专题8.2 二元一次方程组的应用【十大题型】（解析版）

专题82 二元一次方程组的应用【十大题型】 【人版】 【题型1 行程问题】................................................................................................................................................. 1 【题型2 工程问题】................................................................................................................................................. 3 【题型3 销售、利润问题】.....................................................................................................................................7 【题型4 数字问题】............................................................................................................................................... 10 【题型5 年龄问题】............................................................................................................................................... 13 【题型6 分配问题】............................................................................................................................................... 15 【题型7 和、差、倍、分问题】...........................................................................................................................19 【题型8 几何问题】............................................................................................................................................... 22 【题型9 图表信息问题】.......................................................................................................................................25 【题型10 方问题】.................................................................................................................................................. 29 【题型1 行程问题】 【例1】（2022·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）甲乙二人分别从相距20千米的，B两地出发， 相向而行．如果甲比乙早出发半小时，那么在乙出发后2小时，他们相遇；如果他们同时 出发，那么1小时后两人还相距11千米，求甲乙二人每小时各走多少千米？ 【答】甲每小时走4千米，乙每小时走5千米 【分析】设甲每小时走x千米，乙每小时走y千米，根据题意列出方程组解答即可． 【详解】解：设甲每小时走x千米，乙每小时走y千米， 根据题意，得¿． 整理，得¿． 解得¿． 答：甲每小时走4千米，乙每小时走5千米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系． 【变式1-1】（2022·江苏·无锡市查桥中学七年级阶段练习）甲、乙二人在一个大型环形场 地上从点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的25 倍，当4 分钟时两人首次相遇，此时乙还 需要跑300 米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长． 【答】甲的速度为375 米/分，乙的速度为150 米/分，环形场地的周长为900 米． 【分析】设乙的速度为x 米/分，则甲的速度为25x 米/分，环形场地的周长为y 米，根据环 形问题的数量关系，同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程－慢者走的路程＝环形 周长建立方程组求出其解即可． 1 【详解】解：设乙的速度为x 米/分，则甲的速度为25x 米/分，环形场地的周长为y 米， 由题意，得：¿， 解得：¿， ∴甲的速度为：25×150＝375 米/分； 答：甲的速度为375 米/分，乙的速度为150 米/分，环形场地的周长为900 米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答时运用环形问题的数量关系建立方程是 关键． 【变式1-2】（2022·安徽·肥西县严店初级中学七年级阶段练习）小北同学早晨骑车去上学， 半小时可到达学校，妈妈发现他的数学书丢在家中，在小北出发3 10小时后乘上出租车去学 校送书，出租车每小时的速度比小北骑车的速度快20 千米，由于市政建设，出租车到校行 驶的路程比小北骑车行驶的路程多1 千米，恰好与小北同时到达学校．求小北需要骑行多 少千米到学校？ 【答】5 千米 【分析】设小北每小时骑行x 千米，骑行y 千米到达学校，利用小北同学早晨骑车去上学， 半小时可到达学校和出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1 千米，恰好与小北 同时到达学校列出方程组即可求解． 【详解】解：设小北每小时骑行x 千米，骑行y 千米到达学校， 由题意可得¿， 解得¿， 答：小北需要骑行5 千米到达学校． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找出题目的等量关系是解题的关 键． 【变式1-3】（2022·安徽合肥·七年级期末）甲从地出发步行到B 地，乙同时从B 地步行出 发至地，2 小时后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1 千米/小时．若设甲刚 出发时的速度为千米/小时，乙刚出发的速度为b 千米/小时． （1）、B 两地的距离可以表示为 千米（用含，b 的代数式表示）； （2）甲从到B 所用的时间是： 小时（用含，b 的代数式表示）； 乙从B 到所用的时间是： 小时（用含，b 的代数式表示）． （3）若当甲到达B 地后立刻按原路向返行，当乙到达地后也立刻按原路向B 地返行．甲乙 二人在第一次相遇后3 小时36 分钟又再次相遇，请问B 两地的距离为多少？ 【答】（1）2（+b）；（2）（2+ 2b a+1）；（2+ 2a b+1）；（3）36 【分析】（1）根据两地间的距离=两人的速度之和×第一次相遇所需时间，即可得出结论； 1 （2）利用时间=路程÷速度结合2 小时后第一次相遇，即可得出结论； （3）设B 两地的距离为S 千米，根据路程=速度×时间，即可得出关于（+b），S 的二元一 次方程组（此处将+b 当成一个整体），解之即可得出结论． 【详解】（1）、B 两地的距离可以表示为2（+b）千米． 故答为：2（+b）． （2）甲乙相遇时，甲已经走了2a千米，乙已经走了2b千米， 根据相遇后他们的速度都提高了1 千米/小时，得甲还需2b a+1小时到达B 地，乙还需2a b+1 小时到达地， 所以甲从到B 所用的时间为（2+ 2b a+1 ）小时，乙从B 到所用的时间为（2+ 2a b+1）小时． 故答为：（2+ 2b a+1）；（2+ 2a b+1）． （3）设B 两地的距离为S 千米，3 小时36 分钟＝18 5 小时． 依题意，得： ¿， 令x＝+b，则原方程变形为¿， 解得：¿． 答：B 两地的距离为36 千米． 【点睛】本题考查了列代数式以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元 一次方程组是解题的关键． 【题型2 工程问题】 【例2】（2022·陕西·西安高新一中实验中学八年级期末）某厂的甲、乙两个小组共同生产 某种产品，若甲组先生产1 天，然后两组又各自生产7 天，则两组产品一样多；若甲组先 生产了300 个产品，然后两组又各自生产了5 天，则乙组比甲组多生产200 个产品；求两 组每天各生产多少个产品？ 【答】甲、乙两组每天个各生产700、800 个产品 【分析】设甲、乙两组每天个各生产x、y 个产品，则根据若甲组先生产1 天，然后两组又 各自生产了7 天，则两组产量一样多．若甲组先生产了300 个产品，然后两组各自生产5 天，则乙组比甲组多生产200 个产品两个等量关系列方程组求解即可． 【详解】解：设甲、乙两组每天个各生产x、y 个产品，根据题意得： ¿ 解得：¿ 答：甲、乙两组每天个各生产700、800 个产品． 【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，掌握列二元一次方程组解应用题的方法与 1 步骤，抓住等量关系是解题关键． 【变式2-1】（2022·江苏淮安·七年级期中）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同 时施工，8 天可以完成，需付两组费用共3520 元；若先请甲组单独做6 天，再请乙组单独 做12 天可以完成，需付费用3480 元． (1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元； (2)已知甲单独完成需12 天，乙单独完成需24 天，单独请哪个组，商店所需费用少？ (3)若装修完后，商店每天可盈利200 元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独 做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结 论） 【答】(1)甲组工作一天，商店应付300 元，乙组工作一天，商店应付140 元 (2)单独请乙组，商店所需费用少 (3)安排甲乙合作施工更有利于商店 【分析】（1）根据题意建立方程组并求解； （2）将单独请甲乙组的费用计算出来，再进行比较，得出答； （3）将三种方损失费用计算出来进行比较，得出答． （1） 设甲组工作一天，商店应付x 元，乙组工作一天，商店应付y 元， 依题意得：¿， 解得：¿． 答：甲组工作一天，商店应付300 元，乙组工作一天，商店应付140 元． （2） 300×12＝3600（元）， 140×24＝3360（元）． ∵3600＞3360， ∴单独请乙组，商店所需费用少． （3） 选择①：（300+200）×12＝6000（元）； 选择②：（140+200）×24＝8160（元）； 选择③：（300+140+200）×8＝5120（元）． ∵5120＜6000＜8160， ∴安排甲乙合作施工更有利于商店． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际运用，熟练掌握方程组的实际运用是本题解题 关键． 1 【变式2-2】（2022·广西贺州·七年级期末）在某外环公路改建工程中，某路段长6140 米， 现准备由甲、乙两个工程队拟在25 天内(含25 天)合作完成，已知两个工程队各有20 名工 人(设甲、乙两个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天工作量相同，乙工程队每 人每天工作量相同)，甲工程队1 天、乙工程队2 天共修路400 米；甲工程队2 天、乙工程 队3 天共修路700 米． （1）试问：甲、乙两个工程队每天分别修路多少米? （2）甲、乙两个工程队施工8 天后，由于工作需要需从甲队调离m 人去其他工程工作，总 部要求在规定时间内完成，请问：甲工程队最多可以调离多少人? 【答】（1）甲、乙两工程队每天分别修路200 米和100 米；（2）8 人 【分析】（1）设甲工程队每天修路x 米，乙工程队每天修路y 米．，根据题意列出方程组 求解即可； （2）设甲工程队最多可以调走m 人，根据路段长6140 米，在25 天内合作完成和甲、乙工 程每天修路的米数，列出方程，求出m 的值即可； 【详解】解：（1）设甲工程队每天修路x 米，乙工程队每天修路y 米． 依题意，得：{ x+2 y=400, 2 x+3 y=700. 解之得：{x=200, y=100. 答：甲、乙两工程队每天分别修路200 米和100 米． （2）设甲工程队最多可以调走m 人． 依题意，得： 8×(200＋100)＋(25－8)×100＋(25－8)×(200÷20)×(20－m) =6140． 解之得：m=8． 答：甲工程队最多可以调走8 人． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题目信息，理清题中的数量关系，找准 等量关系列出方程组是解题的关键 【变式2-3】（2022·全国·七年级专题练习）面对某国不断对我国的打压，我国自主品牌抗 住压力．以华为手机为例，今年一月份我国某工厂用自主创新的A、B两种机器人组装某 款华为手机，每小时一台A种机器人比一台B种机器人多组装50 个该款华为手机，每小时 10 台A种机器人和5 台B种机器人共组装3500 个该款华为手机． （1）今年一月份，该工厂每小时一台A种机器人、一台B种机器人分别能组装多少个该款 华为手机？ （2）该工厂原有A、B两种机器人的数量相等，因市场销售火爆，二月份该工厂增加了一 部分A种机器人并淘汰了一部分B种机器人，这样A种机器人的数量增加了2m%，B种机 1 器人数量减少了m%．同时，该工厂对全部A种机器人进行了升级改造，升级改造后的机 器人命名为C种机器人，已知每小时一台C种机器人组装该款华为手机的数量比原一台A 种机器人组装该款华为手机的数量增加了1 5，每小时C种机器人和B种机器人组装该款华为 手机的数量之和比A种机器人和B种机器人组装该款华为手机的数量之和提高了20%，求 m的值． 【答】（1）种机器人每小时组装250 个该款华为手机，B 种机器人每小时组装200 个该款 华为手机；（2）m 的值为6.25． 【分析】（1）设种机器人每小时组装个该款华为手机，B 种机器人每小时组装b 个该款华 为手机，列出方程组解答即可； （2）根据“每小时种机器人和B 种机器人组装该款华为手机的数量之和比种机器人和B 种 机器人组装该款华为手机的数量之和提高了20%”题意列出方程解答即可． 【详解】解：（1）设种机器人每小时组装个该款华为手机，B 种机器人每小时组装b 个该 款华为手机， 则¿ 解得：¿； 答：种机器人每小时组装250 个该款华为手机，B 种机器人每小时组装200 个该款华为手 机； （2）设该工厂原有、B 两种机器人的数量为a台， 则种机器人的数量为（1+2m%）a，B 种机器人的数量为（1−m%）a， 每小时一台种机器人组装250(1+1 5)=300 个该款华为手机， 根据题意得：300 (1+2m%)a+200 (1−m%)a=[250a+200 (1−m%)a](1+20%)， 设m%=x， 方程整理得：300+600 x+200−200 x=300+240−240 x，即640 x=40， 解得：x=0.0625， ∴m=6.25． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要 的条件，列出相应的方程组． 【题型3 销售、利润问题】 【例3】（2018·贵州·贵阳乐湾国际实验学校八年级阶段练习）2018 年某歌手地表最强巡回 演唱会于11 月17 日在贵阳奥林匹克体育中心举行，小颖购买了一张票价为四位数的场地 票（动感地带专属），而小明一张购买了票价为三位数的看台票（动感地带专属）．小颖 说，“在你的票价前面多写个1,都还比我的便宜200 元”；小明说，“只需在我的票价后 1 多写个0，就比你的贵3120 元”请问小颖和小明购买的演唱会门票各是多少元？ 【答】1680 元，480 元 【分析】设小颖的票价为x 元，小明的票价为y 元，根据“小颖说，“在你的票价前面多 写个1,都还比我的便宜200 元”；小明说，“只需在我的票价后多写个0，就比你的贵 3120 元””找到等量关系，列出方程组，解方程组即可 【详解】设小颖的票价为x 元，小明的票价为y 元，根据题意得： ¿ 解得：¿ 答：小颖和小明购买的演唱会门票分别为：1680 元，480 元 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，正确的找到等量关系是解答关键 【变式3-1】（2022·江西吉安·八年级期末）2018 年10 月，吉州区井冈蜜柚节迎来了四方 游客，游客李先生选购了井冈蜜柚和井冈板栗各一箱需要200 元．他还准备给4 位朋友每 人送同样的井冈蜜柚一箱，6 位同事每人送同样的井冈板栗一箱，就还需要1040 元． （1）求每箱井冈蜜柚和每箱井冈板栗各需要多少元？ （2）李先生到收银台才得知井冈蜜柚节期间，井冈蜜柚可以享受6 折优惠，井冈板栗可以 享受8 折优惠，此时李先生比预计的付款少付了多少元？ 【答】（1）每箱井冈蜜柚需要80 元，每箱井冈板栗需要120 元；（2）李先生比预计的付 款少付了328 元 【分析】（1）、根据“井冈蜜柚和井冈板栗各一箱需要200 元，4 箱井冈蜜柚和6 箱井冈 板栗需要1040 元”列二元一次方程组，解之即可得 （2）根据节省的钱数＝原价×数量﹣打折后的价格×数量，即可求出结论． 【详解】解：（1）设每箱井冈蜜柚需要x 元，每箱井冈板栗需要y 元， 依题意，得：¿， 解得：¿． 答：每箱井冈蜜柚需要80 元，每箱井冈板栗需要120 元． （2）200+1040 80×0 ﹣ ．6×（4+1）﹣120×0．8×（6+1）＝328（元）． 答：李先生比预计的付款少付了328 元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是 解题的关键． 【变式3-2】（2022·江苏南通·七年级期末）小瑞去花店购买鲜花，若买5 支玫瑰和3 支百 合，则她所带的钱还剩下10 元；若买3 支玫瑰和5 支百合，则她所带的钱还缺4 元． (1)若小瑞所带的钱是51 元，请分别求出玫瑰和百合单价是多少元？ (2)若小瑞所带的钱是m 元，且一共只买8 支玫瑰，请直接写出小瑞所带的钱还剩下多少元？ 【答】(1)玫瑰和百合单价分别是每支25 元和每支95 元 1 (2)小瑞所带的钱还剩下31 元 【分析】（1）设每支玫瑰x 元，每支百合y 元，利用总价=单价×数量，结合小瑞带的钱数 不变，即可得出关于x，y 的二元一次方程，化简后可得出； (2)设玫瑰的单价是每支x 元，百合单价是每支y 元，因为小瑞带的钱为m 元，所以列方程¿ ，用含m 的代数式解出x 和y，又因为且一共只买8 支玫瑰，所以剩下的钱为：m-8x 即可 求