精品解析：广东省珠海市第二中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（解析版）

第1 页/共25 页 （北京）股份有限公司 珠海市第二中学2022-2023 学年第一学期期中考试 高二年级数学试题 第I 卷（选择题） 一､单选题（每小题只有一个正确的选项，本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分） 1. 在空间直角坐标系中，点 关于 面对称的点的坐标是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 关于 面对称的点为 2. 设某直线的斜率为k，且 ，则该直线的倾斜角 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 通过直线的斜率的范围，得到倾斜角的正切值的范围，然后求出 的范围. 【 详解】解：直线l 的斜率为k，倾斜角为 ，若k∈（﹣ ， ）， 所以﹣ ＜tan ＜ 所以 . 故选：D. 【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查计算能力. 第2 页/共25 页 （北京）股份有限公司 3. 已知点 ， ，且 ，则实数 等于（ ） A. 1 B. 3 C. 1 或3 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据两点间的距离公式可解得结果. 【详解】因为 ， 所以 ，即 ，解得 或 ， 故选：C 4. 直线 和直线 的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 联立直线方程，解方程组可得解. 【详解】联立 得 ， 所以直线 和直线 的交点坐标是 . 故选：B 5. 已知 ，则向量 的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 第3 页/共25 页 （北京）股份有限公司 【分析】先求出 的坐标，再利用空间向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】因为 ， 所以 ， ， 故选：C. 【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算以及空间向量夹角余弦公式的应用，属于基础题. 6. 已知圆 ，直线 .下列说法正确的是（ ） A. 直线与圆 可能相切 B. 圆 被 轴截得的弦长为 C. 直线恒过定点 D. 直线被圆 截得弦长存在最小值，此时直线的方程为 【答案】D 【解析】 【分析】先判断C 选项，根据含参直线方程求定点坐标，得C 选项错误；再根据定点坐标与圆的位置关系 判断A 选项错误；直接计算圆 被 轴截得的弦的两端点坐标得到弦长，判断B 选项错误；D 选项根据过 圆内一点的弦中，与过该点的直径垂直的弦最短，计算出此时最短弦的直线方程，可得D 正确. 【详解】C 选项：将直线的方程整理为 ， 由 ，解得 ， 则无论 为何值，直线恒过定点 ，故C 选项错误； A 选项： 圆 ， 圆心 ， ， 第4 页/共25 页 （北京）股份有限公司 ，即定点 在圆内，故直线恒与圆有两个交点，故A 选项错误； B 选项：令 ，则 ，解得 ，故圆 被 轴截得的弦长为 ，故B 选项错 误； D 选项：当截得的弦长最短时，此时直线垂直于圆心与定点的连线，则直线的斜率为 ，此时直线的 方程为 ，即 ，故D 正确. 故选：D. 7. 若方程 有两个相异的实根，则实数k 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，曲线 与直线 有2 个交点，数形结合求得k 的 范围. 【详解】如图所示，化简曲线得到 ，表示以 为圆心，以2 为半径的上半圆， 直线化为 ，过定点 ， 设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为 ，当 ，直线与半圆有两个交点， 第5 页/共25 页 （北京）股份有限公司 AD 与半圆相切时， ，解得 ， ，所以 . 故选：D 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题. 8. 已知正方体 的棱长为 分别是棱 的中点，动点 在正方形 （包括边界）内运动，若 面 ，则线段 的长度范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，找去过 与平面 平行的平面，则可得到 所在的平面，进而得到答案. 【详解】由题意，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ， ， ， 作图如下： 第6 页/共25 页 （北京）股份有限公司 在正方体 中，易知 ， ， ， 则 共面， 平面 ， 平面 ， 平面 ，同理可得： 平面 ， ， 平面 平面 ， 当 平面 时， 平面 ， 正方体 的棱长为 ， 在 中， ，解得 ，同理 ， 在 中， ，解得 ， 则 中边 上的高 ， 即 ， 故选：D. 二､多选题，每小题有2 个或3 个正确的选项，本大题共4 小题，每小题5 分，全对得5 分， 第7 页/共25 页 （北京）股份有限公司 部分对得2 分，选错得0 分，共20 分） 9. 下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ） A. 若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，则 ； B. 若非零向量 ， ， 满足 ， ，则有 ； C. 若 ， ， 是空间的一组基底，且 ，则 ， ， ， 四点共面； D. 若向量 ， ， ，是空间一组基底，则 ， ， 也是空间的 一组基底. 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析选择. 【详解】解：对于A：若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即 ，故A 正确； 对于B：若非零向量 ， ， 满足 ， ，则 与 不一定共线，故B 错误； 对于C：若 ， ， 是空间的一组基底，且 ， 则 ，即 ， 可得到 ， ， ， 四点共面，故C 正确； 对于D：若向量 ， ， ，是空间一组基底， 则空间任意一个向量 ，存在唯一实数组 ， 使 ， 第8 页/共25 页 （北京）股份有限公司 则 ， ， 也是空间的一组基底. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查空间向量基本定理，属于基础题型. 10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是 ，则 B. 直线l 的方向向量 ， 平面 的法向量是 ， 则 C. 两个不同的平面 的法向量分别是 ，则 D. 直线的方向向量 ， 平面 的法向量是 ，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据条件结合空间向量的平行和垂直，对各选项逐项判断即可． 【详解】对于A，两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是 ，且 ，所以 ，选项A 正确∶ 对于B，直线l 的方向向量 ，平面 的法向量是 且 ，所以 或 ，选项B 错误； 对于C，两个不同的平面 的法向量分别是 ，且 ，所以 ，选项C 正确； 对于D，直线l 的方向向量 ，平面a 的法向量是 且 ，所以 ，选项 D 错误． 故选∶ AC 11. 同一坐标系中，直线 与 大致位置正确的是（ ） 第9 页/共25 页 （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】假设各选项中 图象正确，由此可得 的符号，由此确定 经过的象限，进而得到各选项的正 误. 【详解】对于A，若 图象正确，则 ， ， 经过第一、二、四象限，A 错误； 对于B，若 图象正确，则 ， ， 经过第二、三、四象限，B 正确； 对于C，若 图象正确，则 ， ， 经过第一、二、三象限，C 正确； 对于D，若 图象正确，则 ， ， 经过第一、三、四象限，D 错误. 故选：BC. 12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 ， 的距离之比为定值 （ ）的点的轨 迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系 中，已知 ， ，点 满足 ，设点 的轨迹为圆 ，下列结论正确的是（ ） A. 圆 的方程是 第10 页/共25 页 （北京）股份有限公司 B. 过点 向圆 引切线，两条切线的夹角为 C. 过点 作直线，若圆 上恰有三个点到直线距离为2，该直线斜率为 D. 在直线 上存在异于 ， 的两点 ， ，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据 ， ，点 满足 ，设点 ，求出其轨迹方程，然后再逐项运算验证. 【详解】因为 ， ，点 满足 ， 设点 ，则 ， 化简得： ，即 ，故A 正确； 因为 ，所以 ，则 ，解得 ，故B 正确； 易知直线的斜率存在，设直线 ，因为圆 上恰有三个点到直线距离为2，则圆心到 直线的距离为： ，解得 ，故C 错误； 假设存在异于 ， 的两点 ， ，则 ， 化简得： ，因为点P 的轨迹方程为： 第11 页/共25 页 （北京）股份有限公司 ，所以 解得 或 （舍去），故存在 ，故D 正确； 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据 求出点 的轨迹方程，进而再根据直线与圆的位置关系求 解. 第II 卷（非选择题） 三､填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分） 13. 已知入射光线经过点 ，被直线： 反射，反射光线经过点 ，则反射光线 所在直线的方程为________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析： 关于直线： 的对称点为 ，所以反射光线所在直线的 方程是直线 的方程: 考点：反射直线 14. 已知圆 的圆心在 轴上，并且过点 和 ，则圆的方程是______. 【答案】 . 【解析】 【分析】设圆心坐标为 ,根据 、 两点在圆上利用两点的 距离公式建立关于 的方程，解出 第12 页/共25 页 （北京）股份有限公司 值.从而算出圆 的圆心和半径，可得圆 的方程. 【详解】设圆心坐标为 , 点 和 在圆 上， ，即 ，解之得 ，可得圆心为 . 半径 , 圆 的方程为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查圆的方程的求解，关键在于设出圆心的坐标，由圆上的点到圆心的距离都等于圆的半径， 建立方程，属于基础题. 15. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G 分别是AB，CC1的中点，则点D1到直 线GF 的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 点 到直线 的距离． 【详解】 以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系， 则 第13 页/共25 页 （北京）股份有限公司 点 到直线 的距离： ． 点 到直线 的距离为 ． 故答案为： ． 16. 已知 为圆 上任意一点，则 的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意， 表示圆 上的点 与圆外的点 连线的斜率.当过点 的直线与圆 相 切时， 取最值，即得最大值. 【详解】把圆 化为标准式 ， 圆心 ，半径 . 则 表示圆 上的点 与圆外的点 连线的斜率. 第14 页/共25 页 （北京）股份有限公司 设过点 的直线方程为 ，即 . 当直线 与圆 相切时，斜率 取最值. 由 ，解得 或 . 的最大值是 . 故答案为： . 【点睛】本题考查斜率的几何意义，考查直线与圆的位置关系，属于中档题. 17. 已知过点 的直线与 轴， 轴的正半轴分别交于 、 两点， 为坐标原点，当 的面 积最小时，直线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可知，直线的斜率存在且不为零，可设直线的方程为 ，求出点 、 的坐标， 结合已知条件可求得 的取值范围，并求出 的面积关于 的表达式，利用基本不等式可求得 面积的最小值及其对应的 值 ，由此可求得直线的方程. 【详解】由题意可知，直线的斜率存在且不为零， 可设直线的方程为 ，即 . 在直线的方程中，令 ，可得 ；令 ，可得 . 即点 、 ，由题意可得 ，解得 ， 第15 页/共25 页 （北京）股份有限公司 的面积为 ， 当且仅当 时，即当 时，等号成立， 所以，直线的方程为 ，即 . 故答案为： . 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点： （1）将三角形的面积利用 加以表示； （2）在求解最值时，可充分利用基本不等式、导数、函数的单调性等知识来求解. 18. 已知圆 上一动点 ，定点 ， 轴上一点 ，则 的最小值等于___ ___. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出示意图，进而数形结合求解； 【详解】根据题意画出圆 ，以及点B（6，1）的图象如图， 作B 关于x 轴的 对称点 ，连接圆心与 ，则与圆的交点A， 即为 的最小值， 为点（0，2）到点 （6，-1）的距离减圆的半径， 第16 页/共25 页 （北京）股份有限公司 即 ， 故答案为： ． 【点睛】考查“将军饮马”知识，数形结合的思想，画出图形，做出B 点的对称点是解决本题的突破点； 四､解答题（本大题共5 小题，共60 分） 19. 已知直线 . （1）若直线 过点 ，且 ，求直线 的方程； （2）若直线 ，且直线 与直线之间的距离为 ，求直线 的方程. 【答案】（1） （2） 或 . 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直，斜率之积为 ，可求得直线 的斜率， 再由直线的点斜式方程，即可写出直线方程； （2）先根据两直线平行，斜率相等，设出直线 的方程为 ， 再根据两平行直线的距离公式即可求出． 【详解】（1）因为直线的方程为 ，所以直线的斜率为 . 因为 ，所以直线 的斜率为 . 因为直线 过点 ，所以直线 的方程为 ，即 . （2）因为直线 与直线之间的距离为 ，所以可设直线 的方程为 ， 所以 ，解得 或 . 第17 页/共25 页 （北京）股份有限公司 故直线 的方程为 或 . 【点睛】本题主要考查直线方程的求法，涉及两直线垂直，平行关系的应用，以及平行直线的距离公式的 应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 20. 如图，棱长为1 的正四面体（四个面都是正三角形） ， 是棱 的中点，点 在线段 上，点 在线段 上，且 ， . （1）用向量 ， ， 表示 ； （2）求 . 【答案】（1） . （2） . 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解； （2）先计算 ，再开方即可求解. 【小问1 详解】 解： ， 所以 ； 第18 页/共25 页 （北京）股份有限公司 【小问2 详解】 解：因为 . 又因为四面体 是正四面体， 则 ， ， ， 所以 . 21. 已知两圆C1：x2＋y2﹣2x﹣6y﹣1＝0，C2：x2＋y2﹣10x﹣12y＋45＝0． （1）求证：圆C1和圆C2相交； （2）求圆C1和圆C2的公共弦所在直线方程和公共弦长． 【答案】（1）证明见解析 （2）4x＋3y－23＝0；公共弦长 【解析】 【分析】（1）根据圆心距与半径的关系可证明两圆相交； （2）两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，利用弦心距、半径可求弦长. 【小问1 详解】 第19 页/共25 页 （北京）股份有限公司 圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0 的圆心C1（1，3），半径 ， C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0 的圆C2（5，6），半径 ， |C1C2|＝ ， ∵4－ ＜|C1C2|＝5＜4＋ ， ∴圆C1和圆C2相交． 【小问2 详解】 ∵两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0，C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0， ∴两圆相减，得圆C1和圆C2的公共弦所在直线方程为： 8x＋6y－46＝0，即4x＋3y－23＝0． 圆心C2（5，6）到直线4x＋3y－23＝0 的距离 ， ∴圆C1和圆C2的公共弦长 ． 22. 如图所示，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 为 中点. （1）求证：直线 平面 ； （2）求异面直线 与 所成的角的余弦值； （3）求直线 到平面 的距离. 第20 页/共25 页 （北京）股份有限公司 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用直线与平面平行的判定定理证明. （2）可以用几何方法求解. （3）用几何方法、等体积法和向量法都可求解. 【小问1 详解】 证明： 是矩形， ，而 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 . 【小问2 详解】 是矩形， ， 就是异面直线 与 所成的角， 由 平面 ， 在平面 内的射影是 ，由 ，根据三垂线定理有 ， 由 ， ，∴异面直线 与 所成的角的余弦值 【小问3 详解】 平面PCD， 点 到平面 的距离就是直线 到平面PCD 的距离 平面 ， 平面 ， 是矩形， ， 平面 ， 平面 ， ， 平面 ， 平面 ， ， 第21 页/共25 页 （北京）股份有限公司 ， 为 的中点， ， 平面 ， 平面 ， ， 平面 ， 就是点 到平面 的距离，由已知得 ， ∴直线 到平面 的距离为 23. 如图1，在 中， ， ， 别为棱 ， 的中点，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图2，连结 ， （Ⅰ）求证：平面 平面 ； （Ⅱ）若 为 中点，求直线 与平面 所成角的正弦值； （Ⅲ）线段 上是否存在一点 ，使二面角 的余弦值为 ？若存在，求出 的值；若 不存在，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）存在， . 【解析】 【分析】 第22 页/共25 页 （北京）股份有限公司 （Ⅰ）由 可得 ，得 ，由 得 ，即可说明 平面 ，由此可以证明平面 平面 ； （Ⅱ）因为 ， ， ，所以 ， ， 两两互相垂直．以 为坐标原 点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，得出平面 的一个法向量 ，设直线 与平 面 所成角为 ，则 ,即得解. （Ⅲ）假设线段 上存在一点 ，使二面角 的余弦值为 ．设 ， ，得出 ， ， .易得平面 的一个法向量为 ，求出平面 的一个法向量 ，则有 ，即 ，解得 的值，即得解. 【详解】试题解析： （Ⅰ）证：因为 ， 分别为 ， 中点，所以 // ． 因为 ，所以 ．所以 ． 因为 ，所以 ． 又因为 = ，所以 平面 ． 又因为 平面 ，所以平面 平面 ． 第23 页/共25 页 （北京）股份有限公司 （Ⅱ）解： 因为 ， ， ，所以 ， ， 两两互相垂直． 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 依题意有 ， ， ， ， ， ． 则 ， ， ， ， ， ． 设平面 的一个法向量 ， 则有 ，即 ， 令 得 ， ．所以 ． 设直线 与平面 所成角为 ，则 ． 故直线 与平面 所成角的正弦值为 ． （Ⅲ）解：假设线段 上存在一点 ，使二面角 的余弦值为 ． 设 ， ，则 ， 第24 页/共25 页 （北京）股份有限公司 即 ． 所以 ， ， . 易得平面 的一个法向量为 ． 设平面 的一个法向量 ， 则有 ，即 ， 令 ，则 ． 若二面角 的余弦值为 ， 则有 ，即 ， 解得， ， ．又因为 ，所以 ． 故线段 上存在一点 ，使二面角 的余弦值为 ，且 ． 【点睛】关键点睛：本题考查空间线面角和面面角的求解，难度较大，解题的关键是根据 ， ， 两两互相垂直