精品解析：广东省广外、广附、铁一三校2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题（解析版）

第1 页/共29 页 （北京）股份有限公司 2022-2023 学年上学期期中三校联考 高二数学 试卷共5 页，22 小题，满分150 分．考试用时120 分钟 注意事项： 1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信 息填写在答题卡指定区域内. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的 相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁. 第一部分选择题（共60 分） 一．单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合 ， ，则 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 第2 页/共29 页 （北京）股份有限公司 【解析】 【分析】采用列举法列举出 中元素的即可. 【详解】由题意， 中的元素满足 ，且 ， 由 ，得 ， 所以满足 的有 ， 故 中元素的个数为4. 故选：C. 【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2. 若复数 （i 为虚数单位，a， 且 ）为纯虚数，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简 ，根据其为纯虚数可得 且 ，即可求得答 案. 【详解】由题意得 , ∵ 为纯虚数 ∴ 且 ，∴ ， 第3 页/共29 页 （北京）股份有限公司 另解：设 （ ），则 ， 即 ， ， ∴ ， 故选：D. 3. 已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意 ，再根据指数函数、对数函数的性质计算可得； 【详解】解：因为 ，所以 ， ， ， 即 ， ， ， 所以 故选：D 4. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量不一定共面 B. 已知向量 组是空间的一个基底，则 也是空间的一个基底 C. 若对空间中任意一点 ，有 ，则 四点共面 D. 若 ，则 的夹角是钝角 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的定义以及运算规则逐项分析可以求解. 第4 页/共29 页 （北京）股份有限公司 【详解】解：对A，若两个向量是共线的，由于空间任意两个向量一定共面，因此这三个向量一定共面， 故错误； 对B，因为 ，所以 共面，不能构成基底，错误； 对C，对 ，则 四点共面， 由 可得 ， 且 ，所以 四点共面，正确； 对D，若 可为 ，所以不一定为钝角，故错误； 故选：C 5. 若P 是圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1 上任意一点，则点P 到直线y＝kx－1 的距离不可能是（ ） A. 4 B. 6 C . 3 ＋1 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作出示意图，判断出直线过定点 ，进而求出圆心到直线距离的最大值，然后判断 各个答案. 【详解】如图，圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1 的圆心坐标为(－3，3)，半径为1，直线y＝kx－1 过定点 ． 由图可知，圆心C 到直线y＝kx－1 距离的最大值为 ，则点P 到直线y＝kx－1 距 离的最大值为5＋1＝6；当直线与圆有公共点时，点P 到直线距离的最小值为0．即距离的范围是[0,6]. 故选：D. 第5 页/共29 页 （北京）股份有限公司 6. 已知定义在 上的奇函数 ，对任意的 都有 ，且当 时， ，则 （ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件先求出函数是周期为4 的周期函数，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可． 【详解】由 ，得 ， 则函数 是周期为4 的周期函数， 则 ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，结合条件判断函数的周期，利用周期性和奇偶性进行转化是解决本 题的关键． 7. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆的 长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆 （ ）的右焦点为 ，过F 作直线l 交 椭圆于A、B 两点，若弦 中点坐标为 ，则椭圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程 ，再结合 即可求 解出a、b，进而求出面积. 第6 页/共29 页 （北京）股份有限公司 【详解】设 ， ，则有 ，两式作差得： ， 即 ， 弦 中点坐标为 ，则 ， 又∵ ，∴ ，∴ ， 又∵ ，∴可解得 ， ， 故椭圆的面积为 . 故选：C 8. 若对任意实数 ，不等式 恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分离变量将问题转化为 对于任意实数 恒成立，进而求出 的最大 值，设 及 ，然后通过基本不等式求得答案. 【详解】由题意可得， 对于任意实数 恒成立，则只需求 的最大值即可， 第7 页/共29 页 （北京）股份有限公司 ，设 ，则 ，再设 ，则 ，当且仅 当 时取得“=”. 所以 ，即实数a 的最小值为 . 故选：D. 二、多项选择题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，有 多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5 分，选对但不全的得2 分，有选错的得0 分） 9. 利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的 件产品，其中一等品有 件，合格品有 件，其余为不合 格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件 为“是一等品”， 为“是合格品”， 为“是不合格品”， 则下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 第8 页/共29 页 （北京）股份有限公司 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意可得 、 、 为互斥事件，即可判断B、C，再根据古典概型的概率公式得到 、 、 ，即可判断A，最后根据和事件的概率公式判断D； 【详解】解：由题意知 、 、 为互斥事件，∴ ，故B 正确、C 错误； ∵从 件中抽取产品符合古典概型的条件，∴ 、 、 ， 则 ，∴A、D 正确， 故选：ABD. 10. 函数 的图象在 上恰有两个最大值点，则 可能为（ ） A. 2π B. C. 3π D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据 的取值范围，求出 的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】解：函数 ， ， ． 又函数在 上恰有两个最大值点， ，解得 ． 故选：BC． 第9 页/共29 页 （北京）股份有限公司 11. 如图，在直三棱柱 中， ， 分别是棱 的中点， 在线段 上，则下列说法中正确的有（ ） A. 平面 B. 平面 C. 存在点 ，满足 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，在平面 找一条直线，使其与 平行即可； 对于B，先由 证明 四点共面，再证 四点共面，进而能判断直线 与平面 的位置关系； 对于C，以 为正交基底，建立空间直角坐标系 ，用坐标运算即可； 对于D，把三棱锥的正面 和上底面 展开，即能找到 的最小值，构造直角三角形 求解即可. 【详解】对于A，连接 ， 分别是棱 的中点， 且 ， 四边 形 为平行四边形， ，又 平面 ， 平面 在平面内，所以 第10 页/共29 页 （北京）股份有限公司 平面 ，故A 正确； 对于B，易知 ，所以 四点共面，又点 ，所以 四点共面， 平面 ，而 平面 ， 直线 平面 ，故B 不正确； 对于C，以 为正交基底，建立如图1 所示的空间直角坐标系 . 则 ， ， ， ， ， ， ， 若 ，则 ， ， 在线段 延长 线上，而不在线段 上，故C 不正确； 对于D，把图1 的正面 和上底面 展开如图2 所示，连接 即为所求，过 做PG 垂直于 且与其相交于 ，与 相交于 ，易得 ， ， ， ， 在 中， ， ，故D 正确. 第11 页/共29 页 （北京）股份有限公司 故选：AD 12. 设函数 ，则下列说法正确的是（ ） A. 若 ，则 在 上单调递减 B. 若 ， 无最大值，也无最小值 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用函数的单调性，极限，不等式的性质及函数最值，逐一判断即可. 【详解】若 ，则 且 ， ， ， 则 ，故 在 上单调递减，故A 正确； 若 ，则当 且 趋于 时， 趋于 ；当 且 趋于 时， 趋于 ，故 无最大值，也无最小值，故B 正确； 若 ，则当 时， ，故 ， 即 ，故C 正确； 若 ，举反例： ，则 ，故 . 第12 页/共29 页 （北京）股份有限公司 事实上，当 时， ，故D 错误. 故选：ABC 第二部分非选择题（共90 分） 三．填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13. 求值： ___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的运算性质化简可得结果. 【详解】原式 . 故答案为：. 14. 已知直线l 过点 ，且方向向量为 ，则点 到l 的距离为____________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A 作 ，垂足为B，记点B 坐标为 ，利用 和 列方程组求解 可得. 【详解】过点A 作 ，垂足为B，记点B 坐标为 ， 则 ， 所以 解得 ， ， ， 第13 页/共29 页 （北京）股份有限公司 则 ，即点 到l 的距离为 . 故答案为 ： 15. 已知椭圆C： 1 的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭 圆 上，其中 ，若 ，| | ，则椭圆 的离心率的取值范围为_____． 【答案】( ， ] 【解析】 【分析】设 ，由已知得到 的范围，再由椭圆的定义得到n，m 间的关系，代入、换 元，求出e 的范围. 【详解】设 ，由 ，知 ， 因为 ， 在椭圆 上， ， 所以四边形 为矩形， ； 由 ，可得 1， 第14 页/共29 页 （北京）股份有限公司 由椭圆的定义可得 ， ①， 平方相减可得 ②， 由①②得 ； 令t ， 令 ， 所以 ，即 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，解得 . 故答案为： . 16. 某干燥塔的底面是半径为1 的圆面O，圆面有一个内接正方形 框架，在圆O 的劣弧 上有一 点P，现在从点P 出发，安装 三根热管，则三根热管的长度和的最大值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接BD，DP，设 ，利用直径所对圆周角为直角，以及三角函数定义表示出所求，然 后利用辅助角公式化简可解. 第15 页/共29 页 （北京）股份有限公司 【详解】如图．连接 ，设 ，则 ， 在 中 ， ， 在 中 ， 所以 ， 其中 ， 所以 ，由 的范围可以取到最大值． 故答案为： 四、解答题（本题共6 小题，共70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤） 17. 如图，在四棱锥 中， 底面 ， 为直角， ， ､ 分别为 ､ 第16 页/共29 页 （北京）股份有限公司 的中点 ， （1）证明：平面 平面 ； （2）求三棱锥 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）利用线面平行的判断定理以及面面平行的判定定理证得命题成立； （2）由 ，利用三棱锥的体积公式求解即可． 【详解】（1）证明：由已知 ，且 为直角， 为 的中点， ，故 是矩形， ， 平面 ， 又∵ ， 分别为 ， 的中点.∴ ，∴ 平面 又∵ ，所以平面 平面 . （2）设 到平面 的距离为 ∵ 面 ， 是 的中点 ∴ 第17 页/共29 页 （北京）股份有限公司 ∴ ∴三棱锥 的体积为 【点睛】方法点睛：本题考查空间点线面的位置关系，考查棱锥的体积公式，考查学生计算能力，证明面 面平行的一般方法如下： 1.如果一个平面内有两条相交直线与都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 2.如果两个平面都垂直同一条直线，那么这两个平面是互相平行的。 3.根据两个平面平行的定义，证明两个平面没有公共点。 18. 如图，在 中， 是 上一点， 平分 . （1）求证： ； （2）若 ， ， ，求 的内切圆面积. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）易知 ， ，则 ， 第18 页/共29 页 （北京）股份有限公司 ，在 和 中，分别利用正弦定理即可得证； （2）在 中，利用余弦定理求得 ，再利用平方关系求得 ，再利用二倍角的正 弦公式求得 ，再根据 ，求得 ，再根据（1）可求得 ，设 的内切圆的半径为，根据 求得内切圆的半径，从而可求得答案. 【小问1 详解】 解：因为 平分 ，所以 ， 在 中，因为 ， 所以 ， 在 中，因为 ， 所以 ， 又因 ， ， 所以 ， ， 所以 ，即 ； 【小问2 详解】 解：在 中， 第19 页/共29 页 （北京）股份有限公司 ， 则 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 即 ，所以 ， 因为 ，所以 ，则 ， 设 的内切圆的半径为， 则 ， 即 ，解得 ， 所以 的内切圆面积为 . 19. 有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的 （即百万分之一）时，人食 用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出 条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单 位： ），数据统计如下： 第20 页/共29 页 （北京）股份有限公司 （1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的 分位数； （2）有 ， 两个水池，两水池之间有 个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通 过 条鱼. （ⅰ）将其中汞的含量最低的 条鱼分别放入 水池和 水池中，若这 条鱼的游动相互独立，均有 的 概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率； （ⅱ）将其中汞的含量最低的 条鱼都先放入 水池中，若这 条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一 个小孔由 水池进入 水池且不再游回 水池，求这两条鱼由不同小孔进入 水池的概率. 【答案】（1）中位数为；众数为 ；极差为 ；估计这批鱼该项数据的 百分位数约为 ； （2）（ⅰ） ；（ⅱ） . 【解析】 【分析】(1)由中位数—排序后处于中间的数，如有两个数取其平均数；众数—出现频率最高的数、极差— 最大数与最小数的差； 百分比位数—数据集中有n 个数：当np 为整数时 ，当np 不为整数时 ；即可求出对应值；(2) （ⅰ）记 ：“两鱼最终均在 水池”； ：“两鱼最终均在 水池”求 出概率，由它们的互斥性即可求得两条鱼最终在同一水池的概率；（ⅱ）记 ：“两鱼同时从第n 个小孔 通过”且鱼的游动独立，知 ，而10 个事件互斥，则“两鱼同时从一个小孔通过”的概率即可 求，它与“两条鱼由不同小孔通过”为互斥事件，进而求得其概率 第21 页/共29 页 （北京）股份有限公司 【详解】解：（1）由题意知，数据的中位数为 数据的众数为 数据的极差为 估计这批鱼该项数据的 百分位数约为 （2）（ⅰ）记“两鱼最终均在 水池” 为 事件 ，则 记“两鱼最终均在 水池”为事件 ，则 ∵事件 与事件 互斥， ∴两条鱼最终在同一水池的概率为 （ⅱ）记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件 ，“两鱼同时从第二个小孔通过”为 事件 ， 依次类推；而两鱼的游动独立 ∴ 记“两条鱼由不同小孔进入 水池”为事件 ，则 与 对立，又由事件 ，事件 ， 互斥 ∴ 即 【点睛】本题考查了数据特征值的概念，以及利用条件概率公式，结合互斥事件、独立事件等概念求概率； 第22 页/共29 页 （北京）股份有限公司 注意独立事件：多个事件的发生互不相关，且可以同时发生；互斥事件：一个事件发生则另一个事件必不 发生，即不能同时发生 20. 已知底面ABCD 为菱形的直四棱柱，被平面AEFG 所截几何体如图所示. （1）若 ，求证： ； （2）若 ， ，三棱锥GACD 的体积为 ，直线AF 与底面ABCD 所成角的正切值为 ，求锐二面角 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可证 平面BDG，可得 ，得证 平面ACE，得 ，再 根据面面平行的性质可证 ；（2）根据题意可得 ， ，利用空间向量求二面角． 【小问1 详解】 连接BD，交AC 于点O，底面ABCD 为菱形，∴ ， 由直四棱柱得 底面ABCD，又 平面ABCD，∴ ， 又 ，BD， 平面BDG， 第23 页/共29 页 （北京）股份有限公司 ∴ 平面BDG，因为 平面BDG， ∴ 已知 ，又 ，AC， 平面ACE， ∴ 平面ACE， 因为 平面BDG，∴ ∵平面 平面CFGD 平面 平面 ，平面 平面 ， ∴ ，则 【小问2 详解】 已知 ， ，可求 ， 由 ，则 在直四棱柱中， 底面ABCD， 所以 为直线AF 与底面ABCD 所成角， ，则 在平面ACF 内作 ，可知 底面ABCD，如图，以 为原点，建立空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， ， 则 设平面BCE 的法向量为 ， 第24 页/共29 页 （北京）股份有限公司 则 取 ，得 ， ，得 ， 由（1）知 平面ACE，所以平面ACE 的一个法向量为 则 ， 所以锐二面角 的余弦值为 21. 已知两个定点A（-4，0），B（-1，0），动点P 满足|PA|=2|PB|.设动点P 的轨迹为曲线E，直线l： y=kx-4. （1）求曲线E 的方程； （2）若直线l 与曲线E 交于不同的C，D 两点，且∠COD=90°（O 为坐标原点），求直线l 的斜率； （3）若k= ，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM，QN，切点为M，N，探究：直线MN 是否过定点. 【答案】（1）x2+y2=4；（2）± ；（3）过定点. 【解析】 【分析】（1）设点P 坐标为（x，y），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程； 第25 页/共29 页 （北京）股份有限公司 （2）由 ，则点 到 边的距离为 ，由点到线的距离公式得直线的斜率； （3）由题意可知：O，Q，M，N 四点共圆且在以OQ 为直径的 圆上，设Q ，则圆 的圆心为 运用直径式圆的方程，得直线 的方程为tx+ y-4=0，结合直线系方程，即可得到所求 定点． 【详解】解析（1）设点P 的坐标为（x，y），则由|PA|=2|PB|，得 =2 ，平方 可得x2+y2+8x+16=4（x2+y2+2x+1）