专题8.2 二元一次方程组的应用【十大题型】（原卷版）

专题82 二元一次方程组的应用【十大题型】 【人版】 【题型1 行程问题】................................................................................................................................................. 1 【题型2 工程问题】................................................................................................................................................. 2 【题型3 销售、利润问题】.....................................................................................................................................3 【题型4 数字问题】................................................................................................................................................. 4 【题型5 年龄问题】................................................................................................................................................. 4 【题型6 分配问题】................................................................................................................................................. 5 【题型7 和、差、倍、分问题】.............................................................................................................................6 【题型8 几何问题】................................................................................................................................................. 7 【题型9 图表信息问题】.........................................................................................................................................8 【题型10 方问题】.................................................................................................................................................. 10 【题型1 行程问题】 【例1】（2022·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）甲乙二人分别从相距20千米的，B两地出发， 相向而行．如果甲比乙早出发半小时，那么在乙出发后2小时，他们相遇；如果他们同时 出发，那么1小时后两人还相距11千米，求甲乙二人每小时各走多少千米？ 【变式1-1】（2022·江苏·无锡市查桥中学七年级阶段练习）甲、乙二人在一个大型环形场 地上从点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的25 倍，当4 分钟时两人首次相遇，此时乙还 需要跑300 米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长． 【变式1-2】（2022·安徽·肥西县严店初级中学七年级阶段练习）小北同学早晨骑车去上学， 半小时可到达学校，妈妈发现他的数学书丢在家中，在小北出发3 10小时后乘上出租车去学 校送书，出租车每小时的速度比小北骑车的速度快20 千米，由于市政建设，出租车到校行 驶的路程比小北骑车行驶的路程多1 千米，恰好与小北同时到达学校．求小北需要骑行多 少千米到学校？ 【变式1-3】（2022·安徽合肥·七年级期末）甲从地出发步行到B 地，乙同时从B 地步行出 发至地，2 小时后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1 千米/小时．若设甲刚 出发时的速度为千米/小时，乙刚出发的速度为b 千米/小时． （1）、B 两地的距离可以表示为 千米（用含，b 的代数式表示）； （2）甲从到B 所用的时间是： 小时（用含，b 的代数式表示）； 乙从B 到所用的时间是： 小时（用含，b 的代数式表示）． 1 （3）若当甲到达B 地后立刻按原路向返行，当乙到达地后也立刻按原路向B 地返行．甲乙 二人在第一次相遇后3 小时36 分钟又再次相遇，请问B 两地的距离为多少？ 【题型2 工程问题】 【例2】（2022·陕西·西安高新一中实验中学八年级期末）某厂的甲、乙两个小组共同生产 某种产品，若甲组先生产1 天，然后两组又各自生产7 天，则两组产品一样多；若甲组先 生产了300 个产品，然后两组又各自生产了5 天，则乙组比甲组多生产200 个产品；求两 组每天各生产多少个产品？ 【变式2-1】（2022·江苏淮安·七年级期中）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同 时施工，8 天可以完成，需付两组费用共3520 元；若先请甲组单独做6 天，再请乙组单独 做12 天可以完成，需付费用3480 元． (1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元； (2)已知甲单独完成需12 天，乙单独完成需24 天，单独请哪个组，商店所需费用少？ (3)若装修完后，商店每天可盈利200 元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独 做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结 论） 【变式2-2】（2022·广西贺州·七年级期末）在某外环公路改建工程中，某路段长6140 米， 现准备由甲、乙两个工程队拟在25 天内(含25 天)合作完成，已知两个工程队各有20 名工 人(设甲、乙两个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天工作量相同，乙工程队每 人每天工作量相同)，甲工程队1 天、乙工程队2 天共修路400 米；甲工程队2 天、乙工程 队3 天共修路700 米． （1）试问：甲、乙两个工程队每天分别修路多少米? （2）甲、乙两个工程队施工8 天后，由于工作需要需从甲队调离m 人去其他工程工作，总 部要求在规定时间内完成，请问：甲工程队最多可以调离多少人? 【变式2-3】（2022·全国·七年级专题练习）面对某国不断对我国的打压，我国自主品牌抗 住压力．以华为手机为例，今年一月份我国某工厂用自主创新的A、B两种机器人组装某 款华为手机，每小时一台A种机器人比一台B种机器人多组装50 个该款华为手机，每小时 10 台A种机器人和5 台B种机器人共组装3500 个该款华为手机． （1）今年一月份，该工厂每小时一台A种机器人、一台B种机器人分别能组装多少个该款 华为手机？ （2）该工厂原有A、B两种机器人的数量相等，因市场销售火爆，二月份该工厂增加了一 部分A种机器人并淘汰了一部分B种机器人，这样A种机器人的数量增加了2m%，B种机 器人数量减少了m%．同时，该工厂对全部A种机器人进行了升级改造，升级改造后的机 器人命名为C种机器人，已知每小时一台C种机器人组装该款华为手机的数量比原一台A 1 种机器人组装该款华为手机的数量增加了1 5，每小时C种机器人和B种机器人组装该款华为 手机的数量之和比A种机器人和B种机器人组装该款华为手机的数量之和提高了20%，求 m的值． 【题型3 销售、利润问题】 【例3】（2018·贵州·贵阳乐湾国际实验学校八年级阶段练习）2018 年某歌手地表最强巡回 演唱会于11 月17 日在贵阳奥林匹克体育中心举行，小颖购买了一张票价为四位数的场地 票（动感地带专属），而小明一张购买了票价为三位数的看台票（动感地带专属）．小颖 说，“在你的票价前面多写个1,都还比我的便宜200 元”；小明说，“只需在我的票价后 多写个0，就比你的贵3120 元”请问小颖和小明购买的演唱会门票各是多少元？ 【变式3-1】（2022·江西吉安·八年级期末）2018 年10 月，吉州区井冈蜜柚节迎来了四方 游客，游客李先生选购了井冈蜜柚和井冈板栗各一箱需要200 元．他还准备给4 位朋友每 人送同样的井冈蜜柚一箱，6 位同事每人送同样的井冈板栗一箱，就还需要1040 元． （1）求每箱井冈蜜柚和每箱井冈板栗各需要多少元？ （2）李先生到收银台才得知井冈蜜柚节期间，井冈蜜柚可以享受6 折优惠，井冈板栗可以 享受8 折优惠，此时李先生比预计的付款少付了多少元？ 【变式3-2】（2022·江苏南通·七年级期末）小瑞去花店购买鲜花，若买5 支玫瑰和3 支百 合，则她所带的钱还剩下10 元；若买3 支玫瑰和5 支百合，则她所带的钱还缺4 元． (1)若小瑞所带的钱是51 元，请分别求出玫瑰和百合单价是多少元？ (2)若小瑞所带的钱是m 元，且一共只买8 支玫瑰，请直接写出小瑞所带的钱还剩下多少元？ 【变式3-3】（2022·广西南宁·七年级期中）为响应国家“足球进收”的号召，满足学校对 足求的需求．某商家第一次购进了38 个类足球和20 个B 类足球进行销售，共花费了5580 元，已知商家购进一个B 类足球的价格是购进一个类足球价格的12 倍． (1)求商家购进一个类足球和一个B 类足球各需多少元？ (2)若一个类足球的售价为110 元．两类足球销售完毕，商家要获得1880 元的利铜，则B 类 足球的总售价为多少元？ (3)为了回馈客户，商家决定进行打折销售，若商家第二次又以原进价购进、B 两类足球， 购进类足球的件数不变，而购进B 类足球的件数是第一次的2 倍，类足球按原售价销售， 而B 类足球打折销售，若第二次两类足球全部销售完毕，要使得第二次销售获得利润1688 元，则B 类足球是打几折销售的？ 【题型4 数字问题】 【例4】（2022·甘肃·高台县第三中学八年级期末）一个两位数，其个位上的数是十位上的 数的2 倍，若交换一下位置，所得新的两位数比原两位数大9，求原两位数． 【变式4-1】（2018·福建龙岩·七年级期末）已知表内的各横行中，从第二个数起的数都比 1 它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大．求m，以及 表中x 的值． 【变式4-2】（2022·全国·九年级专题练习）小杰、小明两人做加法运算，小杰将其中一个 加数后面多写了一个零，得和是1275，小明将同一个加数少写了一个零，得和是87，求原 来两个加数． 【变式4-3】（2022·全国·九年级专题练习）若在一个两位正整数 的个位数字与十位数字 之间添上数字 2 ，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为 的“诚勤数”，如 34 的 “诚勤数”为 324 ；若将一个两位正整数 M 加 2 后得到一个新数，我们称这个新数为 M 的“立达数”，如 34 的“立达数”为 36． （1）求证：对任意一个两位正整数 ，其“诚勤数”与“立达数”之差能被 6 整除； （2）若一个两位正整数 B 的“立达数”的各位数字之和是 B 的各位数字之和的一半，求 B 的值． 【题型5 年龄问题】 【例5】（2022·江苏·七年级）今年（2022 年）4 月20 日，是云大附中建校95 周年暨云大 附中恢复办学40 周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的 巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的 年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13 岁，妹妹今年4 岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15 岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业 的云附学子？ 【变式5-1】（2022·重庆市松树桥中学校七年级阶段练习）7 月4 日，2020 长白山地下森 林徒步活动鸣枪开始，一名34 岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩 子与记者的部分对话： 妹妹：我和哥哥的年龄和是16 岁． 哥哥：两年后，妹妹年龄的3 倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄． 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 1 【变式5-2】（2022·甘肃酒泉·八年级期末）5 年前母亲的年龄是女年龄的15 倍，15 年后， 母亲的年龄比女年龄的2 倍多6 岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？ 【变式5-3】（2022·全国·八年级课时练习）聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈 的年龄的十位数字与个位数字正好相反同时，他还发现，过10 年，妈妈岁数减1（岁）刚 好是自己岁数加1（岁）的2 倍；再过1 年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个 位数字的和为7，求聪聪和他妈妈现在的年龄 【题型6 分配问题】 【例6】（2022·河北承德·七年级期末）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线，在 一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为(4 a+1)小时；在一天内，B生产线共加 工b吨原材料，加工时间为(2b+3)小时． (1)当a=b=1时，两条生产线的加工时间分别时多少小时？ (2)第一天，该企业把5 吨原材料分配到A．B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了 加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的的吨数是多少？ (3)第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5 吨原材料后，又给A生产线分配了 m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到 的所有原材料，且加工时间相同，则m和n有怎样的数量关系？若此时m与n的和为6 吨， 则m和n的值分别为多少吨？ 【变式6-1】（2022·山东菏泽·七年级期中）一套餐桌有一张桌子和六把椅子组成．如果1 立方米木料可以制作10 张桌子，或制作15 把椅子．现有15 立方米的木料，请你设计一下， 用多少立方米的木料做桌子，多少立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌？ 【变式6-2】（2022·全国·七年级）我市某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了 确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料， 每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与B 型两种板材（不计损耗），如图甲．（单 位：cm） 1 (1)列出方程（组），求出图甲中与b 的值； (2)在试生产阶段，若将30 张标准板材用裁法一裁剪，4 张标准板材用裁法二裁剪，再将得 到的型与B 型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式（高大于长）与横式（长大于高）两种 无盖礼品盒． ①两种裁法共生产型板材_________张，B 型板材_______张； ②能否在做成若干个上述的两种无盖礼品盆后，恰好把①中的型板材和B 型板材用完？若 能，则竖式无盖礼品盒与横式无盖礼品盒分别做了几个？若不能，则最多能做成竖式和横 式两种无盖礼品盒共多少个？ 【变式6-3】（2022·四川·沐川县师进修学校七年级期末）某工厂生产如图1 所示的长方形 和正方形纸板，做成如图2 所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒，其中竖式纸盒 由4 个长方形和1 个正方形纸板做成，横式纸盒由3 个长方形和2 个正方形纸板做成（给 定的长方形和正方形纸板都不用裁剪，也不考虑接缝）． (1)现有长方形纸板340 张，正方形纸板160 张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求两 种纸盒生产个数． (2)纸板车间共有78 名工人，每个工人一天能生产70 张长方形纸板或者100 张正方形纸板， 已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套，要求纸板车间一天生产的纸板由其它车间做成竖 式纸盒与横式纸盒配套，问纸板车间应该如何安排工人生产两种纸板？ 1 【题型7 和、差、倍、分问题】 【例7】（2022·吉林·东北师大附中七年级阶段练习）某校七、八年级学生共600 人，学校 组织学生参观科技博物馆和伪皇宫的活动，参观科技博物馆的人数是参观伪皇宫人数的2 倍多60 人．分别求参观科技博物馆和伪皇宫的学生的人数． 【变式7-1】（2022·海南省直辖县级单位·一模）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它 由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km，其中桥梁长度比隧道长度的9 倍少 5 km，求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度． 【变式7-2】（2022·山东·东平县实验中学七年级阶段练习）某校办工厂去年的总收入比总 支出多50 万元，今年的总收入比去年增加10%，总支出节约20%，因而总收入比总支出多 100 万元．求去年的总收入和总支出． 【变式7-3】（2022·重庆巴南·七年级期末）某街道为了绿化一块闲置空地，购买了甲、乙 两种树木共72 棵种植在这个空地上，购买时，已知甲种树木的单价是乙种树木的单价的9 8， 乙种树木的单价是每棵80 元，购买甲、乙两种树木的总费用是6160 元． (1)甲、乙两种树木各购买了多少棵？ (2)经过一段时间后，种植的这批树木成活率高，绿化效果好，该街道决定再次购买这两种 树木来绿化另一块闲置空地，购买时，发现甲种树木的单价比第一次购买时的单价下降了 a 50，乙种树木的单价比第一次购买时的单价下降了1 10，于是，该街道购买甲种树木的数 量比第一次多了1 5，购买乙种树的数量比第一次多了a 50，且购买甲、乙两种树木的总费用 比第一次多了2a 125，请求出的值． 【题型8 几何问题】 【例8】（2022·江苏·靖江市实验学校七年级期中）小东在拼图时，发现8 个一样大小的长 方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1 所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结 果小林七拼八凑，拼成了如图2 那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3m 的小 正方形，求小长方形的面积． 【变式8-1】（2022·安徽淮南·七年级期末）列二元一次方程组解应用题： 某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家．准备将一块周长为76 米的长方形空地，设计 1 成长和宽分别相等的9 块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测， 绿化每平方米空地造价210 元，请计算每块小长方形的长和宽；要完成这块绿化工程，预 计花费多少元？ 【变式8-2】（2022·全国·七年级课前预习）如图