第15讲 几何图形的初步（讲义）（原卷版）

第15 讲 几何图形的初步 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 认识几何图形 题型01 几何图形的识别 题型02 几何体点、棱、面之间的关系 题型03 判断几何体的截面形状 题型04 判断几何体的展开图 题型05 由展开图计算几何体的表面积或体积 题型06 正方体展开图的识别 题型07 补一个面使其成为正方体的展开面 题型08 正方体相对两面上的字或图 题型09 与七巧板有关的计算 考点二 直线、射线、线段的相关概念 题型01 画直线、射线、线段 题型02 求直线、线段的数量 题型03 求直线相交点的个数 题型04 直线的性质 题型05 线段的性质 题型06 与线段中点有关的计算 考点三 角的相关概念 题型01 度、分、秒的换算 题型02 钟面角的计算 题型03 方向角的表示 题型04 角平分线的相关计算 题型05 求一个角的余角、补角 题型06 与余角、补角有关的计算 考点四 相交线 题型01 点到直线的距离 题型02 利用对顶角、邻补角的性质求解 题型03 判断同位角、内错角、同旁内角 考点五 平行线 题型01 平行公理的应用 题型02 利用平行线的判定进行证明 题型03 求平行线之间的距离 题型04 平行线判定的实际应用 题型05 由平行线的性质求角度 题型06 由平行线的性质解决折叠问题 题型07 平行线的性质在实际生活的应用 题型08 利用平行线的性质解决三角板问题 题型09 根据平行线性质与判定求角度 题型10 根据平行线性质与判定证明 考点要求 新课标要求 命题预测 认识几何图 形  通过实物和模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和 点等概念 该专题内容是初中几何 的基础，在中考数学中属于 基础考点，年年都会考查， 分值为8 分左右，预计2024 年各地中考还将出现 大部分地区在选择、填 空题中考察可能性较大，主 要考察平行线的性质和判 定、方位角、角度的大小等 知识，这些知识点考查较容 易，另外平行线的性质可能 在综合题中出现，考查学生 综合能力，比如：作平行的 辅助线，构造特殊四边形， 此类题目有一定难度，需要 学生灵活掌握．对本专题的 复习也直接影响后续对其他 几何图形的学习，需要考生 细心对待 直线、射 线、线段的 相关概念  会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义  掌握基本事实:两点确定一条直线和两点之间线段最短  理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离 角的相关概 念  理解角的概念，能比较角的大小，认识度、分、秒等角的度量单 位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差  理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角 (或等角)的余角、同 (或)的补的性质 相交线  理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直 线的垂线  掌握基本事实:同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直 线垂直  理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离  识别同位角、内错角、同旁内角 平行线  理解平行线的概念  掌握平行线的性质与判定定理  了解平行于同一条直线的两条直线平行 考点一 认识几何图形 几何图形的概念: 我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形,几何图形分为平面图形和立体图形 立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形 平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形 正方体展开图（共计11 种）： 口诀：1）“一四一”、“一三二”，“一”在同层可任意, 2）“三个二”成阶梯, 3）“二个三”“日”相连,异层必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此规律，运用定自如 几何图形的组成：1）点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形 2）线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线 3）面：包围着体的是面，分为平面和曲面 4）体：几何体也简称体 组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体 【扩展】 名称 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 存在关系 三棱锥 4 4 6 V+F-E=2 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 1 同一个立体图形按不同的方式展开得到的平面展开图是不一样的 2 在正方体的展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个,图1 所示的图形不是正方体的展开图 3 正方体的展开图中不会有“田”字形、“凹”字形的形状,图2、图3 所示的图形不是正方体的展开图 题型01 几何图形的识别 【例1】（2023·山东临沂·统考一模）下列几何体中，是棱锥的为（ ） ． B． ． D． 【变式1-1】（2023·北京西城·统考一模）下面几何体中，是圆柱的是（ ） ． B． ． D． 【变式1-2】（2023·江苏镇江·校联考一模）不透明的箱子中装有一个几何体模型，小乐和小欣摸该模 型并描述它的特征．小乐：它有4 个面是三角形；小欣：它有6 条棱．则该几何体模型的形状可能是（ ） ．三棱锥 B．三棱柱 ．四棱锥 D．四棱柱 题型02 几何体点、棱、面之间的关系 【例2】（2020·山东枣庄·中考真题）欧拉（Euler，1707 年~1783 年）为世界著名的数学家、自然科学 家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点 数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flt surfe）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公 式． （1）观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 棱数E 6 12 面数F 4 5 8 （2）分析表中的数据，你能发现V、E、F 之间有什么关系吗？请写出关系式：________________________ ____． 题型03 判断几何体的截面形状 【例3】（2023·河南信阳·二模）妹妹把一密闭且透明的圆柱形水杯中装一半的水，随意转动水杯，水 面的形状不可能是（ ） ．三角形 B．长方形 ．圆形 D．椭圆 【变式3-1】（2023·江苏南京·校联考三模）在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶按 不同方式放置时，圆柱桶内的水平面不可能呈现出的几何形状是（ ） ．圆面 B．矩形面 ．梯形面 D．椭圆面或部分椭圆面 【变式3-2】（2023·四川成都·统考一模）分别用一平面去截如图所示几何体，能得到截面是矩形的几 何体共有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式3-3】（2023·广东深圳·统考一模）如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过 程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（ ） ．三角形 B．正方形 ．六边形 D．七边形 题型04 判断几何体的展开图 【例4】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）下列图形中，为圆锥的侧面展开图的是（ ） ． B． ． D． 【变式4-1】（2023·湖南长沙·统考三模）如图，是一个几何体的表面展开图，那么这个几何体的名称 是（ ） ．正三棱柱 B．正三棱锥 ．圆柱 D．圆锥 【变式4-2】（2023·江西九江·校考模拟预测）将如图所示的圆锥的侧面展开，则点和点B 在展开图中 的相对位置正确的是（ ） ． B． ． D． 【变式4-3】（2023·北京通州·统考一模）如图，是某一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ） ．五棱锥 B．四棱锥 ．四棱柱 D．三棱柱 【变式4-4】（2023·河北石家庄·统考一模）将如图所示的长方体包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连 在一起，然后铺平，则得到的图形不可能是（ ） ． B． ． D． 题型05 由展开图计算几何体的表面积或体积 【例5】（2023·河北保定·统考二模）张师傅要制作一个无盖长方体玻璃鱼缸，切割出来的几块玻璃的 尺寸如图所示（单位：dm），则其体积为（ ） ．60dm 3 B．72dm 3 ．74 dm 3 D．94 dm 3 【变式5-1】（2023·黑龙江大庆·大庆一中校考模拟预测）如图是某几何体的展开图，则该几何体的体 积为（ ） ．π B．❑ √3 π ． ❑ √3 2 π D． ❑ √3 3 π 【变式5-2】（2022·河北石家庄·统考一模）相同规格（长为14，宽为8）的长方形硬纸板，剪掉阴影 部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，有如图所示的甲、乙两种方，所 得长方体体积分别记为：V 甲和V 乙．下列说法正确的是：（ ） ．V 甲>V 乙 B．V 甲=V 乙 ．V 甲<V 乙 D．无法判断 【变式5-3】（2023·江苏宿迁·统考二模）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AB所在直 线为轴，把△ABC旋转1 周，得到一个几何体，则该几何体的表面积为 ． 【变式5-4】（2023·江苏扬州·统考一模）如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根 据图中标示的长度，此长方体的表面积为 ． 【变式5-5】（2022·贵州贵阳·统考三模）如图，把一个高9dm 的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然 后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了36dm 2．原来 这个圆柱的体积是 dm 3． 题型06 正方体展开图的识别 【例6】（2023·河南周口·校联考三模）下列哪个不是正方体的侧面展开图（ ） ． B． ． D． 【变式6-1】（2023·河南南阳·统考二模）下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（ ） ． B． ． D． 【变式6-2】（2023·江苏南京·统考二模）如图，将左图的正方形纸盒切去一角得到下图，下列选项中， 不能作为纸盒剩余部分的展开图的是（ ） ． B． ． D． 题型07 补一个面使其成为正方体的展开面 【例7】（2022·吉林长春·统考一模）如图，在有序号的小正方形中选出一个，它与图中五个有阴影的 小正方形组合后，不能构成正方体的表面展开图的是（ ） ．① B．② ．③ D．④ 【变式7-1】（2023·浙江·模拟预测）在图中，实线所围成的多边形区域（阴影部分）是由四个全等正 方形拼接而成的．现在若补上图中标有号码的其中一个全等小正方形，则可得到九个多边形区域（每个区 域恰好含有五个全等小正方形），试问这九个多边形区域中，可以折成无盖的正方体容器的个数是（ ） ．3 B．4 ．5 D．6 【变式7-2】（2022·湖北恩施·统考二模）在如图所示的正方形格中，其中阴影部分的5 个小正方形是 一个正方体的表面展开图的一部分．现在从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，则能构成这个正方体的 表面展开图的概率是（ ） ．1 12 B．1 7 ．1 3 D．4 7 【变式7-3】（2022·广东深圳·坪山中学校考模拟预测）如图，方格纸（每个小正方形边长都相同）中5 个白色小正方形已剪掉，在剩余七个小正方形中再剪去1 个正方形，恰好使余下部分能折成一个正方体的 概率是 ． 题型08 正方体相对两面上的字或图 【例8】（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，点P，Q是一正方体展开图上的两个顶点，则顶点P， Q在正方体上的位置标记正确的是（ ） ． B． ． D． 【变式8-1】（2023·河南信阳·校考三模）习近平总书记在党的二十大报告中提出：“新时代十年的伟 大变革，在党史、新中国史、改革开放史、社会主义发展史、中华民族发展史上具有里程碑意义”将 “二”“十”“大”“里”“程”“碑”这六个汉字分别写在某正方体的六个面上，下图是它的一种展开 图，则在原正方体中，与“里”字所在面相对的面上的汉字是（ ） ．十 B．二 ．程 D．碑 【变式8-2】（2023·河南信阳·校考三模）下列正方体的展开图中，每个面上都有一个汉字，则“口” 的对面是“手”的展开图是（ ） ． B． ． D． 【变式8-3】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）有一个正方体，6 个面上分别写有数字1、2、3、4、5、 6，有3 个人从不同的角度观察的结果如图所示． 如果记6 的对面的数字为，2 的对面的数字为b，那么 a+b的值为（ ） ．6 B．7 ．8 D．11 【变式8-4】（2023·山东青岛·统考二模）如图的正方体纸盒，只有三个面上印有图，下面四个平面图 形中，经过折叠能围成此正方体纸盒的是（ ） ． B． ． D． 【变式8-5】（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，已知一个正方体是三个面分别标有〇、◎、※三 种图，则它的展开图可能是（ ） ． B． ． D． 题型09 与七巧板有关的计算 【例9】（2023·江西赣州·统考二模）如图，七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关 于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板．下列由七巧板拼成的表情图中，是轴对称图形的为（ ） ． B． ． D． 【变式9-1】（2023·广东深圳·校考三模）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔 板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图，是一个用七巧 板拼成的装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F 分别在边AB，BC上，三角形①的 边GD在边AD上，则BF BE 的值为（ ） ．1+❑ √2 2 B． ❑ √2 2 ．2+❑ √2 4 D．2+❑ √2 2 【变式9-2】（2023·江西宜春·统考二模）七巧板是我们祖先的一项伟大创造，被兴为“东方魔板”． 在一次“美术制作”活动课上，小明用边长为4 cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板（如图1），并 设计了一幅作品“我跑步，我快乐”创作画（如图2），则创作画中阴影部分的面积是 cm 2． 正方体展开图相对面的确定方法：1）同一行或同一列，间隔一个面的两个面是相对面； 2）“Z”字型图中，两端点处的两个面是相对面 【变式9-3】（2023·陕西宝鸡·统考三模）七巧板是中国民间流传的一种传统智力玩具，它是由等腰直 角三角形，正方形和平行四边形组成的．如图，有一块边长为4 ❑ √2的正方形厚纸板ABCD，做成如图①所 示的一套七巧板(点O为正方形纸板对角线的交点，点E、F分别为AD、CD的中点，¿∥BI，IH ∥CD)， 将图①所示七巧板拼成如图②所示的“鱼形”，则“鱼尾”MN的长为 ． 【变式9-4】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一， 被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图 是一个用七巧板拼成的正方形，且边长为4，那么阴影部分面积为 ． 考点二 直线、射线、线段的相关概念 一、直线、射线、线段的相关概念 直线 射线 线段 概念 直线是几何图形基础，是一个 不做定义的原始概念 直线上一点和它一旁的部分 叫做射线 直线上两点和它们之间的部 分叫做线段 图形 m A B n O A l A B 表示方法 直线B 或直线B 直线m 射线 射线 线段B 线段l 端点个数 无 1 个 2 个 延伸、度 量情况 可向两方无限延伸 不可度量 只能以一方无限延伸 不可度量 不能延伸，可以度量 不同点 线段向一方延伸就成为射线，向两方延伸就成为直线 相同点 都是直的线 直线的性质： 1）直线公理: 经过两点有且只有一条直线，简称：两点确定一条直线； 2）经过一点的直线有无数条，过两点的直线只有一条，过三点就不一定了 两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离 线段的性质：两点的所有连线中，线段最短 简称：两点之间，线段最短 线段的长度比较方法：1)度量法:分别用刻度尺测量线段B、线段D 的长度，再进行比较 2)叠加法:让线段某一段端点重合，比较另一边两端点的位置 线段中点的概念：把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点 题型01 画直线、射线、线段 【例1】（2023·河北廊坊·校考三模）如图，已知A 、B两点，画射线AB，按照上述语句，下列画法正 确的是（ ） ． B． ． D． 【变式1-1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）下列各选项中的射线EF和直线AB能相交的是（ ） ． B． ． D． 【变式1-2】（2023·河北衡水·统考二模）如图，若线段PC与线段OA有一个公共点，则点可以是 （ ） 1 线段的长度可以度量，所以能够比较线段的长短，而且线段的长度是非负数 2 一条线段的中点只有一个 3 某一个点要成为一条线段的中点必须同时满足两个条件： 1）点必须在这条直线上 2）它把这条线段分为两条相等的两条线段 ．点D B．点E ．点Q D．点M 题型02 求直线、线段的数量 【例2】（2023·河北保定·统考二模）如图，点在线段BD上，过，B，，D 中的两点可以画一条直线， 其中过点的直线有（ ） ．2 条 B．3 条 ．4 条 D．5 条 【变式2-1】（2020·浙江杭州·模拟预测）1000m的大道两侧从起点开始每隔10m各种一棵树，相邻两 棵树之间放一盆花，这样需要（ ） ．树200 棵，花200 盆 B．树202 棵，花200 盆 ．树202 棵，花202 盆 D．树200 棵，花202 盆 【变式2-2】（2023·黑龙江大庆·统考一模）哈齐高铁于2015 年开通，是我国目前最北端的高速铁路， 开通8 年时间，方便了千千万万大庆市民出行，也推动了龙江经济发展．从大庆西站到哈尔滨站中间有4 个车站，共有 种票价．（注：拟设每两个城市之间的票价相同） 题型03 求直线相交点的个数 【例3】（2023·安徽蚌埠·校考二模）将一块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为（ ） ．3 B．5 ．7 D．9 【变式3-1】（2022·四川达州·四川省渠县中学校考二模）在平面中，两条直线最多只有1 个交点，三 条直线最多有3 个交点…若条直线最多有325 个交点，则的值为（ ） ．24 B．25 ．26 D．27 【变式3-2】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）2 条直线最多有S1个交点，3 条直线最多有S2个交点，按 照规律依此类推，2023 条直线最多有S2022个