专题06 二元一次方程组的四种实际应用（学生版）

专题06 二元一次方程组的四种实际应用 类型一、方问题 例．已知：用2 辆型车和1 辆B 型车装满货物一次可运货10 吨；用1 辆型车和2 辆B 型车 装满货物一次可运货11 吨．某物流公司现有31 吨货物，计划同时租用型车m 辆，B 型车 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1 辆型车和1 辆B 型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方，且分别求出m，的值； (3)若型车每辆需租金100 元/次，B 型车每辆需租金120 元/次．请选出最省钱的租车方，并 求出最少租车费． 【变式训练1】某校准备组织八年级280 名学生和5 名老师参加研学活动，已知用1 辆小客 车和2 辆大客车每次可运送120 人；用3 辆小客车和1 辆大客车每次可运送135 人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少人？ (2)若学校计划租用小客车m 辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满． ①请你设计出所有的租车方； ②若小客车每辆需租金6000 元，大客车每辆需租金7500 元，总租金为元，写出与m 的关 系式，根据关系式选出最省钱的租车方，并求出最少租金． 【变式训练2】现在以及未来，会有更多的高科技应用在我们日常的生产生活中，比如： 无人机放牧，机器狗导盲，智能化无人码头装卸等．某快递公司为了提高工作效率，计划 购买，B 两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台B 型机器人每天多搬运 25 吨，并且3 台型机器人和2 台B 型机器人每天共搬运货物450 吨． (1)求每台型机器人和每台B 型机器人每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台型机器人售价3 万元，每台B 型机器人售价25 万元，该公司计划采购，B 两种型号 的机器人共20 台，同时厂家要求型机器人购买量不得少于10 台，请根据以上要求，求出， B 两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？ 【变式训练3】一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆 行走向战场外，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲，乙两种货车向武汉运送爱心物资． 两次满载的运输情况如表： 甲种货车辆数 乙种货车辆数 合计运物资吨数 第一次 3 4 31 第二次 2 6 34 (1)求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资； (2)由于疫情的持续，该公司安排甲乙货车共10 辆进行第三次物资的运送，运送的物资不少 于484 吨，其中每辆甲车一次运送花费500 元，每辆乙车一次运送花费300 元，请问该公 司应如何安排车辆最节省费用？ 类型二、销售利润问题 例．在元旦期间，某水果店销售葡萄，零售一箱该种葡萄的利润是60 元，批发一箱该种葡 萄的利润是30 元． (1)已知该水果店元日放假三天卖出100 箱这种葡萄共获利润3600 元，求该水果店元旦放假 三天零售、批发该种葡萄分别是多少箱？(要求：列二元一次方程组解应用问题) (2)现该水果店要经营1000 箱该种葡萄，并规定该葡萄零售的箱数小于等于200 箱，请直接 写出零售和批发各多少箱时，才能使总利润最大？并直接写出最大总利润是多少元？ 【变式训练1】某水果店以4 元千克的价格购进一批水果，由于销售状况良好，该店又再 次购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了05 元，所购水果重量恰好是第 一次购进水果重量的2 倍，这样该水果店两次购进水果共花去了2200 元． (1)该水果店两次分别购买了多少元的水果？ (2)在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的 水果有 的损耗，第二次购进的水果有 的损耗，该水果店希望售完这些水果获利不低 于1244 元，则该水果每千克售价至少为多少元？ 【变式训练2】2020 年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线育用户规模不断增大．络 师小李抓住时机，开始组建团队，制作面向、B 两个不同需求学生群体的微课视频．已知 制作3 个类微课和5 个B 类微课需要4600 元成本，制作5 个类微课和10 个B 类微课需要 8500 元成本．李老师又把做好的微课出售给某视频播放站，每个类微课售价1500 元，每 个B 类微课售价1000 元．该团队每天可以制作1 个类微课或者15 个B 类微课，且团队每 月制作的B 类微课数不少于类微课数的2 倍(注：每月制作的、B 两类微课的个数均为整数)． 假设团队每月有22 天制作微课，其中制作类微课天，制作、B 两类微课的月利润为元． (1)求团队制作一个类微课和一个B 类微课的成本分别是多少元？ (2)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (3)每月制作类微课多少个时，该团队月利润最大，最大利润是多少元？ 【变式训练3】在近期“抗疫”期间，某药店销售，B 两种型号的口罩，已知销售80 只型 和45 只B 型的利润为21 元，销售40 只型和60 只B 型的利润为18 元． (1)求每只型口罩和B 型口罩的销售利润； (2)该药店计划一次购进两种型号的口罩共2000 只，其中B 型口罩的进货量不少于型口罩的 进货量且不超过它的3 倍，则该药店购进型、B 型口罩各多少只，才能使销售总利润y 最 大？最大值是多少？ 类型三、行程问题 例．某边防部队接到情报，近海处有一艘可疑船只正向出海方向行驶，边防部队迅速派出 快艇B 追赶．在追赶过程中，设可疑船只相对于海岸的距离为 (海里)，快艇B 相对于海 岸的距离为 (海里)，追赶时间为t(分钟)， 与t 之间的函数关系如图所示，请结合图 象解答下列问题： (1)分别求出 与t 之间的函数解析式； (2)快艇B 需要多长时间才能追上可疑船只？ 【变式训练1】当前，新冠肺炎疫情仍在全球蔓延，国内疫情也呈现多地散发、部分聚集 态势，接种新冠疫苗是构筑全民免疫的有力屏障，重庆市八月启动 岁学生新冠病毒 疫苗接种工作，小南和小开计划在父母陪同下前往医院接种新冠疫苗，小南从 小区匀速 步行前往 医院接种，同时，小开留观结束从 医院返回 小区，两人之间的距离 (m)与 步行时间 (m)的关系如图所示． (1) 小区和 医院的距离为 m，小南和小开出发 m 后相遇； (2)若小南的步行速度比小开的步行速度快；求小南和小开步行的速度各是多少？ (3)计算出点 对应的步行时间 和两人之间的距离 ，并解释点 的实际意义． 【变式训练2】马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42 千米．如 下是关于某市今年全程马拉松比赛的部分信息． ①在起点，沿途每隔5 千米处及终点提供水，运动饮料，水果等补给，最后两个补给站之 间为2 千米； ②在起点，终点和沿途等距离设置若干个固定医疗站 若每个补给站安排1 个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排2 个值班员，则需要 64 个值班员；若每个补给站安排2 个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排3 个值 班员，则需要99 个值班员． (1)本次马拉松比赛共设置______个补给站； (2)沿途中，每两个固定医疗站之间距离是多少？ (3)沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点多少千米？ 类型四、分配问题 例．某生产具的厂家准备生产正方体具，具由塑料棒与金属球组成(一条棱用一根塑料棒， 一个顶点由一个金属球镶嵌)，并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装． (1)生产前，要画直观图．现在设计人员仅画出如图所示设计图，请你补全正方体模型的直 观图． (2)该厂家的一个车间负责生产正方体具，该车间共有22 名工人，每个工人每天可生产塑料 棒100 根或者金属球80 个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体具？ (3)现某中学购买两种档次的正方体具共200 套(价格如表所示)，若恰好用了2800 元，请问 该学校应该如何购买该具？(直接写出答即可) 品种 高档 中档 低档 价格/元 20 15 10 【变式训练1】某社区拟建甲，乙两类摊位以激活“地摊经济”，1 个甲类摊位和2 个乙类 摊位共占地面积14 平方米，2 个甲类摊位和3 个乙类摊位共占地面积24 平方米． (1)求每个甲，乙类摊位占地面积各为多少平方米？ (2)该社区拟建甲，乙两类摊位共100 个，且乙类摊位的数量不多于甲类摊位数量的3 倍， 求甲类摊位至少建多少个？ 【变式训练2】成都市某在建地铁工程需要将一批水泥运送到施工现场，现有甲、乙两种 货车可以租用．已知2 辆甲种货车和3 辆乙种货车一次可运送46 吨水泥，1 辆甲种货车和 2 辆乙种货车一次可运送28 吨水泥． (1)求每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能装运多少吨水泥？ (2)已知甲种货车每辆租金为450 元，乙种货车每辆租金为400 元，现租用甲、乙共9 辆货 车．请求出租用货车的总费用 (元)与租用甲种货车的数量 (辆)之间的函数关系式． (3)在(2)的条件下，为了保障能拉完这批水泥，发现甲种货车不少于5 辆，请你为该企业设 计如何租车费用最少？并求出最少费用是多少元？ 课后练习 1．在抗击疫情络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200 元钱购买、B、三 种奖品，种每个10 元， B 种每个20 元，种每个30 元，在种奖品不超过两个且钱全部用完 的情况下，有多少种购买方( ) ．12 种 B．15 种 ．16 种 D．14 种 2．如图，、B 两地相距 ，甲、乙两人沿同一条路线从地到B 地．甲先出发，匀速行 驶，甲出发1 小时后乙再出发，乙以 的速度匀速行驶1 小时后提高速度并继续匀速 行驶，结果比甲提前到达甲、乙两人离开地的距离 与时间 的关系如图所示，则 乙出发几小时后和甲相遇？( ) ． 小时 B． 小时 ． 小时 D． 小时 3．甲、乙两城相距1120 千米，一列快车从甲城出发120 千米后，另一列动车从乙城出发 开往甲城，2 个小时后两车相遇．若快车平均每小时行驶的路程是动车平均每小时行驶的 路程的一半还多5 千米，则动车平均每小时比快车平均每小时多行驶的路程为( ) ．330 千米 B．170 千米 ．160 千米 D．150 千米 4．从甲地到乙地有一段上坡路与一段下坡路．如果上坡平均每小时走2km，下坡平均每小 时走3km，那么从甲地走到乙地需要15 分钟，从乙地走到甲地需要20 分钟．若设从甲地 到乙地上坡路程为xkm，下坡路程为ykm，则所列方程组正确的是( ) ． B． ． D． 5．现有八个大小相同的长方形，可拼成如图①、②所示的图形，在拼图②时，中间留下了 一个边长为2 的小正方形，则每个小长方形的面积是( ) ．30 B．40 ．50 D．60 6．某大酒店客房部有三人间、双人间和单人间客房，收费数据如下表(例如三人间普通间 客房每人每天收费50 元)．为吸引客源，在“元旦”期间进行优惠大酬宾，凡团体入住一 律五折优惠，一个50 人的旅游团在十二月三十一号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双 人间普通客房． 普通间(元/人/天) 豪华间(元/人/天) 贵宾间(元/人/天) 三人间 50 100 500 双人间 70 150 800 单人间 100 200 1500 (1)如果每个客房正好住满，一天共需住宿费1510 元，求三人间、双人间普通客房各住了多 少间？ (2)设三人间共住了x 人，且按实际占用的床位收费，一天的住宿费用y 元表示，写出y 与x 的函数关系式； (3)为了方便管理，酒店规定不同旅行团的成员不得混住到同一间寝室，且收费方式改为按 该团占用的寝室个数收费．比如，某旅行团住了一个三人间，但只住了两个旅客，若仍按 三人入住收费．如果你是该团领队，你认为(1)中的住宿方式是不是费用最少的？为什么？ 7．某超市在冬至这天，购进了大量羊腿和羊排．顾客甲买了4 斤羊腿，3 斤羊排，一共花 了272 元；顾客乙买了2 斤羊腿，1 斤羊排，一共花了116 元． (1)羊腿和羊排的售价分别是每斤多少元？ (2)第二天进货时，超市老板根据前一天的销售情况，决定购进羊腿和羊排共180 斤，且羊 腿的重量不少于120 斤，若在售价不变的情况下，每斤羊腿可盈利6 元，而羊排的利润率 为25%，问超市老板应该如何进货才能使得这批羊肉卖完时获利最大？最大利润是多少？ 8．小明家需要用钢管做防盗窗，按设计要求，其中需要长为 ， 且粗细相同的钢 管分别为100 根，32 根，并要求这些用料不能是焊接而成的，现钢材市场的这种规格的钢 管每根为 ． (1)试问一根 长的圆钢管有哪些剪裁方法呢，请填写下空(余料作废)． 方法①：当只裁剪长为 的用料时，最多可剪_______根． 方法②：当先剪下1 根 时，余下部分最多能剪_______根 长． 方法③：当先剪下2 根 时，余下部分最多能剪________根 长． (2)分别用(1)中的方法②和方法③各裁剪多少根 长的钢管，才能刚好得到所需要的相应 数量的材料． 9．运输公司要把120 吨物资从地运往B 地，有甲，乙，丙三种车型供选择，每种型号的车 辆的运载量和运费如下表所示．(假设每辆车均满载) 车型 甲 乙 丙 运载量(吨/辆) 5 8 10 运费(元/辆) 450 600 700 解答下列问题： (1)安排甲型车8 辆，乙型车5 辆，丙型车___________辆可将全部物资一次运完； (2)若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600 元，则甲、乙型车各需多少辆? (3)若用甲、乙，丙型车共14 辆同时参与运送，且一次运完全部物资，则三种型号的车各需 多少辆?此时总运费为多少元?