类微课售价1000 元．该团队每天可以制作1 个类微课或者15 个B 类微课，且团队每 月制作的B 类微课数不少于类微课数的2 倍(注：每月制作的、B 两类微课的个数均为整数)． 假设团队每月有22 天制作微课，其中制作类微课天，制作、B 两类微课的月利润为元． (1)求团队制作一个类微课和一个B 类微课的成本分别是多少元？ (2)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (3)每月制作类微课多少个时，该团队月利润最大，最大利润是多少元？ 【答】(1)团队制作一个类微课的成本为700 元，制作一个B 类微课的成本为500 元 (2)＝50+16500，的值为0，2，4，6，8 (3)每月制作类微课8 个时，该团队月利润最大，最大利润是16900 元 【解析】(1)设团队制作一个类微课的成本为x 元，制作一个B 类微课的成本为y 元，根据 题意得： ，解得 ， 答：团队制作一个类微课的成本为700 元，制作一个B 类微课的成本为500 元； (2)由题意，得＝(1500 700)+(1000 500)×15(22 ) ﹣ ﹣ ﹣＝50+16500； 15(22 )≥2 ﹣ ，解得≤ ， 又∵每月制作的、B 两类微课的个数均为整数， ∴的值为0，2，4，6，8． (3)由(2)得＝50+16500， 50 ∵ ＞0，∴随的增大而增大， ∴当＝8 时，有最大值，最大＝50×8+16500＝16900(元)． 答：每月制作类微课8 个时，该团队月利润最大，最大利润是16900 元． 【变式训练3】在近期“抗疫”期间，某药店销售，B 两种型号的口罩，已知销售80 只型 和45 只B 型的利润为21 元，销售40 只型和60 只B 型的利润为18 元． (1)求每只型口罩和B 型口罩的销售利润； (2)该药店计划一次购进两种型号的口罩共2000 只，其中B 型口罩的进货量不少于型口罩的 进货量且不超过它的3 倍，则该药店购进型、B 型口罩各多少只，才能使销售总利润y 最 大？最大值是多少？ 【答】(1)为015 元，B 为02 元 (2)药店购进型口罩500 只、B 型口罩1500 只，才能使销售总利润最大为375 元 【解析】(1)设每只型口罩销售利润为元，每只B 型口罩销售利润为b 元，根据题意得： ，解得 ， 答：每只型口罩销售利润为015 元，每只B 型口罩销售利润为02 元； (2)根据题意得，y＝015x+02(2000﹣x)，即y＝﹣005x+400； 根据题意得， ，解得500≤x≤1000， ∴y＝﹣005x+400(500≤x≤1000)， 005 ∵﹣ ＜0，∴y 随x 的增大而减小， ∵x 为正整数，∴当x＝500 时，y 取最大值为375 元，则2000﹣x＝1500 即药店购进型口罩500 只、B 型口罩1500 只，才能使销售总利润最大为375 元． 类型三、行程问题 例．某边防部队接到情报，近海处有一艘可疑船只正向出海方向行驶，边防部队迅速派出 快艇B 追赶．在追赶过程中，设可疑船只相对于海岸的距离为 (海里)，快艇B 相对于海 岸的距离为 (海里)，追赶时间为t(分钟)， 与t 之间的函数关系如图所示，请结合图 象解答下列问题： (1)分别求出 与t 之间的函数解析式； (2)快艇B 需要多长时间才能追上可疑船只？ 【答】(1) ， ；(2)快艇B 需要 分钟(16 分40 秒)才能追上可疑船只． 【详解】解：(1)设 ， 把(0，5)、(10，7)代入得： ，解得： ，∴ ， 设 ，把(10，5)代入得： ，解得： ，∴ ； (2)联立得两解析式： ，解得： ． 答：快艇B 需要 分钟(16 分40 秒)才能追上可疑船只． 【变式训练1】当前，新冠肺炎疫情仍在全球蔓延，国内疫情也呈现多地散发、部分聚集 态势，接种新冠疫苗是构筑全民免疫的有力屏障，重庆市八月启动 岁学生新冠病毒 疫苗接种工作，小南和小开计划在父母陪同下前往医院接种新冠疫苗，小南从 小区匀速 步行前往 医院接种，同时，小开留观结束从 医院返回 小区，两人之间的距离 (m)与 步行时间 (m)的关系如图所示． (1) 小区和 医院的距离为 m，小南和小开出发 m 后相遇； (2)若小南的步行速度比小开的步行速度快；求小南和小开步行的速度各是多少？ (3)计算出点 对应的步行时间 和两人之间的距离 ，并解释点 的实际意义． 【答】(1)2025， ；(2)小南的步行速度为 m/m，小开的步行速度为60 m/m；(3) 点 表示两人除法27m 时，小南到达 医院，两人此时相距 米． 【详解】(1)由函数图像可得 小区和 医院的距离为2025m，当 时，他们相遇，即 故答为： ； (2)设小南的速度为 m/m，小开的速度为 m/m，两人15 分钟相遇，则可得， ， 小南的步行速度比小开的步行速度快， 则小开在相遇后走的路程为小南相遇前走的路程， 则 ，解得 答：小南的步行速度为 m/m，小开的步行速度为60 m/m． (3)设点 的坐标为 ，则可得方程 ，解得 ， 1620， ． 点 表示两人除法27m 时，小南到达 医院，两人此时相距 米． 【变式训练2】马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42 千米．如 下是关于某市今年全程马拉松比赛的部分信息． ①在起点，沿途每隔5 千米处及终点提供水，运动饮料，水果等补给，最后两个补给站之 间为2 千米； ②在起点，终点和沿途等距离设置若干个固定医疗站 若每个补给站安排1 个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排2 个值班员，则需要 64 个值班员；若每个补给站安排2 个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排3 个值 班员，则需要99 个值班员． (1)本次马拉松比赛共设置______个补给站； (2)沿途中，每两个固定医疗站之间距离是多少？ (3)沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点多少千米？ 【答】(1)10；(2)15 千米；(3)15 千米或30 千米． 【详解】解：(1)∵在起点、沿途每隔5 千米一个补给站，最后两个补给站相隔2 千米， ∴共设置补给站(42 2)÷5+1+1=10(个)，故答为：10 (2)设有x 个固定医疗站，两站重合的有y 个， 根据题意得： ，解得： ， 42÷(29-1)=15( ∴ 千米)， 答：沿途中，每两个固定医疗站之间距离是15 千米． (3)设从起点到终点方向上第m 个补给站和第个固定医疗站重合， ∵沿途中，每两个固定医疗站之间距离是15 千米，在起点、沿途每隔5 千米一个补给站， 5 ∴m=15，∴m= ， ∵m、是正整数，∴当=10 时，m=3，此时距离起点的距离=5×3=15(千米)， 当=20 时，m=6，此时距离起点的距离=5×6=30(千米)， 当=30 时，m=9，此时距离起点的距离=5×9=45＞42，不合题意，舍去， 综上所述：沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点15 千米或30 千米． 类型四、分配问题 例．某生产具的厂家准备生产正方体具，具由塑料棒与金属球组成(一条棱用一根塑料棒， 一个顶点由一个金属球镶嵌)，并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装． (1)生产前，要画直观图．现在设计人员仅画出如图所示设计图，请你补全正方体模型的直 观图． (2)该厂家的一个车间负责生产正方体具，该车间共有22 名工人，每个工人每天可生产塑料 棒100 根或者金属球80 个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体具？ (3)现某中学购买两种档次的正方体具共200 套(价格如表所示)，若恰好用了2800 元，请问 该学校应该如何购买该具？(直接写出答即可) 品种 高档 中档 低档 价格/元 20 15 10 【答】(1)见解析 (2)安排12 人生产塑料棒，10 人生产金属球 (3)学校可以购买高档具80 套，低档具120 套或中档具160 套，低档具40 套． 【解析】(1)如图即为所求： (2)设安排x 人生产塑料棒，(22﹣x)人生产金属球，由题意可得： ，解得：x＝12， 22﹣x＝22 12 ﹣ ＝10(人)，∴安排12 人生产塑料棒，10 人生产金属球； (3)设购买高档具套，中档具b 套，低档具套， ①若购买高档和中档具，由题意可得： ，解得： (不合题意，舍去)； ②若购买高档和低档具，由题意可得： ，解得： ； ③若购买中档和低档具，由题意可得： ，解得： ， 综上，学校可以购买高档具80 套，低档具120 套或中档具160 套，低档具40 套． 【变式训练1】某社区拟建甲，乙两类摊位以激活“地摊经济”，1 个甲类摊位和2 个乙类 摊位共占地面积14 平方米，2 个甲类摊位和3 个乙类摊位共占地面积24 平方米． (1)求每个甲，乙类摊位占地面积各为多少平方米？ (2)该社区拟建甲，乙两类摊位共100 个，且乙类摊位的数量不多于甲类摊位数量的3 倍， 求甲类摊位至少建多少个？ 【答】(1)每个甲类摊位占地6 平方米，每个乙类摊位占地4 平方米；(2)甲摊位至少建25 个 【解析】(1)解：设每个甲类摊位占地 平方米，每个乙类摊位占地 平方米， 依题意得： ， 解得： ， 答：每个甲类摊位占地平方米，每个乙类摊位占地 平方米． (2)解：设建造甲类摊位 个，则建造乙类摊位 个， 依题意得： ，解得： ． 答：甲摊位至少建 个． 【变式训练2】成都市某在建地铁工程需要将一批水泥运送到施工现场，现有甲、乙两种 货车可以租用．已知2 辆甲种货车和3 辆乙种货车一次可运送46 吨水泥，1 辆甲种货车和 2 辆乙种货车一次可运送2