第15讲 几何图形的初步（练习）（解析版）

第15 讲 几何图形的初步 目 录 题型01 判断几何体的截面形状 题型02 判断几何体的展开图 题型03 由展开图计算几何体的表面积或体积 题型04 正方体展开图的识别 题型05 补一个面使其成为正方体的展开面 题型06 正方体相对两面上的字或图 题型07 与七巧板有关的计算 题型08 画直线、射线、线段 题型09 直线的性质 题型10 线段的性质 题型11 与线段中点有关的计算 题型12 两点之间的距离 题型13 度、分、秒的换算 题型14 钟面角的计算 题型15 方向角的表示 题型16 角平分线的相关计算 题型17 求一个角的余角、补角 题型18 与余角、补角有关的计算 题型19 同（等）角的余（补）角相等 题型19 点到直线的距离 题型20 利用对顶角、邻补角的性质求解 题型21 判断同位角、内错角、同旁内角 题型22 利用平行线的判定进行证明 题型23 平行线判定的实际应用 题型24 由平行线的性质求角度 题型25 由平行线的性质解决折叠问题 题型26 平行线的性质在实际生活的应用 题型26 利用平行线的性质解决三角板问题 题型27 根据平行线性质与判定求角度 题型28 根据平行线性质与判定证明 题型01 判断几何体的截面形状 1．（2022·江西萍乡·校考模拟预测）如图所示，将立方体沿△BDC所在平面截取几何体ABCD，则这个 几何体的平面展开图是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】由题意知，几何体ABCD是四面体，且∠BAC=∠DAC=∠BAD=90°，BC=CD=BD，即 可得到答． 【详解】解：由题意知，几何体ABCD是四面体， 且∠BAC=∠DAC=∠BAD=90°，BC=CD=BD， 即几何体的三视图只有选项B 符合， 故选：B． 【点睛】此题考查了几何体的平面展开图，正确理解几何体的组成特点是解题的关键． 2．（2022·四川南充·统考三模）如图，用一个平面去截一个长、宽、高分别为5，4，3 的长方体，当截面 是矩形时，截面周长最大为（ ） ．18 B．20 ．24 D．25 【答】B 【分析】观察长方体可知，当截面（截出的面）的形状是矩形时，它的周长的最大值时长为5，宽为直角 边分别为4、3 的直角三角形的斜边长的矩形，根据矩形周长公式计算即可求解． 【详解】解：由勾股定理得，❑ √4 2+3 2＝5， 则当截面（截出的面）的形状是矩形时，它的周长的最大值是5×4＝20． 故选：B． 【点睛】此题考查了截一个几何体，关键是得到截面周长最大时矩形的长和宽． 3．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据圆锥体的立体图形判断即可． 【详解】用平行底面的平面截圆锥体，截面是圆形， 故选：B． 【点睛】本题考查了截面图形的判断，具有一定的空间想象力是解答本题的关键． 4 如图所示，把一个底面半径是5m，高是8m 的圆柱放在水平桌面上． (1)若用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是 ； (2)若用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面是 ； (3)若用一个平面去截这个圆柱，使截得的截面是长方形且长方形的截面面积最大，请写出截法，并求出此 时截面面积． 【答】(1)圆 (2)长方形 (3)当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时，截得的长方形面积最大，80m2 【分析】（1）根据截的方向可得截面形状； （2）根据截的方向可得截面形状； （3）当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时，截得的长方形面积最大，再根据截面形状求面积即可． 【详解】（1）解：若用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是圆； 故答为：圆； （2）若用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面是长方形； 故答为：长方形； （3）当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时，截得的长方形面积最大， 此时截面的面积为：5×2×8＝80（m2）． 【点睛】本题考查用一个平面去截几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有 关． 题型02 判断几何体的展开图 1．（2021·北京·统考中考真题）如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ） ．长方体 B．圆柱 ．圆锥 D．三棱柱 【答】B 【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项． 【详解】解：由图形可得该几何体是圆柱； 故选B． 【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键． 2．（2021·浙江·统考中考真题）将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然 后铺平，则得到的图形可能是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】依据长方体的展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：、符合长方体的展开图的特点，是长方体的展开图，故此选项符合题意； B、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意； 、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意； D、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图的特点是解题的关键． 3．（2021·江苏扬州·统考中考真题）把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称 是（ ） ．五棱锥 B．五棱柱 ．六棱锥 D．六棱柱 【答】 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：由图可知：折叠后，该几何体的底面是五边形， 则该几何体为五棱锥， 故选． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，掌握各立体图形的展开图的特点是解决此类问题的关键． 4．（2021·浙江绍兴·统考一模）如图，已知圆柱底面的直径BC=8，圆柱的高AB=10，在圆柱的侧面上， 过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． （1）现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． ；B ； ；D （2）求该长度最短的金属丝的长． 【答】（1）；（2）4 ❑ √4 π 2+25 【分析】（1）因圆柱的展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点，根据立体图形的表面展开图 这个特点即可解题； （2）侧面展开后B，C两点之间的距离为1 2 ×π ×8=4 π，A，C两点之间的距离，利用勾股定理可得 AC= ❑ √(4 π ) 2+100，长度最短的金属丝的长=2 AC，即可得到答． 【详解】解：（1）因圆柱的展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点，选项符合要求． 故选． （2）如图： 侧面展开后B，C两点之间的距离为1 2 ×π ×8=4 π， A，C两点之间的距离为AC= ❑ √(4 π ) 2+100=2 ❑ √4 π 2+25， 该长度最短的金属丝的长=2 AC=4 ❑ √4 π 2+25 所以该长度最短的金属丝的长为4 ❑ √4 π 2+25． 【点睛】此题主要考查圆柱的展开图、圆的周长、勾股定理，解答此题的关键是正确掌握圆柱体的展开图． 题型03 由展开图计算几何体的表面积或体积 1．（2023·浙江杭州·统考一模）如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的 长度，求此长方体的体积为 ． 【答】224 【分析】设展开图的长方形的长为，宽为b，根据图示中的相关数据列出方程，求出，b，再根据长方体的 体积求解即可； 【详解】解：设展开图的长方形的长为，宽为b， 则12=3b，2b+a=22， 解得a=14，b=4， ∴长方体的体积为：4×4×14=224． 故答为：224． 【点睛】本题考查了长方体的展开图和长方体体积的计算，弄清展开图中的数据和长方体的长、宽、高之 间的关系是解题的关键． 2．（2022·山东青岛·青岛大学附属中学校考一模）如图，以边长为6❑ √3m 的正六边形纸板的各顶点为端点， 在各边上分别截取4m 长的12 条线段，过截得的12 端点作所在边的垂线，形成6 个有两个直角的四边形． 把它们沿图中虚线减掉，用剩下的纸板折成一个底为正六边的无盖柱形盒子，则它的容积为 m3． 【答】(3096−1728 ❑ √3) 【分析】连接，可得DE，由“L”求证Rt△B≅ Rt△D，继而解直角三角形可得B，根据六边形的面积计算 公式求得无盖柱形盒子的底面积，继而即可求解． 【详解】如图，连接， 由题意知：∠BD=120°， AB=AD=EF=4 cm，AF=6 ❑ √3cm， ∴DE=6 ❑ √3−4−4=(6 ❑ √3−8)cm， ∵∠B=∠D=90°，=， Rt ∴ △B≅ Rt△D（L）， ∴BC=DC，∠B=∠D=1 2∠BD=60°， ∴BC=DC=AB·tan 60°=4×❑ √3=(4 ❑ √3)cm， 由题意知：无盖柱形盒子的底面为以6 ❑ √3−8为边长的正六边形， 其面积为：6× 1 2 × ❑ √3 2 (6 ❑ √3−8)·(6 ❑ √3−8)=(258 ❑ √3−432)m2， ∴盖柱形盒子的容积为：(258 ❑ √3−432)×4 ❑ √3=(3096−1728 ❑ √3) m3， 故答为：(3096−1728 ❑ √3) 【点睛】本题考查正多边形，全等三角形的判定及其性质，正六边形的性质及其面积计算公式，解题的关 键是作辅助线求各关键边的长，灵活运用所需学知识． 3．（2021·辽宁抚顺·统考一模）某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如 图1． （1）由三视图可知，密封纸盒的形状是__________； （2）根据该几何体的三视图，在图2 中补全它的表面展开图； （3）请你根据图1 中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号） 【答】（1）（正）六棱柱；（2）见解析；（3）(75 ❑ √3+360)cm 2 【分析】（1）通过三视图，发挥想象力可以得到答； （2）由（1）得到的答可以得到表面展开图； （3）分别计算出侧面积和上下底面积即可得到答 ． 【详解】解：（1）根据该几何体的三视图知道它是一个（正）六棱柱； （2）由（1）可以得到六棱柱的表面展开图如图： （3）由图中数据可知：六棱柱的高为12cm，底面边长为5cm， ∴六棱柱的侧面积为6×5×12=360(cm 2)． 又∵密封纸盒的底面面积为：2×6× 1 2 ×5× 5 ❑ √3 2 =75 ❑ √3(cm 2)， ∴六棱柱的表面积为：(75 ❑ √3+360)cm 2． 【点睛】本题考查三视图与展开图的综合应用，充分发挥想象力是解题关键． 4．（2020·河北邯郸·校考一模）如图（1）是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的 模型． (1)图（2）是根据，的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在格中画出该几何体的左视图； (2)已知＝4，求的值和该几何体的表面积． 【答】(1)见解析 (2)的值为2❑ √2，该几何体的表面积为16❑ √2＋24． 【分析】（1）根据三视图的画法即可画出该几何体的左视图； （2）根据俯视图和主视图即可求的值，进而可求该几何体的表面积． 【详解】（1）解：如图所示，图中的左视图即为所求； （2）解：根据俯视图和主视图可知： 2＋2＝2＝42， 解得＝2❑ √2， 几何体的表面积为：2＋❑ √2＋1 2 2×2＝16❑ √2＋24． 答：的值为2❑ √2，该几何体的表面积为16❑ √2＋24． 【点睛】本题考查了作图−三视图、几何体的表面积、展开图折叠成几何体，解决本题的关键是理解立体 图形和平面图形之间的关系． 题型04 正方体展开图的识别 1．（2021·广东·统考中考真题）下列图形是正方体展开图的个数为（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】根据正方体的展开图的特征，11 种不同情况进行判断即可． 【详解】解：根据正方体的展开图的特征，只有第2 个图不是正方体的展开图，故四个图中有3 个图是正 方体的展开图． 故选：． 【点睛】考查正方体的展开图的特征，“一线不过四，田凹应弃之”应用比较广泛简洁． 2．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）下列图形中，正方体展开图错误的是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题． 【详解】D 选项出现了“田字形”，折叠后有一行两个面无法折起来，从而缺少面，不能折成正方体，、 B、选项是一个正方体的表面展开图． 故选：D． 【点睛】此题考查了几何体的展开图，只要有“田”“凹”字的展开图都不是正方体的表面展开图． 3．（2021·浙江金华·统考一模）下列哪个图形不可能是正方体的表面展开图（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】正方体的展开图有“1+4+1”型，“2+3+1”型，“3+3”型，“2+2+2”型，其中“1”可以左 右移动，注意“一”、“7”、“田”“凹”字形的都不是正方形的展开图． 【详解】解：根据正方体展开图的特征， 、是正方体的展开图，符合题意； B、是正方体的展开图，不符合题意； 、是正方体的展开图，不符合题意； D、不是正方体的展开图，不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查正方体的平面展开图，掌握正方体的几种不同展开图形状是解决本题的关键． 题型05 补一个面使其成为正方体的展开面 1．（2022·河北承德·统考二模）如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个 正方体，则需剪掉的一个小正方形不可以是（ ） ．① B．② ．③ D．④ 【答】 【分析】根据正方体的11 种展开图的模型即可求解． 【详解】解：把图中的①或②或④剪掉，剩下的图形即为正方体的11 种展开图中的模型， 把图中的③剪掉，剩下的图形不符合正方体的11 种展开图中的模型， 故选：． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，牢记正方体的11 种展开图的模型是解决本题的关键． 2．（2021·河南洛阳·统考二模）如图，在有序号的方格中选出一个画出阴影，使它与图中五个有阴影的正 方形一起可以构成正方体表面的展开图，正确的选法是（ ） ．只有② B．只有①④ ．只有①②④ D．①②③④都正确 【答】 【分析】观察所给图形，根据序号的顺序画出平面图，结合正方体的平面展开图的特点，逐一加以识别即 可． 【详解】解：补序号的位置图如图所示： ∴只有②符合正方体的平面展开图的特征． 故选： 【点睛】本题考查了正方体的平面展开图的知识点，熟知正方体的平面展开图是解题的关键． 3．（2021·浙江杭州·一模）已知图1 的小正方形和图2 中所有的小正方形都全等，将图1 的小正方形安放 在图2 中的①、②、③、④的其中某一个位置，放置后所组成的图形是不能围成一个正方体的．那么安放 的位置是（ ） ．① B．② ．③ D．④ 【答】 【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题． 【详解】解：将图1 的正方形放在图2 中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体． 故选：． 【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意： 只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图． 题型06 正方体相对两面上的字或图 1．（2021·河北唐山·统考三模）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互 为相反数．则 （1）x的值为 ； （2）x 2−y的值为 ． 【答】 3 12 【分析】（1）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据相对面上 的数字互为相反数列式，即可求出x、y 的值， （2）把x，y 的值代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：（1）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“-3”与“2x−3”是相对面， “y”与“x”是相对面， ∵相对的面上的数字或代数式互为相反数， 2 ∴x−3＋（-3）＝0，x＋y＝0， 解得x＝3，y＝-3， 故答是：3； （2）当x＝3，y＝-3 时，x 2−y=3 2−(−3)=12， 故答是：12． 【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，二元一次方程组以及代数式求值，注意正方体的空 间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 2．（2022·陕西宝鸡·统考模拟预测）如图是正方体的一种展开图，则原正方体中与“真”所在面的对面所 标的字是 ． 【答】强 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】由正方体展开图的特点可知：“学”与“国”相对，“习”与“好”相对，“真”与“强”相对， 故答为：强 【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体的11 种展开图是本题的解题关键 3．（2021·河北唐山·统考一模）如图是一个正方体纸盒的表面展开图，纸盒中相对两个面上的数互为相反 数． −3 2 b −1 （1）填空：a=¿______，b=¿_______，c=¿_______； （2）将2a(a−b)+b(2a−b−c)化简，并代入求值． 【答】（1）1，3，-2；（2）2a 2−b 2−bc，-1 【分析】（1）与﹣1 相对，2 与相对，b 与﹣3 相对．由于相对两个面上的数互为相反数，可得，b，的值． （2）先根据整式的乘法进行化简，再把，b，代入计算即可 【详解】解：（1）由题意，与﹣1 相对，2 与相对，b 与﹣3 相对． ∵相对两个面上的数互为相反数数， ∴＝1，b=3，=-2． 故答为：1，3，-2；． （2）原式¿2a 2−2ab+2ab−b 2−bc ¿2a 2−b 2−bc 将a=1,b=3, c=−2时， 原式¿2×1 2−3 2−3×(−2) ¿2−9+6=−1． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值以及正方形侧面展开图的应用．利用去括号的法则进 行整式的加减是解题的关键． 4．（2021·河北邢台·统考一模）把如图所示的正方形展开，得到的平面展开图可以是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断． 【详解】解：将正方形展开并标上顶点可得如下图所示： 其中C1与相接，B1与B 相接，D1与D 相接，A1与相接，B1 '与B '相接，D1 '与D '相接 故和选项B 符合 故选：B． 【点睛】本题考查了正方体的表面展开图及空间想象能力，易错易混点：学生对相关图的位置想象不准确， 从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题． 5．（2022·河南洛阳·统考三模）如图是一个正方体，下列哪个选项是它的展开图（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据所给立体图形对展开图进行想象解可