题型9 二次函数综合题 类型7 二次函数与直角三角形有关的问题（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型七 二次函数与直角三角形有关的问题（专题训练） 1．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线 与 轴交于 两点， 与 轴交于点 ．抛物线的对称轴 与经过点 的直线 交于点 ，与 轴交于点 ． (1)求直线 及抛物线的表达式； (2)在抛物线上是否存在点 ，使得 是以 为直角边的直角三角形?若存在，求出 所有点 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)以点 为圆心，画半径为2 的圆，点 为 上一个动点，请求出 的最小值． 【答】(1)直线 的解析式为 ；抛物线解析式为 ；(2)存在，点M 的 坐标为 或 或 ；(3) 【分析】（1）根据对称轴 ， ，得到点及B 的坐标，再利用待定系数法求解析 式即可； （2）先求出点D 的坐标，再分两种情况：①当 时，求出直线 的解析式为 ，解方程组 ，即可得到点M 的坐标；②当 时，求出 直线 的解析式为 ，解方程组 ，即可得到点M 的坐标； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （3）在 上取点 ，使 ，连接 ，证得 ，又 ，得到 ，推出 ，进而得到当点、P、F 三点共线时， 的值最小， 即为线段 的长，利用勾股定理求出 即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴 ， ， ∴ ， 将 代入直线 ，得 ， 解得 ， ∴直线 的解析式为 ； 将 代入 ，得 ，解得 ， ∴抛物线的解析式为 ； （2）存在点 ， ∵直线 的解析式为 ，抛物线对称轴 与 轴交于点 ． ∴当 时， ， ∴ ， ①当 时， 设直线 的解析式为 ，将点坐标代入， 得 ， 解得 ， ∴直线 的解析式为 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 解方程组 ， 得 或 ， ∴点M 的坐标为 ； ②当 时， 设直线 的解析式为 ，将 代入， 得 ， 解得 ， ∴直线 的解析式为 ， 解方程组 ， 解得 或 ， ∴点M 的坐标为 或 综上，点M 的坐标为 或 或 ； （3）如图，在 上取点 ，使 ，连接 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ，、 ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ，即 ， ∴ ， ∴当点、P、F 三点共线时， 的值最小，即为线段 的长， ∵ ， ∴ ， ∴ 的最小值为 ． 【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角 三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各 知识点是解题的关键． 2．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于点 ，直线 交抛物线于 两点（点 在点 的左侧），交 轴于点 ， 交 轴于点 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)求点 的坐标； (2) 是线段 上一点 ，连接 ，且 ． ①求证： 是直角三角形； ② 的平分线 交线段 于点 是直线 上方抛物线上一动点，当 时，求点 的坐标． 【答】(1) ， ， ；(2)①证明见解析，②点 的坐标为 或 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可； （2）①设 然后利用勾股定理求解， ，过点 作 轴，垂足为 ．再由 等腰三角形及各角之间的关系即可证明；②根据题意得出 ，设点 的坐标为 ，根据题意得 ．分两种情况分析：（）当点 在直线 的左侧抛物 线上时， ．（）当点 在直线 的右侧抛物线上时， ．求解即可． 【详解】（1）解：∵直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 当 时， ， 当 时， ． ∵直线 交抛物线于 两点， ， ，解得 ． ∵点 在点 的左侧， ∴点 的横坐标为3， 当 时， ． ； （2）如图， ①抛物线 交 轴于点， 当 时， ． , 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 在 中， ， 由勾股定理得 ， 设 ， ． ， ， ， ． ， ． 是等腰直角三角形， ． 过点 作 轴，垂足为 ． ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 是等腰直角三角形， 是直角三角形． ② 平分 轴． ， ． 设点 的坐标为 ，根据题意得 ． （）当点 在直线 的左侧抛物线上时， ． 过点 作 轴，垂足为 ． ， ． ， 在 中， ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （舍去）． 当 时， （）当点 在直线 的右侧抛物线上时， ． 过点 作 轴，垂足为 ． ， 在 中， ， ， （舍去）． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 当 时， ∴点 的坐标为 或 ． 【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数综合问题，特殊三角形问题及解三角形，理解 题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 3．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x 轴交于 ， 两点．与y 轴交于点 ． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P 是直线 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交 于点K，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D，求与 的最大值及此时点P 的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得 是以 为一条直角边的直角三角形： 若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答】(1) ；(2)存在， 的最大值为 ， ；(3) 或 【分析】（1）将 、 、 代入抛物线解析式求解即可； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）可求直线 的解析式为 ，设 （ ），可求 ，从而可求 ，即可求解； （3）过 作 交抛物线的对称轴于 ，过 作 交抛物线的对称轴于 ，连接 ，设 ， 可求 ， ，由 ，可求 ，进而求出直线 的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得： ， 抛物线的解析式为 ． （2）解：设直线 的解析式为 ，则有 ， 解得： ， 直线 的解析式为 ； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 设 （ ）， ， 解得： ， ， ， ， ， ， ， 当 时， 的最大值为 ， ， ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 故 的最大值为 ， ． （3）解：存在， 如图，过 作 交抛物线的对称轴于 ，过 作 交抛物线的对称轴于 ，连接 ， ∵抛物线 的对称轴为直线 ， 设 ， ， ， ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， 解得： ， ； 设直线 的解析式为 ，则有 ， 解得 ， 直线 解析式为 ， ，且经过 ， 直线 解析式为 ， 当 时， ， ； 综上所述：存在， 的坐标为 或 ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的 判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键． 4．（2023·四川·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与x 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)求抛物线的解析式； (2)已知 为抛物线上一点， 为抛物线对称轴上一点，以 ， ， 为顶点的三角形是 等腰直角三角形，且 ，求出点 的坐标； (3)如图 ， 为第一象限内抛物线上一点，连接 交 轴于点 ，连接 并延长交 轴 于点 ，在点 运动过程中， 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请 说明理由． 【答】(1) ；(2) 或 或 ；(3) ，理由见 解析 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）先求得抛物线的对称轴为直线 ，设与 交于点 ，过点 作 于点 ，证 明 ，设 ，则 ， ，进而得 出 点的坐标，代入抛物线解析式，求得 的值，同理可求得当点F 在x 轴下方时的坐标； 当 点与 点重合时，求得另一个解，进而即可求解； （3）设 ，直线 的解析式为 ， 的解析式为 ，求得解析式， 然后求得 ，即可求解． 【详解】（1）解：将点 ， ，代入 得 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 解得： ， ∴抛物线解析式为 ； （2）∵点 ， ， ∴抛物线的对称轴为直线： ， 如图所示，设与 交于点 ，过点 作 于点 ∵以 ， ， 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ∵ 点在抛物线 上 ∴ 解得： （舍去）或 , 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， 如图所示，设与 交于点 ，过点 作 于点 ∵以 ， ， 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ∵ 点在抛物线 上 ∴ 解得： （舍去）或 ， ∴ ， 当 点与 点重合时，如图所示， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ， 是等腰直角三角形，且 ， ∴ 此时 ， 综上所述， 或 或 ； （3）设 ，直线 的解析式为 ， 的解析式为 ， ∵点 ， ， ， ∴ ， 解得： ， ∴直线 的解析式为 ， 的解析式为 ， 对于 ，当 时， ，即 ， 对于 ，当 时， ，即 ， ∵ 在抛物线上，则 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ∴ 为定值． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形 的性质，一次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 的顶点为 ．直线过点 ，且平行于 轴，与抛物线 交 于 两点（ 在 的右侧）．将抛物线 沿直线翻折得到抛物线 ，抛物线 交 轴于 点 ，顶点为 ． (1)当 时，求点 的坐标； (2)连接 ，若 为直角三角形，求此时 所对应的函数表达式； (3)在（2）的条件下，若 的面积为 两点分别在边 上运动，且 ，以 为一边作正方形 ，连接 ，写出 长度的最小值，并简要说明 理由． 【答】(1) ；(2) 或 ；(3) ，见解析 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，进而得出顶点坐标 ，根据对称性，即 可求解． （2）由题意得， 的顶点 与 的顶点 关于直线 对称， ，则抛 物线 ．进而得出可得 ，①当 时，如图1，过 作 轴，垂足为 ．求得 ，代入解析式得 出 ，求得 ．②当 时，如图2，过 作 ，交 的延长线于点 ．同理可得 ，得出 ，代入解析式得出 代入 ，得 ；③当 时，此情况不存在． （3）由（2）知，当 时， ，此时 的面积为1，不合题意舍去．当 时， ，此时 的面积为3，符合题意．由题意可求得 ．取 的中点 ，在 中可求得 ．在 中可求得 ．易知当 三点共线时， 取最小值，最小值为 ． 【详解】（1）∵ ， ∴抛物线 的顶点坐标 ． ∵ ，点 和点 关于直线 对称． ∴ ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）由题意得， 的顶点 与 的顶点 关于直线 对称， ∴ ，抛物线 ． ∴当 时，可得 ． ①当 时，如图1，过 作 轴，垂足为 ． ∵ ， ∴ ． ∵ ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵直线 轴， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 又∵点 在 图像上， ∴ ． 解得 或 ． ∵当 时，可得 ，此时 重合，舍去．当 时，符合题意． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 将 代入 ， 得 ． ②当 时，如图2，过 作 ，交 的延长线于点 ． 同理可得 ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 又∵点 在 图像上， ∴ ．解得 或 ． ∵ ， ∴ ．此时 符合题意． 将 代入 ，得 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ③当 时，此情况不存在． 综上， 所对应的函数表达式为 或 ． （3）如图3，由（2）知，当 时， ， 此时 则 ， ，则 的面积为1，不合题意舍去． 当 时， ， 则 ， ∴ ，此时 的面积为3，符合题意 ∴ ． 依题意，四边形 是正方形， ∴ ． 取 的中点 ，在 中可求得 ． 在 中可求得 ． ∴当 三点共线时， 取最小值，最小值为 ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，特殊三角形问题，正方形的性质，勾股定理，面积 问题，分类讨论是解题的关键． 6（2022·山东滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x 轴相交于点、 B（点在点B 的左侧），与y 轴相交于点，连接 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)求线段的长；(2)若点Р 为该抛物线对称轴上的一个动点，当 时，求点P 的坐 标； (3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当 为直角三角形时，求点M 的坐标． 【答】(1) (2) (3) 或 或 或 【分析】（1）根据解析式求出，B，的坐标，然后用勾股定理求得的长；（2）求出对称 轴为x=1，设P（1，t），用t 表示出P2和P2的长度，列出等式求解即可；（3）设点M （m,m2-2m-3），分情况讨论，当 ， ， 分别列出等式求解即可． (1) 与x 轴交点： 令y=0，解得 ， 即（-1，0），B（3，0）， 与y 轴交点： 令x=0，解得y=-3， 即（0，-3）， =1,=3, ∴ ∴ ; (2)抛物线 的对称轴为：x=1， 设P（1，t）， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ， ∴ t=-1 ∴ ， P ∴（1，-1）； (3)设点M（m,m2-2m-3）， ， ， , ①当 时， ， 解得， （舍）， ， M ∴ （1，-4）； ②当 时， ， 解得， ， （舍）， M ∴ （-2，5）； ③当 时， ， 解得， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm M ∴ 或 ； 综上所述：满足条件的M 为 或 或 或 ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知 识，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题． 7（2021·四川中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴分别交于、B 两点， 与y 轴交于点（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结B、BE、E． （1）求抛物线的表达式； （2）判断△BE 的形状，并说明理由； （3）如图2，以为圆心， 为半径作⊙，在⊙上是否存在点P，使得BP＋ EP 的值最 小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答】（1）y= x2+2x+6；（2）直角三角形，见解析；（3）存在， 【分析】 （1）用待定系数法求函数解析式； （2）分别求出三角形三边的平方，然后运用勾股定理逆定理即可证明； （3）在E 上截取F= （即F 等于半径的一半），连接BF 交⊙于点P，连接EP，则 BF 的长即为所求． 【详解】 解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8）， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴设该抛物线的表达式为y=（x-2）2+8， ∵与y 轴交于点（0，6）， ∴把点（0，6）代入得：= ， ∴该抛物线的表达式为y= x2+2x+6； （2）△BE 是直角三角形．理由如下： ∵抛物线与x 轴分别交于、B 两点， ∴当y=0 时， （x-2）2+8=0，解得：x1=-2，x2=6， ∴（-2，0），B（6，0）， B ∴ 2=62+62=72，E2=（8-6）2+22=8，BE2=（6-2）2+82=80， BE ∴ 2=B2+E2， ∠BE=90° ∴ ， △BE ∴ 是直角三角形； （3）如图，在E 上截取F= （即F 等于半径的一半），连接BF 交⊙于点P，连接 EP， 则BF 的长即为所求． 连接P，∵P 为半径， ∴ ， 又∵∠FP=∠PE， △FP∽△PE ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ，FP= EP， BF=BP+ ∴ EP， 由“两点之间，线段最短”可得：BF 的长即BP+ EP 为最小值． F= ∵ E，E（2，8）， F ∴（ ， ）， BF= ∴ 【点睛】 本题考查二次函数综合，待定系数法，二次函数图象和性质，勾股定理及其逆定理，圆的 性质，相似三角形的判定和性质等，题目综合性较强，属于中考压轴题，熟练掌握二次函 数图象和性质，圆的性质，相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键． 8（2021·湖北中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，顶点 的坐标为 ． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）如图1，若点 在抛物线上且满足 ，求点 的坐标； （3）如图2， 是直线 上一个动点，过点 作 轴交抛物线于点 ， 是直 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 线 上一