第15讲 几何图形的初步（讲义）（解析版）

第15 讲 几何图形的初步 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 认识几何图形 题型01 几何图形的识别 题型02 几何体点、棱、面之间的关系 题型03 判断几何体的截面形状 题型04 判断几何体的展开图 题型05 由展开图计算几何体的表面积或体积 题型06 正方体展开图的识别 题型07 补一个面使其成为正方体的展开面 题型08 正方体相对两面上的字或图 题型09 与七巧板有关的计算 考点二 直线、射线、线段的相关概念 题型01 画直线、射线、线段 题型02 求直线、线段的数量 题型03 求直线相交点的个数 题型04 直线的性质 题型05 线段的性质 题型06 与线段中点有关的计算 考点三 角的相关概念 题型01 度、分、秒的换算 题型02 钟面角的计算 题型03 方向角的表示 题型04 角平分线的相关计算 题型05 求一个角的余角、补角 题型06 与余角、补角有关的计算 考点四 相交线 题型01 点到直线的距离 题型02 利用对顶角、邻补角的性质求解 题型03 判断同位角、内错角、同旁内角 考点五 平行线 题型01 平行公理的应用 题型02 利用平行线的判定进行证明 题型03 求平行线之间的距离 题型04 平行线判定的实际应用 题型05 由平行线的性质求角度 题型06 由平行线的性质解决折叠问题 题型07 平行线的性质在实际生活的应用 题型08 利用平行线的性质解决三角板问题 题型09 根据平行线性质与判定求角度 题型10 根据平行线性质与判定证明 考点要求 新课标要求 命题预测 认识几何图 形  通过实物和模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和 点等概念 该专题内容是初中几何 的基础，在中考数学中属于 基础考点，年年都会考查， 分值为8 分左右，预计2024 年各地中考还将出现 大部分地区在选择、填 空题中考察可能性较大，主 要考察平行线的性质和判 定、方位角、角度的大小等 知识，这些知识点考查较容 易，另外平行线的性质可能 在综合题中出现，考查学生 综合能力，比如：作平行的 辅助线，构造特殊四边形， 此类题目有一定难度，需要 学生灵活掌握．对本专题的 复习也直接影响后续对其他 几何图形的学习，需要考生 细心对待 直线、射 线、线段的 相关概念  会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义  掌握基本事实:两点确定一条直线和两点之间线段最短  理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离 角的相关概 念  理解角的概念，能比较角的大小，认识度、分、秒等角的度量单 位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差  理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角 (或等角)的余角、同 (或)的补的性质 相交线  理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直 线的垂线  掌握基本事实:同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直 线垂直  理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离  识别同位角、内错角、同旁内角 平行线  理解平行线的概念  掌握平行线的性质与判定定理  了解平行于同一条直线的两条直线平行 考点一 认识几何图形 几何图形的概念: 我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形,几何图形分为平面图形和立体图形 立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形 平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形 正方体展开图（共计11 种）： 口诀：1）“一四一”、“一三二”，“一”在同层可任意, 2）“三个二”成阶梯, 3）“二个三”“日”相连,异层必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此规律，运用定自如 几何图形的组成：1）点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形 2）线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线 3）面：包围着体的是面，分为平面和曲面 4）体：几何体也简称体 组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体 【扩展】 名称 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 存在关系 三棱锥 4 4 6 V+F-E=2 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 1 同一个立体图形按不同的方式展开得到的平面展开图是不一样的 2 在正方体的展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个,图1 所示的图形不是正方体的展开图 3 正方体的展开图中不会有“田”字形、“凹”字形的形状,图2、图3 所示的图形不是正方体的展开图 题型01 几何图形的识别 【例1】（2023·山东临沂·统考一模）下列几何体中，是棱锥的为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】分别判断选项的几何题即可得到答． 【详解】解：图形中的几何体是棱锥，故此选项符合题意； B 图形中的几何体是正方体，故此选项不符合题意； 图形中的几何体是圆锥，故此选项不符合题意； D 图形中的几何体是圆柱，故此选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了几何体的识别，掌握各几何体的特征是解题的关键． 【变式1-1】（2023·北京西城·统考一模）下面几何体中，是圆柱的是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据圆柱的特征，即可解答． 【详解】解：是正方体，故不符合题意； B 是圆柱，故符合题意； 是圆锥，故不符合题意； D 是球体，故不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每个几何体的特征是解题的关键． 【变式1-2】（2023·江苏镇江·校联考一模）不透明的箱子中装有一个几何体模型，小乐和小欣摸该模 型并描述它的特征．小乐：它有4 个面是三角形；小欣：它有6 条棱．则该几何体模型的形状可能是（ ） ．三棱锥 B．三棱柱 ．四棱锥 D．四棱柱 【答】 【分析】根据几何体有4 个面是三角形，有6 条棱，进行判断即可． 【详解】解：∵几何体有4 个面是三角形， ∴几何体不能是棱柱（棱柱侧面均为四边形，只有三棱柱上下底面是三角形）； 又∵几何体有6 条棱， ∴选项中只有选项符合题意； 故选． 【点睛】本题考查几何体的判断．熟练掌握常见几何体的特征，是解题的关键． 题型02 几何体点、棱、面之间的关系 【例2】（2020·山东枣庄·中考真题）欧拉（Euler，1707 年~1783 年）为世界著名的数学家、自然科学 家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点 数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flt surfe）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公 式． （1）观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 棱数E 6 12 面数F 4 5 8 （2）分析表中的数据，你能发现V、E、F 之间有什么关系吗？请写出关系式：________________________ ____． 【答】（1）表格详见解析；（2）V +F−E=2 【分析】（1）通过认真观察图象，即可一一判断； （2）从特殊到一般探究规律即可． 【详解】解：（1）填表如下： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 6 棱数E 6 9 12 12 面数F 4 5 6 8 （2）据上表中的数据规律发现，多面体的顶点数V、棱数E、面数F 之间存在关系式：V +F−E=2． 【点睛】本题考查规律型问题，欧拉公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律的方法，属于 中考常考题型． 题型03 判断几何体的截面形状 【例3】（2023·河南信阳·二模）妹妹把一密闭且透明的圆柱形水杯中装一半的水，随意转动水杯，水 面的形状不可能是（ ） ．三角形 B．长方形 ．圆形 D．椭圆 【答】 【分析】根据圆柱体的截面形状，判断即可． 【详解】解：因为圆柱的截面形状可能是圆形，椭圆形或长方形， 所以，一个密闭且透明的圆柱形水杯中装一半的水，随意转动水杯，则水面的形状不可能是三角形． 故选：． 【点睛】本题考查了截一个几何体，熟练掌握圆柱体的截面形状是解题的关键． 【变式3-1】（2023·江苏南京·校联考三模）在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶按 不同方式放置时，圆柱桶内的水平面不可能呈现出的几何形状是（ ） ．圆面 B．矩形面 ．梯形面 D．椭圆面或部分椭圆面 【答】 【分析】对不同的放置情况分别判断，得出结论． 【详解】解：当圆柱桶竖直放置时，液面形状为圆形，故选项不符合题意； 当圆柱桶水平放置时，液面为矩形，故选项B 不符合题意； 无论圆柱桶怎样放置，圆柱桶内的水平面不可能呈现出梯形面，故选项符合题意； 当圆柱桶倾斜放置时，若液面经过底面，则液面为椭圆的一部分，若液面不经过底面，则液面为椭圆，故 选项D 不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了圆柱的结构特征．关键是理解用平面去截圆柱体，所得到截面 【变式3-2】（2023·四川成都·统考一模）分别用一平面去截如图所示几何体，能得到截面是矩形的几 何体共有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】利用正方体、圆柱、三棱柱、圆锥、球体的结构特征解答即可． 【详解】解：用一个平面去截正方体、圆柱、三棱柱，都可以得到截面是矩形， 用一个平面去截圆锥、球体，不可以得到截面是矩形， 所以用一平面去截如图所示几何体，能得到截面是矩形的几何体共有3 个． 故选：． 【点睛】本题考查了截一个几何体，熟练掌握正方体、圆柱、三棱柱、圆锥、球体的结构特是解题的关键． 【变式3-3】（2023·广东深圳·统考一模）如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过 程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（ ） ．三角形 B．正方形 ．六边形 D．七边形 【答】D 【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， 因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，即可得到答； 【详解】解：∵正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得 三角形， ∴截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的截面，解题的关键是熟练掌握面面相交等到线． 题型04 判断几何体的展开图 【例4】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）下列图形中，为圆锥的侧面展开图的是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据立体图形的特点及张开图的特点即可求解． 【详解】解：A、是棱锥的侧面展开图，不符合题意； B、是圆锥的侧面展开图，符合题意； C、是圆台的侧面展开图，不符合题意； D、是圆柱的侧面展开图，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查立体图形的展开图的识别，掌握圆锥、棱锥、圆柱，圆台的特点及张开图的特点是 解题的关键． 【变式4-1】（2023·湖南长沙·统考三模）如图，是一个几何体的表面展开图，那么这个几何体的名称 是（ ） ．正三棱柱 B．正三棱锥 ．圆柱 D．圆锥 【答】 【分析】由表面展开图得，这个几何体是正三棱柱． 【详解】解：由表面展开图得，这个几何体是正三棱柱， 故选：． 【点睛】本题考查了几何体的表面展开图，解题的关键是熟记几何体的表面展开图的特征． 【变式4-2】（2023·江西九江·校考模拟预测）将如图所示的圆锥的侧面展开，则点和点B 在展开图中 的相对位置正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据点B 在圆锥的母线上，将圆锥侧面展开后，点B 应在扇形的半径上，且，B 间距离为扇面的 一半，故可解答． 【详解】解：点B 在圆锥的母线上，将圆锥侧面展开后，点B 应在扇形的半径上，且，B 间距离为扇面的 一半， 故选： 【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面展开图，考核了学生的空间想象能力． 【变式4-3】（2023·北京通州·统考一模）如图，是某一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ） ．五棱锥 B．四棱锥 ．四棱柱 D．三棱柱 【答】D 【分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱． 【详解】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱． 故选：D． 【点睛】本题考查的是三棱柱的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合 立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 【变式4-4】（2023·河北石家庄·统考一模）将如图所示的长方体包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连 在一起，然后铺平，则得到的图形不可能是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】依据长方体的展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：、符合长方体的展开图的特点，是长方体的展开图，故此选项符合题意； B、符合长方体的展开图的特点，是长方体的展开图，故此选项符合题意； 、符合长方体的展开图的特点，是长方体的展开图，故此选项符合题意； D、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图的特点是解题的关键． 题型05 由展开图计算几何体的表面积或体积 【例5】（2023·河北保定·统考二模）张师傅要制作一个无盖长方体玻璃鱼缸，切割出来的几块玻璃的 尺寸如图所示（单位：dm），则其体积为（ ） ．60dm 3 B．72dm 3 ．74 dm 3 D．94 dm 3 【答】 【分析】设长方体底面的长和宽分别x dm，y dm，根据其平面展开图的相关数据可得关于x、y 的二元一 次方程组，然后根据长方体的体积公式求解即可 【详解】解：设长方体底面的长和宽分别x dm，y dm， 由平面图可知，¿，解得¿； 故鱼缸的体积为4×5×3=60 (dm 3) 故选 【点睛】本题考查了长方体的平面展开图以及二元一次方程组等知识，弄清长方体的展开图与圆长方体中 长、宽、高的关系是解题的关键 【变式5-1】（2023·黑龙江大庆·大庆一中校考模拟预测）如图是某几何体的展开图，则该几何体的体 积为（ ） ．π B．❑ √3 π ． ❑ √3 2 π D． ❑ √3 3 π 【答】D 【分析】由题意知，该几何体为圆锥，如图，则 BC=1 2 ×2=1，AB=2，∠ACB=90°，在Rt △ACB 中，由勾股定理得，AC=❑ √3，则几何体的体积V =1 3 S h=1 3 ×π ×❑ √3，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，该几何体为圆锥，如图，则BC=1 2 ×2=1，AB=2，∠ACB=90°， 在Rt △ACB中，由勾股定理得，AC= ❑ √A B 2−BC 2=❑ √3， ∴几何体的体积V =1 3 S h=1 3 ×π ×❑ √3= ❑ √3 3 π， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据圆锥的展开图求圆锥体积，勾股定理．解题的关键在于确定几何体的形状． 【变式5-2】（2022·河北石家庄·统考一模）相同规格（长为14，宽为8）的长方形硬纸板，剪掉阴影 部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，有如图所示的甲、乙两种方，所 得长方体体积分别记为：V 甲和V 乙．下列说法正确的是：（ ） ．V 甲>V 乙 B．V 甲=V 乙 ．V 甲<V 乙 D．无法判断 【答】 【分析】由图可知，设甲方中长方体箱子的正方形底面的边长为a，长方体的高为b，则¿，求出a,b的值， 然后求体积即可；同理求出乙方中长方体的体积，比较大小即可． 【详解】解：由图可知，设甲方中长方体箱子的正方形底面的边长为a，长方体的高为b 则¿ 解得¿ ∴V 甲=2×2×10=40 设乙方中长方体箱子的正方形底面的边长为a，长方体的高为b 则¿ 解得¿ ∴V 乙=6×6×1=36 ∵40>36 ∴V 甲>V 乙 故选． 【点睛】本题考查了长方体的展开图，体积，二元一次方程组的应用．解题的关键在于求出长方体的高， 底面正方形的边长． 【变式5-3】（2023·江苏宿迁·统考二模）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AB所在直 线为轴，把△ABC旋转1 周，得到一个几何体，则该几何体的表面积为 ． 【答】84 5 π 【分析】先求出直角三角形斜边AB的长，然后再求出斜边上的高，最后根据扇形面积公式进行求解即可． 【详解】解：过点作CD⊥AB于点D， ∵∠C=90°，AC=3，BC=4， ∴AB= ❑ √A C 2+BC 2=5， ∴CD= AC ×BC AB =3×4 5 =12 5 ， ∴该几何体的表面积为：1 2 ×2× 12 5 π × (3+4 )=84 5 π． 故答为：84 5 π． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆锥侧面积的计算，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式，准确计算． 【变式5-4】（2023·江苏扬州·统考一模）如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根 据图中标示的长度，此长方体的表面积为 ． 【答】370 【分析】根据展开图，可以求得原来长方体的底面的边长和高，然后计算长方体的表面积即可． 【详解】解：设原长方体底面边长为a，长方体高为b， 15=3a，2a+b=26， 解得a=5，b=16， ∴长方体的表面积为：5×5×2+5×16×4=370， 故答为：370． 【点睛】本题考查几何体的展开图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式5-5】（2022·贵州贵阳·统考三模）如图，把一个高9dm 的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然 后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了36dm 2．原来 这个圆柱的体积是 dm 3． 【答】36 π 【分析】增加的面积等于底面半径乘以高，再乘以2，由此可以计算出圆柱的底面半径，进而可以算出圆 柱的体积． 【详解】解：圆柱的底面半径为：36÷2÷9=2（分米）， 故圆柱的体积为：π ×2 2×9=36 π（立方分米）， 故答：36 π． 【点睛】本题考查圆柱的体积，长方形的面积，长方体的表面积，掌握圆周的体积公式是解决本题的关键． 题型06 正方体展开图的识别 【例6】（2023·河南周口·校联考三模）下列哪个不是正方体的侧面展开图（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据已知正方体图形，利用排除法选出正确答，从底面和侧面的情况进行全面的分析，相邻必不 相对． 【详解】根据已知正方体图形，从底面和侧面的情况进行全面的分析，相邻必不相对． 利用排除法可得D 选项正确 故选：D 【点睛】判断一个平面图形是不是某立体图形