九上专题02 一元二次方程的四种实际应用（教师版）

专题02 一元二次方程的四种实际应用 【基础知识点】 应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用 ①平均增长率(降低率)问题：公式：b＝(1±x)，表示基数，x 表示平均增长率(降低率)，表 示变化的次数，b 表示变化次后的量； ②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%； ③传播、比赛问题： ④面积问题：直接利用相应图形的面积公式列方程；b 将不规则图形通过割补或平移形成 规则图形，运用面积之间的关系列方程 注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检 验根是否有意义 类型一、增长率问题 例1 某蔬菜种植基地2020 年蔬菜产量为40 吨，预计2022 年蔬菜产量比2021 年增加20 吨． 若蔬菜产量的年平均增长率为x，则下面所列的方程正确的是( )． ． B． ． D． 【答】 【详解】解：设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为40(1+x)x=20， 故选：． 【变式训练1】疫情形势下，我国坚持“动态清零”的防控措施，使很多地区疫情蔓延形 势得以有效控制，并逐步恢复生产．某商店今年1 月份的销售额仅2 万元，3 月份的销售额 已达到45 万元，从1 月份到3 月份，该店销售额平均每月的增长率是( ) ．50% B．625% ．20% D．25% 【答】 【详解】设该店销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2(1+x)万元，三月份销售 额为2(1+x)2万元， 由题意可得：2(1+x)2=45， 解得：x1=05=50%，x2=-25(不合题意舍去)， 答：该店销售额平均每月的增长率为50%； 故选． 【变式训练2】河南省地方育经费总投入逐年增加，2017 年为215467 亿元，2019 年为 266852 亿元．若设育经费总投入平均每年增长的百分率为 ，则下面所列方程中正确的是 ( ) ． B． ． D． 【答】 【详解】解：设育经费总投入平均每年增长的百分率为 ，则 ， 故选： 【变式训练3】华为某型号手机经过2 次降价后的价格是2 次降价前价格的 ，则每次降 价的平均百分比是( ) ．10% B．20% ．15% D．25% 【答】B 【详解】设平均降低率为x，起始价格为m 元，根据题意，得 ， 解得x=02 或x=18(舍去)， 故选B． 类型二、利润问题 例1 某商场销售一种小商品，每件进货价为190 元，调查发现，当销售价为210 元时，平 均每天能销售8 件；当销售价每降低2 元时，平均每天就能多销售4 件． (1)商场要想使这种小商品平均每天的销售利润达到280 元，求每件小商品的销售价应定为 多少元？ (2)设每件小商品降价 元，每天的销售总利润为 元，求 与 之间的函数关系式；每件 小商品降价多少元时，每天的总利润最大？最大利润是多少？ 【答】(1)每件小商品的销售价应定为204 元或200 元销售 (2)每件小商品降价8 元时，每天的总利润最大，最大利润是288 元 【解析】(1)解：设每件小商品的销售价应降价x 元销售， 由题意得： ，∴ ， 解得 或 ， ∴每件小商品的销售价应降价10 元或6 元销售， ∴每件小商品的销售价应定为204 元或200 元销售； (2)解：由题意得 ， ∴当 时，最大，最大为288 元， ∴每件小商品降价8 元时，每天的总利润最大，最大利润是288 元． 【变式训练1】冰墩墩是2022 年北京冬季奥运会的吉祥物．冰墩墩以熊猫为原型设计，寓 意创造非凡、探索未来．某批发市场购进一批冰墩墩玩偶出售，每件进货价为50 元．经市 场调查，每月的销传量y(万件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x(元/件) 60 62 68 销售量y(万件) 40 36 24 (1)直接写出y 与x 之间的函数表达式为 ； (2)批发市场销售冰墩墩玩偶希望每月获利352 万元，且尽量给客户实惠，每件冰墩墩应该 如何定价？ (3)批发市场规定，冰墩墩的每件利润率不低于10%，若这批玩偶每月销售量不低于20 万件， 最大利润为400 万元，求的值． 【答】(1) ；(2)每件冰墩墩定价为58 元；(3) 【解析】(1)由表可知单价为60 元时，可买40 万件，每上涨2 元，销量就降4 万件，据此 有 ，整理即可得： ； (2) ，解得 ， ∵尽量给客户优惠，∴每件冰墩墩定价为58 元； (3)设销售总利润为，由题意，得 ， 又∵ ，则 ∵二次项系数 ，抛物线开口向下， ①若 ，则当 时， ，不符合题意，舍去 ②若 ，即 当 时， 随 的增大而增大，∴ 时， 最大， 此时 解得 ， (舍)，∴ ． 【变式训练2】商店销售某种利润率为50%的商品，现在的售价为30 元/千克，每天可卖 100 千克，现准备对价格进行调整，由实际销售经验可知，售价每涨1 元销售量要少卖10 千克，设涨价后的销专单价为x(元/千克)，且物价局规定每千克的利润不低于12 元且不高 于18 元． (1)该商品的购进价格是每千克多少元？ (2)若商店某天的利润为750 元，求售价为多少元？ (3)求该商店每天销售这种商品的最大利润． 【答】(1)该商品的进价为20 元； (2)商店某天的利润为750 元，求售价为25 元； (3)x＝32 时，有最大值960 元． 【解析】(1)设进价为元， ∵利润率为50%，∴(1+50%)＝30，解得：＝20， 所以该商品的进价为20 元； (2)∵物价局规定每千克的利润不低于12 元且不高于18 元． 12≤ ∴ x 20≤18 ﹣ ，∴x 的取值为32≤x≤38 根据题意得：[100 10( ﹣ x-30)](x 20) ﹣ ＝750 (400 10 ∴ ﹣ x)(x 20) ﹣ ＝750， 解得：x1＝35，x2＝25(不合题意，舍去)，∴x＝35， ∴商店某天的利润为750 元，求售价为35 元； (3)设每天的利润为，则＝(400 10 ﹣ x)(x 20) ﹣ ＝﹣10x2+600x 8000 ﹣ ＝﹣10(x 30) ﹣ 2+1000， 12≤ ∵ x 20≤18 ﹣ ，∴32≤x≤38， -10 ∵ ＜0，抛物线开口向下，故x＞30 时，y 随x 增大而减小，∴x＝32 时，有最大值960 元． 【变式训练3】冰墩墩是2022 年北京冬奥会的吉祥物，冰墩墩造型的玩偶非常畅销．某超 市经销一种冰墩墩的玩偶，每件成本为60 元．经市场调研，当该玩偶每件的销售价为70 元时，每个月可销售300 件，若每件的销售价增加1 元，则每个月的销售量将减少10 件． (1)若该超市某月销售这种造型玩偶200 件，求这个月每件玩偶的销售价． (2)若该超市某月销售这种造型玩偶获得利润4000 元，求这个月每件玩偶的销售价． 【答】(1)这个月每件玩偶的销售价80 元；(2)这个月每件玩偶的销售价80 元 【解析】(1)解：设这个月每件玩偶的销售价为x 元， 根据题意300-(x-70)×10=200，解得x=80 元， 答：这个月每件玩偶的销售价80 元； (2)解：设这个月每件玩偶的销售价y 元， 根据题意，得：(y-60)[300-10(y-70)]=4000， 整理得：y=80， 答：这个月每件玩偶的销售价80 元． 类型三、工程问题 例1．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000 米的公路进行路面 “白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型 设备每小时铺设路面30 米，大型设备每小时铺设路面60 米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间 多 ，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程 39000 米多了9000 米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用 时间比原计划增加了18m 小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原 计划每小时下降了m 米，使用时间增加了 小时，求m 的值． 【答】(1)300；(2)5 【解析】(1)解：设小型设备的使用时间为x 小时，则大型设备的使用时间为 小时，根据题意得： ，解得： ， 答：小型设备的使用时间为300 小时； (2)解：由(1)得：大型设备的原来使用时间为 小时， 根据题意得：小型设备的使用时间为 小时，大型设备铺设公路每小时为 米，大型设备的使用时间为 小时， ∴ ， 整理得： ， 解得： (舍去)． 即m 的值为5． 【变式训练1】“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一红门店接到一批3200 袋粽 子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3 天加工的粽子数比乙组2 天加工的粽 子数多300 袋．两组同时开工，甲组原计划加工10 天、乙组原计划加工8 天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工2 天后，临时又增加了500 袋的任务，甲组人员从第3 天起提高了工 作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100 袋粽子，则甲、乙 两组就都比原计划提前1 天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作 效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 【答】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200 袋、150 袋粽子；(2)400 【解析】(1)解：设甲、乙两组平均每天各能加工 袋、 袋粽子 由题意得： 解得： 答：甲、乙两组平均每天各能加工200 袋、150 袋粽子． (2)解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工 袋粽子 由题意得： 整理得： 解得： ， ， 又∵甲、乙两组加工的天数均为整数 ∴ 200+100×2=400( ∴ 袋) 答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400 袋粽子． 【变式训练2】某公司主营铁路建设施工． (1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146 千米，其中平地 施工106 千米，隧道施工至少是桥梁施工的9 倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最 多是多少千米？ (2)到今年3 月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大 值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为 254 亿元，预计二季度平地施工里程会减少7 千米，隧道施工里程会减少2 千米，桥梁施工 里程会增加千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米 的成本将会增加 亿元，若二季度总成本与一季度相同，求的值． 【答】(1)4；(2)2． 【解析】(1)解：设桥梁施工最多是m 千米，则隧道施工为 千米， ∵隧道施工至少是桥梁施工的9 倍， ∴ ， 解之得： ， ∴桥梁施工最多是4 千米． (2)解：由(1)可知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工分别为106 千米，36 千米和4 千米， 设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为x，3x，10x， ∵总成本为254 亿元， ∴ ， 解之得： ， 由题意可知：二季度平地施工里程为 千米，隧道施工里程为 千米，桥梁施 工里程为 千米；平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为：1，3， ∵二季度总成本与一季度相同， ∴ ， 即 ， 解之得： (舍去)或 ， 故 ． 【变式训练3】公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量． 某头盔经销商5 至7 月份统计，某品牌头盔5 月份销售2250 个，7 月份销售3240 个，且从 5 月份到7 月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条 生产线最大产能是900 个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30 个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900 个，在增加产能同时又要节省投入的条件下(生产 线越多，投入越大)，应该增加几条生产线？ 【答】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20% (2)在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4 条生产线 【解析】(1)解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得： ，解得： ， (不合题意，舍去)． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． (2)解：设增加x 条生产线． ， 解得 ， (不符合题意，舍去)， 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4 条生产线． 类型四、面积问题 例1 如图，要建一个面积为140 平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16 米;在与墙平 行的一边，要开一扇2 米宽的门已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32 米， 那么这个仓库设计的长和宽应分别为多少米? 【答】14 米，10 米 【解析】设垂直于墙的一边长为x 米，则平行于墙的一边长为(32-2x+2)米， 由题意得x•(32-2x+2)=140，整理，得x2-17x+70=0，解得x1=10，x2=7， 当垂直于墙的边长为7 米，则平行于墙的长度为32-14+2=20(米)＞16 米，舍去； 当垂直于墙的边长为10 米，则平行于墙的长度为32-20+2=14(米)； 答：仓库的长和宽分别为14 米，10 米． 故答为：14 米，10 米 【变式训练1】如图，用长为40m 的细铁丝围成一个矩形 ． (1)若这个矩形的面积等于 ，求 的长度； (2)这个矩形的面积可能等于 吗？若能，求出 的长度，若不能，说明理由； (3)若这个矩形为黄金矩形( 与 之比等于黄金比 )，求该矩形的面积．(结果保留 根号) 【答】(1)11m；(2)不能，理由见解析；(3) 【详解】解：(1)设 ，则 ， 根据题意得 ，整理得 ， 解得 ， ， 当 时， ；当 时， ， 而 ，所以 ，即 的长为 ； (2)不能．理由如下：设 ，则 ，根据题意得 ， 整理得 ，因为△ ，所以方程没有实数解， 所以这个矩形的面积可能等于 ； (3)设 ，则 ，根据题意得 ，解得 ， 则 ，所以矩形的面积 ． 【变式训练2】如图，从一块矩形铁片中间截去一个小矩形，使剩下部分四周的宽度都等 于x ，且小矩形的面积是原来矩形面积的一半，则x 的值为_________． 【答】10 【解析】因为小长方形的长为(80−2x)m，宽为(60−2x)m， 则其面积为(80−2x)(60−2x)m2 根据题意得：(80−2x)(60−2x)＝1 2 ×80×60，整理得：x2−70x＋600＝0， 解之得：x1＝10，x2＝60，因x＝60 不合题意，应舍去，所以x＝10． 故答为：10 【变式训练3】如图，在足够大的空地上有一段长为20 米的旧墙M，某人利用旧墙和木栏 围成一个矩形菜BD，已知矩形菜的一边靠墙，另三边一共用了100 米木栏． (1)所围成的矩形菜的面积为450 平方米，求所用旧墙D 的长； (2)求矩形菜BD 面积的最大值． 【答】(1)10 米；(2)800 平方米 【详解】解：(1)设B=x，则B=(100-2x)，由题意得： x(100-2x)=450，解得：x1=5，x2=45， 当x=5 时，100-2x=90＞20，不合题意舍去； 当x=45 时，100-2x=10＜20， 答：D 的长为10 米； (2)设B=x，则S= x(100-x)= (x-50)2+1250， 0 ∵＜x≤20， ＜0，∴x=20 时，S 的最大值是800． 答：当x=20 时，矩形菜BD 面积的最大值为800 平方米．