精品解析：广东省四中、三中、培正三校2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题（解析版）

第1 页/共27 页 （北京）股份有限公司 2022 学年第一学期“三校联考”综合测试 高二数学（问卷） 第Ⅰ卷（选择题 共60 分） 班级_________ 姓名_________ 学号_________ 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. 直线经过原点和 ，则的倾斜角是（ ） A. －60° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线经过两点的坐标求出斜率，进而根据 以及直线倾斜角的范围即可求出结果. 【详解】因为直线经过原点和 ，所以 ，设直线的倾斜角为 ，故 ，因为 ，所以 ， 故选：C. 2. 直线的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则（ ） A. B. C. 或 D. 与 的位置关系不能判断 【答案】B 【解析】 【分析】观察到的直线的方向向量与平面 的法向量共线，由此得到位置关系． 【详解】解：直线的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ， 第2 页/共27 页 （北京）股份有限公司 显然它们共线，所以 ． 故选：B． 3. 直线 在 轴， 轴上的截距相等，则 的值为 A. B. 2 C. 或2 D. 4 或 【答案】C 【解析】 【分析】先考虑直线过原点情况，再考虑截距不为0 的 情况,分别求得直线在 轴， 轴上的截距，由截 距相等求得m 的值． 【详解】若直线过（0，0）点，则-4-m=0,则m=-4,令x=0,则y= ,再令y=0,则 ，由在 轴， 轴上的截距相等，得 ，解得m=2.综上m=2 或m=-4.选C. 【点睛】截距相等要分两种情况考虑，一种是直线过原点，即截距为0，另一种是截距不为0 的情况． 4. 已知直线 ， ，且 ，点 到直线 的距离 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线垂直公式求得 ，再用点到线的距离求解 即可 【详解】由 可得 ，解得 ，故 故选：D 第3 页/共27 页 （北京）股份有限公司 5. 棱长为1 的正四面体ABCD 中，点E，F 分别是线段BC，AD 上的点，且满足 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用 表示 ，然后计算数量积． 【详解】由已知 ， 因为 ， ， 所以 ， ， ． 故选：D． 第4 页/共27 页 （北京）股份有限公司 6. 已知点 ， ．若直线 与线段 相交，则实数 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线l 过定点P（1，1），且与线段AB 相交，利用数形结合法，求出PA、PB 的斜率， 从而得出l 的斜率 的取值范围,即得解 【详解】设直线过定点 ，则直线 可写成 ， 令 解得 直线必过定点 ． ， ． 直线 与线段 相交， 第5 页/共27 页 （北京）股份有限公司 由图象知， 或 ，解得 或 ， 则实数 的取值范围是 ． 故选：A 【点睛】本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合 的能力，属于中档题． 7. 若直线 始终平分圆 的周长，则 的最小值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直线 始终平分圆 的周长，即直线经过点 ,即 故点 在直线 上, 可看作动点 到定点 的距离 的平方， 利用点到直线的距离公式即可求得. 【详解】解： ，故圆 的圆心坐标为 ，直线 始终平分圆 的周长，即直线经过点 ,故 ，即 . 可看作动点 到定点 的距离 的平方，又因为 ，故点 在直线 上,所以 的最小值为点 到直线 的距离 . ∵ ∴ 第6 页/共27 页 （北京）股份有限公司 ∴ 即 的最小值为 . 故选：D. 8. 平面 过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A， , ， ，则m，n 所成角的正弦值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：如图，设平面 平面 = ，平面 平面 = ，因为 平面 ，所以 ，则 所成的角等于 所成的角. 延长 ，过 作 ，连接 ，则 为 ，同理 为 ，而 ，则 所成的角 即为 所成的角，即为 ，故 所成角的正弦值为 ，选A. 【点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解 形求角、得钝求补. 第7 页/共27 页 （北京）股份有限公司 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分． 9. 已知空间中三点 ， ， ，则下列说法正确的是（ ） A. 与 是共线向量 B. 与 同向的单位向量是 C. 和 夹角的余弦值是 D. 平面 的一个法向量是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示可知A 错误； 根据与 同向的单位向量为 ，计算可知B 正确； 利用向量夹角公式计算可知C 错误； 根据法向量的求法可知D 正确. 【详解】对于A， ， ，可知 ， 与 不共线，A 错误； 对于B， ， ， ，即与 同向的单位向量是 ，B 正确； 对于C， ， ， 即 和 夹角的余弦值为 ，C 错误； 对于D，设平面 的法向量 ， 第8 页/共27 页 （北京）股份有限公司 则 ，令 ，解得： ， ， ， 即平面 的一个法向量为 ，D 正确. 故选：BD. 10. 已知直线的倾斜角等于 ，且经过点 ，则下列结论中正确的有（ ） A. 的一个方向向量为 B. 直线与两坐标轴围成三角形的面积为 C. 与直线 垂直 D. 与直线 平行 【答案】AC 【解析】 【分析】根据点斜式求得直线的方程，结合直线的方向向量、截距、垂直、平行（重合）等知识对选项 进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题意直线的斜率为 ，直线方程为 ，即 ， 它与直线 重合，D 错误； ，因此 是直线的一个方向向量，A 正确； 在直线方程中令 得 ，令 得 ， 第9 页/共27 页 （北京）股份有限公司 直线与两坐标轴围成三角形的面积为 ，B 错误； 由于 ，C 正确 故选：AC 11. 如图，在所有棱长均为2 的四棱锥 中，O 为底面正方形的中心，M 为侧棱 的中点，N 为 侧棱 上的动点，则下列结论正确的有（ ） A. 无论动点N 在什么位置， 平面 B. 直线 和直线 所成角的大小为 C. 的正弦值的最大值为 D. 二面角 的大小为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：利用线面平行的判定定理直接证明 平面 ；对于B：求出 与 所成角为 ；对于C：先判断出 ，即可求出 的最大值；对于D：取 中点 中点 ,连接 ,判断出 为二面角 的平面角.即可求解. 第10 页/共27 页 （北京）股份有限公司 【详解】对于A：因为底面 为正方形，所以 . 又 面 ， 面 ，所以 平面 ，即 平面 .故A 正确； 对于B：连接 . 因为 分别为 的 中点,所以 . 又在等边△ 中, 与 所成角为 ，所以 与 所成角为 .故B 正确； 对于C：连接 交于点O，则O 为 的中点. 因为所有棱长均为2，所以 , . 又 , 平面 , 平面 , 所以 平面 . 又 平面 ,所以 ,所以 . 在△ 中, ,所以 的最大值为 .故C 正确； 对于D：取 中点 中点 ,连接 . 因为 ,所以 ；因为 为正方形，所以 ， 所以 为二面角 的平面角. 第11 页/共27 页 （北京）股份有限公司 因为 ，所以 ，所以 ，所以 .故D 错误. 故选：ABC. 12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A、B 的距离之 比为定值 （ 且 ）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼 斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中， ， .点P 满足 ，设点P 所构 成的曲线为C，下列结论正确的是（ ） A. C 的方程为 B. 在C 上存在点D，使得D 到点（1，1）的距离为 10 C. 在C 上存在点M，使得 D. C 上的点到直线 的最大距离为9 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意可设点 ，由两点的距离公式代入化简可判断A 选项；由两点的距离公式和圆的圆 心得出点（1，1）到圆上的点的最大距离，由此可判断B 选项.设 ，由已知得 ，联立方程求解可判断C 选项；由点到直线的距离公式求得C 上的点到直线 的最大距离，由此可判断D 选项. 【详解】解：由题意可设点 ，由 ， ， ，得 ， 化简得 ，即 ，故A 正确； 第12 页/共27 页 （北京）股份有限公司 点（1，1）到圆上的点的最大距离 ，故不存在点D 符合题意，故B 错误. 设 ，由 ，得 ，又 ，联立方程消 去 得 ，解得 无解，故C 错误； C 的圆心（-4，0）到直线 的距离为 ，且曲线C 的半径为4，则C 上 的点到直线 的最大距离 ，故D 正确； 故选：AD . 第Ⅱ卷（非选择题 共90 分） 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分． 13. 已知向量 ， ，若 与 垂直，则 ___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据 与 垂直，可知 ，根据空间向量的数量积运算可求出 的值，结合向量坐标求向 量模的求法，即可得出结果. 【详解】解： 与 垂直， ， 则 ，解得： ， ， 则 ， . 故答案为： . 第13 页/共27 页 （北京）股份有限公司 14. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G 分别是AB，CC1的中点，则点D1到直 线GF 的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 点 到直线 的距离． 【详解】 以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系， 则 点 到直线 的距离： ． 点 到直线 的距离为 ． 第14 页/共27 页 （北京）股份有限公司 故答案为： ． 15. 圆 ： 关于直线： 对称的圆的标准方程为_____________. 【答案】 . 【解析】 【分析】由圆C 的一般方程化为其标准方程，求得圆C 的圆心和半径，再求得圆心C 关于直线l 的对称点， 由圆的标准方程可求得答案. 【详解】解：由圆 ： 得其标准方程为 ，圆心 的坐标为 ，半径 . 设圆心 关于直线的对称点为 ，则 ，解得 ， 所以所求圆的方程为 . 故答案为： . 16. 已知 ，则 的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】已知提取 ，剩下的部分 表示点 到原点 的距离与它到直 线 的距离之和，而这个和的最小值是原点到直线的距离，由此可得结论． 【详解】 , 第15 页/共27 页 （北京）股份有限公司 表示点 到原点 的距离与它到直线 的距离之和， 由平面几何知识可知这个距离和的最小值是原点到直线 的距离 ． 所以题中所求的最小值是 ． 故答案为： ． 四、解答题：本大题共6 小题，满分70 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或推演步 骤． 17. 如图，在边长为2 的 正方体 中， 分别为 的中点. （1）证明： ； （2）求点 到平面 的距离. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立坐标系求出点的坐标，利用向量的坐标运算求平面法向量即可求解， （2）利用向量法求解点面距离即可． 【小问1 详解】 建立以 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴的空间直角坐标系如图： 第16 页/共27 页 （北京）股份有限公司 则 ，0， ， ，0， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ， ，0， ， 分别为 ， 的中点， ，1， ， ，1， ， ，0， ， ，2， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ,即 ，令 ，则 因为 ， ，所以 平面 ． 【小问2 详解】 , , 设点 到平面 的距离为 ，所以 18. 己知 的三个顶点分别为 ，求： （1）求边 中垂线所在的直线方程； （2）求与直线 平行且距离为 的直线方程； 第17 页/共27 页 （北京）股份有限公司 （3）求 的外接圆的方程． 【答案】（1） ； （2） 或 ； （3） ． 【解析】 【分析】（1）求出 中点坐标，直线 的斜率得出中垂线的斜率，从而得直线方程； （2）求出直线 后设出与其平行的直线方程，由平行间距离求得参数，得直线方程； （3）设出圆的一般方程，代入三点坐标后求解． 【小问1 详解】 边中点坐标为 ， ， 边中垂直的斜率为 ， 直线方程为 ，即 ； 【小问2 详解】 直线 方程为 ，即 ，设所求直线方程为 ， 由 ， 或 ， 所以所求直线方程为 或 ； 【小问3 详解】 设外接圆方程为 ， 则 ，解得 ， 圆方程为 ． 第18 页/共27 页 （北京）股份有限公司 19. 如图，直三棱柱 中， 为 中点. （1）证明： 平面 ； （2）若此三棱柱的体积为1， ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接 交 于点 ，连接 ，证得 ，利用线面平行的判定定理，即可证 得 平面 . （2）以B 点为坐标原点，BC，BA， 所在直线分别为x，y，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，求得 平面 的一个法向量为 和 ，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1 详解】 证明：连接 交 于点 ，连接 ， 在直三棱柱 中， 为矩形，所以 为 中点， 又因为 E 为BC 中点，所以 ， 又由 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 【小问2 详解】 第19 页/共27 页 （北京）股份有限公司 解：在直三棱柱 中， 平面ABC，所以 ， 又因为 ， ，所以 平面 ，所以 ， 由 ，可得 ， 以B 点为坐标原点，BC，BA， 所在直线分别为x，y，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，如图所示， 则 ， ， ， ， 可得 ， ， ， 设平面 的法向量为 ，则 ， 令 ，则 ， ，所以 为平面 的一个法向量， 设直线 与平面 所成角为 ，则 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 20. 已知 的顶点 ，边 上的中线 所在直线方程为 ，边 上的高 所在直线方程为 ， （1）求顶点 的坐标； 第20 页/共27 页 （北京）股份有限公司 （2）求 的面积． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】（1）首先设 ，根据题意得到 ，再解方程组即可. （2）首先设 ，得到 ，从而得到 ，解方程得到 ， 再求出 和点 到直线 的距离，即可得到答案. 【详解】（1）设 ，因为直线 与直线 垂直，且 点在直线 上， 所以 ，解得 ，故 . （2）设 由题知： ， 所以 ，解得 ，即 . ，直线 ，即： . ， 点 到直线 的距离 ， 所以 . 第21 页/共27 页 （北京）股份有限公司 【点睛】本题主要考查直线的方程，同时考查点到直线的距离公式，属于中档题. 21. 如图甲，在矩形 中， 为线段 的中点， 沿直线 折起，使得 ，如图乙. （1）求证： 平面 ； （2）线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 所成的角为 ？若不存在，说明理由；若 存在，求出 点的位置. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，点 是线段 的中点 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到 ， ，从而得到线面垂直，得到面面垂直，再由 ，面面垂直的性质得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，设出 的坐标 ，求出平面的法向量，从而列出方程，求出的值， 确定 点位置. 【小问1 详解】 证明：连接 ，取线段 的中点 ，连接 ， 第22 页/共27 页 （北京）股份有限公司 在Rt 中， ， ， 在 中， ， 由余弦定理可得： ， 在 中， ， 又 平面 ， 平面 ， 又 平面 ∴平面 平面 ， 在 中， ， ∵平面 平面 平面 ， 第23 页/共27 页 （北京）股份有限公司 平面 . 【小问2 详解】 过 作 的平行线，以 为原点， 分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标 系， ， 平面 的法向量 ， 在平面直角坐标系 中，直线 的方程为 ， 设 的坐标为 ， 则 ， 设平面 的法向量为 ， ， 所以 ， 令 ，则 ， 第24 页/共27 页 （北京）股份有限公司 由已知 ， 解之得： 或9（舍去）， 所以点 是线段 的中点. 22. 已知圆C 经过 ， 两点. （1）当 时，圆C 与x 轴相切，求此时圆C 的方程； （2）如果AB 是圆C 的直径，证明：无论a 取何正实数，圆C 恒经过除A 外的另一个定点，求出这个定点 坐标. （3）已知点A 关于直线 的对称点 也在圆C 上，且过点B 的直线l 与两坐标轴分别交于不同两 点M 和N，当圆C 的面积最小时，试求 的最小值； 【答案】（1） （2）证明见解析，定点为 （3） 【解析】 【分析】（1）圆的半径为r，则圆心为 ，再根据 求得，即可得解； （2）设点 是圆 上任意一点，由AB 是圆C 的直径，得 ，从而可求出圆 的方程， 即可得出结论； （3）根据题意可得点C 在直线 上，要使圆C 的面积最小，则圆C 是以 直径的圆，从而可求 出圆 的方程，进而可求得 点的坐标，设出直线的方程，分别求出 的坐标，再根据两点的距离 公式结合基本不等式即可得解. 【小问1 详解】 第25 页/共27 页 （北京）股份有限公司 解： 时，圆过 ， ， 设圆的半径为r，则圆心为 ， 则 ，解得 ， 所以圆C 的方程为 ； 【小问2 详解】 证明：设点 是圆 上任意一点， 因为AB 是圆C 的直径，所以 ， 即 ， 所以圆 的方程为： ， 则 ， ，等式恒成立，定点为 ， 所以无论a 取何正实数，圆C 恒经过除A 外的另一个定点，定点坐标为 ； 【小问3 详解】 解：因点A 关于直线 的对称点 也在圆C， 所以点C 在直线 上， 又圆C 的面积最小，所以圆C 是以 直径的圆， 过点A 与直线 垂直的直线方程为 ， 由方程组 得 ， 所以圆C 的方程为 ， 第26 页/共27 页 （北京）股份有限公司 当 时， 或 ，又 ，所以 ，即 ， 由题意知直线l 斜率存在且不为零，设直线l 的方程为 ， 当 时 ，当 ，时 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 即 时， . 第27 页/共27 页 （北京）股