精品解析：广东省广外、广附、铁一三校2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题（原卷版）

第1 页/共9 页 （北京）股份有限公司 2022-2023 学年上学期期中三校联考 高二数学 试卷共5 页，22 小题，满分150 分．考试用时120 分钟 注意事项： 1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信 息填写在答题卡指定区域内. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的 相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁. 第一部分选择题（共60 分） 一．单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合 ， ，则 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 第2 页/共9 页 （北京）股份有限公司 2. 若复数 （i 为虚数单位，a， 且 ）为纯虚数，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量不一定共面 B. 已知向量 组是空间的一个基底，则 也是空间的一个基底 C. 若对空间中任意一点 ，有 ，则 四点共面 D. 若 ，则 的夹角是钝角 5. 若P 是圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1 上任意一点，则点P 到直线y＝kx－1 的距离不可能是（ ） A. 4 B. 6 C. 3 ＋1 D. 8 6. 已知定义在 上的奇函数 ，对任意的 都有 ，且当 时， ，则 （ ） A. 4 B. 2 C. D. 7. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆的 长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆 （ ）的右焦点为 ，过F 作直线l 交 椭圆于A、B 两点，若弦 中点坐标为 ，则椭圆的面积为（ ） 第3 页/共9 页 （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 8. 若对任意实数 ，不等式 恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，有 多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5 分，选对但不全的得2 分，有选错的得0 分） 9. 利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的 件产品，其中一等品有 件，合格品有 件，其余为不合 格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件 为“是一等品”， 为“是合格品”， 为“是不合格品”， 则下列结果正确的是（ ） A. B. C. D . 10. 函数 的图象在 上恰有两个最大值点，则 可能为（ ） A. 2π B. C. 3π D. 11. 如图，在直三棱柱 中， ， 分别是棱 的中点， 在线段 上，则下列说法中正确的有（ ） 第4 页/共9 页 （北京）股份有限公司 A. 平面 B. 平面 C. 存在点 ，满足 D. 的最小值为 12. 设函数 ，则下列说法正确的是（ ） A. 若 ，则 在 上单调递减 B. 若 ， 无最大值，也无最小值 C. 若 ，则 D. 若 ，则 第二部分非选择题（共90 分） 三．填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13. 求值： ___________ 14. 已知直线l 过点 ，且方向向量为 ，则点 到l 的距离为____________． 15. 已知椭圆C： 1 的 左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆 上，其中 ，若 ，| | ，则椭圆 的离心率的取值范围为___ 第5 页/共9 页 （北京）股份有限公司 __． 16. 某干燥塔的 底面是半径为1 的圆面O，圆面有一个内接正方形 框架，在圆O 的劣弧 上有 一点P，现在从点P 出发，安装 三根热管，则三根热管的长度和的最大值为____________． 四、解答题（本题共6 小题，共70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤） 17. 如图，在四棱锥 中， 底面 ， 为直角， ， ､ 分别为 ､ 的中点 ， （1）证明：平面 平面 ； （2）求三棱锥 的体积. 18. 如图，在 中， 是 上一点， 平分 . 第6 页/共9 页 （北京）股份有限公司 （1）求证： ； （2）若 ， ， ，求 的内切圆面积. 19. 有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的 （即百万分之一）时，人食 用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出 条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单 位： ），数据统计如下： （1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的 分位数； （2）有 ， 两个水池，两水池之间有 个完全相同的 小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同 时通过 条鱼. （ⅰ）将其中汞的含量最低的 条鱼分别放入 水池和 水池中，若这 条鱼的游动相互独立，均有 的 概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率； （ⅱ）将其中汞的含量最低的 条鱼都先放入 水池中，若这 条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一 个小孔由 水池进入 水池且不再游回 水池，求这两条鱼由不同小孔进入 水池的概率. 20. 已知底面ABCD 为菱形的 直四棱柱，被平面AEFG 所截几何体如图所示. 第7 页/共9 页 （北京）股份有限公司 （1）若 ，求证： ； （2）若 ， ，三棱锥GACD 的体积为 ，直线AF 与底面ABCD 所成角的正切值为 ，求锐二面角 的余弦值. 21. 已知两个定点A（-4，0），B（-1，0），动点P 满足|PA|=2|PB|.设动点P 的轨迹为曲线E，直线l： y=kx-4. （1）求曲线E 的方程； （2）若直线l 与曲线E 交于不同的C，D 两点，且∠COD=90°（O 为坐标原点），求直线l 的斜率； （3）若k= ，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM，QN，切点为M，N，探究：直线MN 是否过定点. 22. 设椭圆 ： ， ， 是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆 上，点 在椭圆 外，且 ． （1）求椭圆 的方程； （2）若 ，点 为椭圆 上横坐标大于1 的一点，过点 的直线与椭圆有且仅有一个交点， 第8 页/共9 页 （北京）股份有限公司 并与直线 ， 交于M，N 两点， 为坐标原点，记 ， 的面积分别为 ， ，求 的最小值． 第9 页/共9 页 （北京）股份有限公司