专题8.1 二元一次方程组及其解法【九大题型】（原卷版）

专题81 二元一次方程组及其解法【九大题型】 【人版】 【题型1 二元一次方程（组）的概念】................................................................................................................. 1 【题型2 已知二元一次方程（组）的解求参数】..................................................................................................2 【题型3 二元一次方程（组）的解的情况】.........................................................................................................2 【题型4 二元一次方程组的一般解法】................................................................................................................. 3 【题型5 整体换元求解二元一次方程组的解】.....................................................................................................3 【题型6 构建二元一次方程组】.............................................................................................................................4 【题型7 二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】......................................................................................5 【题型8 根据两个二元一次方程组解的情况求值】..............................................................................................5 【题型9 二元一次方程组的错解复原问题】.........................................................................................................6 【知识点1 二元一次方程（组）的概念】 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1 的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 【题型1 二元一次方程（组）的概念】 【例1】（2022·山东·胶州市第七中学八年级阶段练习）下列万程中，是二元一次方程组的 是（ ） ①¿ ②¿ ③¿ ④¿ ．①②③ B．②③ ．③④ D．①② 【变式1-1】（2022·黑龙江·哈尔滨市松雷中学校七年级阶段练习）关于x、y 的方程（m﹣ 2）x+y|m 1| ﹣＝2 是二元一次方程，则m 的值为 _____． 【变式1-2】（2022·四川·仁寿县文宫镇古佛九年制学校七年级期中）下列方程： ①2 x−y 3 =1；②x 2 + 3 y =3；③x 2−y 2=4；④5 (x+ y )=7 (x−y )；⑤2 x 2=3；⑥ x+ 1 y =1，其中是二元一次方程的有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【知识点2 二元一次方程（组）的解】 3、二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 1 4、二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 5、二元一次方程组的解法 （1）代入（消元）法（2）加减（消元）法 【题型2 已知二元一次方程（组）的解求参数】 【例2】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第二十八中学七年级期中）关于x 和y 的二元一次方程， 2x+3y＝20 的正整数解有（ ）组． ．1 B．2 ．3 D．4 【变式2-1】（2022·新疆塔城·七年级期末）已知¿是二元一次方程2 x+ y=14的解，则k 的 值是（ ） ．2 B．-2 ．3 D．-3 【变式2-2】（2022·全国·七年级单元测试）已知方程a 2x+by=-1 的两组解是¿和¿，求（+b） （4 2 ﹣ 2b2+b2）的值． 【变式2-3】（2022·浙江杭州·七年级期中）在关于x，y的二元一次方程组¿的下列说法中， 错误的是（） ．当a=2时，方程的两根互为相反数 B．当且仅当a=−5时解得x为y的2倍 ．x，y满足关系式x−5 y=6 D．不存在自然数a使得x，y均为正整数 【题型3 二元一次方程（组）的解的情况】 【例3】（2022·四川省珙县巡场中学校七年级期中）关于x，y的方程组¿的解是整数，则 整数a的个数为（） ．4个 B．3个 ．2个 D．1个 【变式3-1】（2022·浙江杭州·七年级期中）若二元一次方程组¿无解，则m为（ ） ．9 B．6 ．−6 D．−9 【变式3-2】（2022·全国·八年级单元测试）下列说法中正确的是（ ） ．方程3x-4y=1 可能无解 B．方程3x-4y=1 有无数组解，即xy 可以取任何数值 ．方程3x-4y=1 只有两组解，两组解是¿ D．x=3，y=2 是方程3x-4y=1 的一组解 【变式3-3】（2022·河南商丘·七年级阶段练习）二元一次方程2 x+ y=13的非负整数解有 （ ） ．5 个 B．6 个 ．7 个 D．无数个 【题型4 二元一次方程组的一般解法】 【例4】（2022·云南·普洱市宁洱县勐先镇初级中学七年级期中）解方程组: (1)¿ 1 (2)¿ 【变式4-1】（2022·甘肃·金昌市金川区宁远中学七年级期中）用适当的方法解下列方程组： (1)¿ (2)¿ (3)用代入法解¿ (4)用加减法解¿ 【变式4-2】（2022·湖南·郴州市五雅高级中学有限公司七年级阶段练习）解方程组 (1)¿； (2)¿； (3)¿； (4)¿． 【变式4-3】（2022·河南商丘·七年级期末）解下列方程组： (1)¿ (2)¿ 【题型5 整体换元求解二元一次方程组的解】 【例5】（2022·全国·八年级课时练习）已知关于x、y 的二元一次方程组¿的解为¿，那么 关于m、的二元一次方程组¿的解为 _____． 【变式5-1】（2022·河北石家庄·七年级期中）甲、乙、丙在探讨问题“已知x，y满足 x+2 y=5，且¿求m的值．”的解题思路时，甲同学说：“可以先解关于x，y的方程组¿ 再求m的值．”乙、丙同学听了甲同学的说法后，都认为自己的解题思路比甲同学的简单， 乙、丙同学的解题思路如下． 乙同学：先将方程组¿中的两个方程相加，再求m的值； 丙同学：先解方程组¿，再求m的值． 你最欣赏乙、丙哪位同学的解题思路？先根据你最欣赏的思路解答此题，再简要说明你选 择这种思路的理由． 【变式5-2】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）已知关于x，y 的方程组¿的解满足 x−y=10，则k 的值为_____． 【变式5-3】（2022·全国·七年级课时练习）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组¿ 由①，得x－y＝1③ 把③代入②，得4×1－y＝5，解得y＝－1 把y＝－1 代入③，得x＝0 ∴原方程组的解为¿ 这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这 1 种方法解方程组：¿ 【题型6 构建二元一次方程组】 【例6】（2019·内蒙古呼伦贝尔·七年级期中）如果（x+y-5）2与│3y-2x+10│互为相反数， 那么x、y 的值为（ ） ．x=3，y=2 B．x=2，y=3 ．x=0，y=5 D．x=5，y=0 【变式6-1】（2022·吉林松原·七年级期中）已知y=kx+b，当x=2时，y=−3；当 x=−1时，y=3． （1）求k，b的值； （2）当x取何值时，y的值为−4？ 【变式6-2】（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级阶段练习）对于实数a、b，定义关于“⊗ ”的一种运算：a⊗b=2a+b，例如1⊗3=2×1+3=5． （1）求4⊗(−3)的值； （2）若x⊗(−y )=−2，(2 y )⊗x=−1，求x+ y的值． 【变式6-3】（2022·山东聊城·七年级期中）已知、b 都是有理数，观察表中的运算，则m ＝________． 、b 的运算 ＋b －b （＋2b）3 运算的结果 5 9 m 【题型7 二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】 【例7】（2022·广东揭阳·八年级期末）若关于x,y的二元一次方程组¿的解满足x+ y=7,则 k的值是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【变式7-1】（2022·全国·七年级课时练习）关于x,y 的方程组¿的解也是二元一次方程 x+3 y+7m=20的解，则m的值是( ) ．2 B．1 ．0 D．1 2 【变式7-2】（2022·湖南株洲·七年级期末）已知关于x、y 的二元一次方程组¿的解满足二 元一次方程x 3 -y=4，求m 的值． 【变式7-3】（2022·四川·天府四中七年级期中）已知方程组¿的解是二元一次方程x−y=1 的一个解，则a=¿________________． 【题型8 根据两个二元一次方程组解的情况求值】 【例8】（2022·浙江·宁波市镇海蛟川书院七年级期中）关于x、y的方程组¿与¿有相同的 解，则a+b=¿______． 1 【变式8-1】（2019·四川成都·中考模拟）数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲 求关于x 、y的方程组¿的正确解与乙求关于x 、y的方程组¿的正确的解相同．则 a 2018+(−1 10 b) 2018 的值为_____ 【变式8-2】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）已知方程组¿的解也是方程组¿ 的解求a,b的值． 【变式8-3】（2022·山东潍坊·七年级期中）若关于x，y的二元一次方程组¿与¿有相同的解， 则这个解是_________． 【题型9 二元一次方程组的错解复原问题】 【例9】（2022·四川·射洪中学七年级阶段练习）小明和小文解一个二元一次方程组¿，小 明正确解得¿，小文抄错了c，解得¿，已知小文抄错了c外没有发生其他错误，则a−b−c ＝______． 【变式9-1】（2019·全国·八年级单元测试）甲、乙二人解同一个方程组¿甲因看错①中的 得解为¿乙因看错了②中的b 解得¿求，b 的值 【变式9-2】（2019·江苏徐州·七年级期末）甲、乙二人同时解一个方程组¿，甲解得¿，乙 解得¿甲仅因为看错了方程(1)中y的系数a，乙仅因为看错了方程(2)中x的系数b，求方程组 正确的解 【变式9-3】（2019·全国·八年级单元测试）小敏不小心将墨水溅在同桌小娟的作业本上， 结果二元一次方程组¿中第一个方程y 的系数和第二个方程x 的系数看不到了，现在已知方 程组的解是¿则原来的方程组为____________ 1