精品解析：广东省四中、三中、培正三校2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题（原卷版）

第1 页/共7 页 （北京）股份有限公司 2022 学年第一学期“三校联考”综合测试 高二数学（问卷） 第Ⅰ卷（选择题 共60 分） 班级_________ 姓名_________ 学号_________ 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. 直线经过原点和 ，则的倾斜角是（ ） A. －60° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 直线的 一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则（ ） A. B. C. 或 D. 与 的位置关系不能判断 3. 直线 在 轴， 轴上的截距相等，则 的值为 A. B. 2 C. 或2 D. 4 或 4. 已知直线 ， ，且 ，点 到直线 的距离 （ ） A. B. C. D. 5. 棱长为1 的正四面体ABCD 中，点E，F 分别是线段BC，AD 上的点，且满足 ， 第2 页/共7 页 （北京）股份有限公司 ，则 （ ） A. B. C. D. 6. 已知点 ， ．若直线 与线段 相交，则实数 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 7. 若直线 始终平分圆 的周长，则 的最小值为 （ ） A. B. C. D. 8. 平面 过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A， , ， ，则m，n 所成角的正弦值为 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分． 9. 已知空间中三点 ， ， ，则下列说法正确的是（ ） A. 与 是共线向量 B. 与 同向的单位向量是 第3 页/共7 页 （北京）股份有限公司 C. 和 夹角的余弦值是 D. 平面 的一个法向量是 10. 已知直线的倾斜角等于 ，且经过点 ，则下列结论中正确的有（ ） A. 的一个方向向量为 B. 直线与两坐标轴围成三角形的面积为 C . 与直线 垂直 D. 与直线 平行 11. 如图，在所有棱长均为2 的四棱锥 中，O 为底面正方形的中心，M 为侧棱 的中点，N 为 侧棱 上的动点，则下列结论正确的有（ ） A. 无论动点N 在什么位置， 平面 B. 直线 和直线 所成角的大小为 C. 的正弦值的最大值为 D. 二面角 的大小为 12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A、B 的距离之 第4 页/共7 页 （北京）股份有限公司 比为定值 （ 且 ）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼 斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中， ， .点P 满足 ，设点P 所构 成的曲线为C，下列结论正确的是（ ） A. C 的 方程为 B. 在C 上存在点D，使得D 到点（1，1）的距离为 10 C. 在C 上存在点M，使得 D. C 上的点到直线 的最大距离为9 第Ⅱ卷（非选择题 共90 分） 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分． 13. 已知向量 ， ，若 与 垂直，则 ___________. 14. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G 分别是AB，CC1的中点，则点D1到直 线GF 的距离为________． 15. 圆 ： 关于直线： 对称的圆的标准方程为_____________. 16. 已知 ，则 的最小值为_____________． 四、解答题：本大题共6 小题，满分70 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或推演步 骤． 17. 如图，在边长为2 的正方体 中， 分别为 的中点. 第5 页/共7 页 （北京）股份有限公司 （1）证明： ； （2）求点 到平面 的距离. 18. 己知 的三个顶点分别为 ，求： （1）求边 中垂线所在的直线方程； （2）求与直线 平行且距离为 的直线方程； （3）求 的外接圆的方程． 19. 如图，直三棱柱 中， 为 中点. （1）证明： 平面 ； （2）若此三棱柱的体积为1， ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 20. 已知 的顶点 ，边 上的中线 所在直线方程为 ，边 上的高 所在直线方程为 ， （1）求顶点的 坐标； （2）求 的面积． 21. 如图甲，在矩形 中， 为线段 的中点， 沿直线 折起，使得 ，如图乙. 第6 页/共7 页 （北京）股份有限公司 （1）求证： 平面 ； （2）线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 所成的 角为 ？若不存在，说明理由； 若存在，求出 点的位置. 22. 已知圆C 经过 ， 两点. （1）当 时，圆C 与x 轴相切，求此时圆C 的方程； （2）如果AB 是圆C 的直径，证明：无论a 取何正实数，圆C 恒经过除A 外的另一个定点，求出这个定点 坐标. （3）已知点A 关于直线 的对称点 也在圆C 上，且过点B 的直线l 与两坐标轴分别交于不同两 点M 和N，当圆C 的面积最小时，试求 的最小值； 第7 页/共7 页 （北京）股份有限公司