第15讲 几何图形的初步（练习）（原卷版）

第15 讲 几何图形的初步 目 录 题型01 判断几何体的截面形状 题型02 判断几何体的展开图 题型03 由展开图计算几何体的表面积或体积 题型04 正方体展开图的识别 题型05 补一个面使其成为正方体的展开面 题型06 正方体相对两面上的字或图 题型07 与七巧板有关的计算 题型08 画直线、射线、线段 题型09 直线的性质 题型10 线段的性质 题型11 与线段中点有关的计算 题型12 两点之间的距离 题型13 度、分、秒的换算 题型14 钟面角的计算 题型15 方向角的表示 题型16 角平分线的相关计算 题型17 求一个角的余角、补角 题型18 与余角、补角有关的计算 题型19 同（等）角的余（补）角相等 题型19 点到直线的距离 题型20 利用对顶角、邻补角的性质求解 题型21 判断同位角、内错角、同旁内角 题型22 利用平行线的判定进行证明 题型23 平行线判定的实际应用 题型24 由平行线的性质求角度 题型25 由平行线的性质解决折叠问题 题型26 平行线的性质在实际生活的应用 题型26 利用平行线的性质解决三角板问题 题型27 根据平行线性质与判定求角度 题型28 根据平行线性质与判定证明 题型01 判断几何体的截面形状 1．（2022·江西萍乡·校考模拟预测）如图所示，将立方体沿△BDC所在平面截取几何体ABCD，则这个 几何体的平面展开图是（ ） ． B． ． D． 2．（2022·四川南充·统考三模）如图，用一个平面去截一个长、宽、高分别为5，4，3 的长方体，当截面 是矩形时，截面周长最大为（ ） ．18 B．20 ．24 D．25 3．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（ ） ． B． ． D． 4 如图所示，把一个底面半径是5m，高是8m 的圆柱放在水平桌面上． (1)若用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是 ； (2)若用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面是 ； (3)若用一个平面去截这个圆柱，使截得的截面是长方形且长方形的截面面积最大，请写出截法，并求出此 时截面面积． 题型02 判断几何体的展开图 1．（2021·北京·统考中考真题）如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ） ．长方体 B．圆柱 ．圆锥 D．三棱柱 2．（2021·浙江·统考中考真题）将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然 后铺平，则得到的图形可能是（ ） ． B． ． D． 3．（2021·江苏扬州·统考中考真题）把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称 是（ ） ．五棱锥 B．五棱柱 ．六棱锥 D．六棱柱 4．（2021·浙江绍兴·统考一模）如图，已知圆柱底面的直径BC=8，圆柱的高AB=10，在圆柱的侧面上， 过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． （1）现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． ；B ； ；D （2）求该长度最短的金属丝的长． 题型03 由展开图计算几何体的表面积或体积 1．（2023·浙江杭州·统考一模）如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的 长度，求此长方体的体积为 ． 2．（2022·山东青岛·青岛大学附属中学校考一模）如图，以边长为6❑ √3m 的正六边形纸板的各顶点为端点， 在各边上分别截取4m 长的12 条线段，过截得的12 端点作所在边的垂线，形成6 个有两个直角的四边形． 把它们沿图中虚线减掉，用剩下的纸板折成一个底为正六边的无盖柱形盒子，则它的容积为 m3． 3．（2021·辽宁抚顺·统考一模）某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如 图1． （1）由三视图可知，密封纸盒的形状是__________； （2）根据该几何体的三视图，在图2 中补全它的表面展开图； （3）请你根据图1 中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号） 4．（2020·河北邯郸·校考一模）如图（1）是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的 模型． (1)图（2）是根据，的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在格中画出该几何体的左视图； (2)已知＝4，求的值和该几何体的表面积． 题型04 正方体展开图的识别 1．（2021·广东·统考中考真题）下列图形是正方体展开图的个数为（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 2．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）下列图形中，正方体展开图错误的是（ ） ． B． ． D． 3．（2021·浙江金华·统考一模）下列哪个图形不可能是正方体的表面展开图（ ） ． B． ． D． 题型05 补一个面使其成为正方体的展开面 1．（2022·河北承德·统考二模）如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个 正方体，则需剪掉的一个小正方形不可以是（ ） ．① B．② ．③ D．④ 2．（2021·河南洛阳·统考二模）如图，在有序号的方格中选出一个画出阴影，使它与图中五个有阴影的正 方形一起可以构成正方体表面的展开图，正确的选法是（ ） ．只有② B．只有①④ ．只有①②④ D．①②③④都正确 3．（2021·浙江杭州·一模）已知图1 的小正方形和图2 中所有的小正方形都全等，将图1 的小正方形安放 在图2 中的①、②、③、④的其中某一个位置，放置后所组成的图形是不能围成一个正方体的．那么安放 的位置是（ ） ．① B．② ．③ D．④ 题型06 正方体相对两面上的字或图 1．（2021·河北唐山·统考三模）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互 为相反数．则 （1）x的值为 ； （2）x 2−y的值为 ． 2．（2022·陕西宝鸡·统考模拟预测）如图是正方体的一种展开图，则原正方体中与“真”所在面的对面所 标的字是 ． 3．（2021·河北唐山·统考一模）如图是一个正方体纸盒的表面展开图，纸盒中相对两个面上的数互为相反 数． −3 2 b −1 （1）填空：a=¿______，b=¿_______，c=¿_______； （2）将2a(a−b)+b(2a−b−c)化简，并代入求值． 4．（2021·河北邢台·统考一模）把如图所示的正方形展开，得到的平面展开图可以是（ ） ． B． ． D． 5．（2022·河南洛阳·统考三模）如图是一个正方体，下列哪个选项是它的展开图（ ） ． B． ． D． 6．（2021·吉林长春·东北师大附中校考二模）将一个小正方体按图中所示的方式展开，则在展开图中表示 棱的线段可以是（ ） ．线段CD B．线段EF ．线段AD D．线段BC 题型07 与七巧板有关的计算 1．（2020·浙江湖州·统考中考真题）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2 的 正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1 所示．分别用这两副七巧板试拼如图2 中的平 行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（ ） ．1 和1 B．1 和2 ．2 和1 D．2 和2 2．（2022·江西赣州·统考三模）七巧板是由可以错综分合的几何图演化而来，它是一种拼板玩具，体现了 我国古代劳动人民的智慧，如图1，将一块正方形薄板分为7 块，其中包括5 块大小不等的三角形，1 块正 方形和1 块平行四边形，图2 是由图1 拼成的风车形状，则下列等式错误的是（ ） ．S5+S7=S2 B．2S6=S3 ．S7=1 3 S1 D．S7=S3 3．（2021·浙江金华·统考三模）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，下列四幅图是爱思考的小红同学用如 图所示的七巧板拼成的，则这四个图形的周长从大到小排列正确的是（ ） ．乙＞丙＞甲＞丁 B．乙＞甲＞丙＞丁 ．丙＞乙＞甲＞丁 D．丙＞乙＞丁＞甲 4．（2022·湖南株洲·统考二模）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割 术，经历代演变而成七巧板，也被誉为“东方魔板”．19 世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中 国的拼图”）．图①是由边长为8m 的正方形薄板分为7 块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板” 拼成的一个“家”的图形．该“七巧板”中7 块图形之一的正方形（阴影部分）面积为 cm 2． 5．（2022·陕西西安·校考二模）如图（1）是边长为8m 的正方形纸片做成的七巧板，用这副七巧板拼成图 （2）所示的房屋形状，则该房屋形状的面积是 m2． 6．（2020·湖北黄石·校考模拟预测）动手做一做：某校具制作车间有等腰三角形正方形、平行四边形的塑 料若干，数学兴趣小组的同学利用其中7 块恰好拼成一个矩形（如图1），后来又用它们拼出了XYZ 等字 母模型（如图2、图3、图4），每个塑料板保持图1 的标号不变，请你参与： （1）将图2 中每块塑料板对应的标号填上去； （2）图3 中，只画出了标号7 的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6 块塑料板， 并填上标号； （3）在图4 中，找出7 块塑料板，并填上标号． 题型08 画直线、射线、线段 1．（2022·河北秦皇岛·统考一模）如图，∠AOB的一边B 经过的点是（ ） ．P 点 B．Q 点 ．M 点 D．点 2．（2022·河北邢台·校考三模）如图，已知A，B，C三点，画直线AB，画射线AC，连接BC，按照上 述语句画图，下列正确的是（ ） ． B． ． D． 3．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，已知平面上四个点A ,B ,C , D，按下列要求画出图形： （1）画线段BD和线段BD的延长线； （2）线段AC和线段DB相交于点O； （3）连结线段BC，反向延长线段BC． 题型09 直线的性质 1．（2022·广东深圳·模拟预测）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知 识，说法正确的是( ) ．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分” B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形” ．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线” D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等” 2．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，锯木板前，在木板两端固定两个点，用墨盒弹一根墨线然后再锯， 这样做的数学道理是（ ） ．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 题型10 线段的性质 1．（2022·江苏扬州·统考一模）下列三个日常现象： 其中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是（ ） ．① B．② ．③ D．②③ 2．（2021·浙江台州·统考中考真题）小光准备从地去往B 地，打开导航、显示两地距离为377km，但导航 提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ） ．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 ．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线 3．（2023·北京海淀·统考一模）在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在MN上选 取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方中，使用电缆材料最少的是（ ） ． B． ． D． 题型11 与线段中点有关的计算 1．（2023·浙江·模拟预测）如图，，B 两地相距1200m，小车从地出发，以8m/s 的速度向B 地行驶，中途 在地停靠3 分钟．大货车从B 地出发，以5m/s 的速度向地行驶，途经D 地（在地与地之间）时沿原路返回 B 点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至点．已知： AC=3 BC ，CD=100m，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 2．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，数轴上的三个点，B，分别表示实数，b，． (1)如果点是AB的中点，那么，b，之间的数量关系是__________， (2)比较b−2与c+1的大小，并说明理由； (3)化简：−¿a−2∨+¿b+1∨+¿c∨¿． 3．（2023·山西太原·山西大附中校考模拟预测）已知线段a、b、c． (1)用直尺和圆规作出一条线段AB，使它等于a+c−b．（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕 迹） (2)若a=6，b=4，c=7，点C是线段AB的中点，求AC的长． 4．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图，已知数轴上点A，B对应的数为−5，1，点C为AB的中点， 点P为数轴上任意一点，且对应的数为m． (1)若点P为原点，在图中标出点P的位置，并直接写出点C对应的数； (2)若点P在B的右侧且满足AP=3 PB，求−5，1与m这三个数的和． 题型12 两点之间的距离 1．（2020·河北唐山·统考一模）A、B、C、D四个车站的位置如图所示． （1）A、D两站的距离为_________； （2）C、D两站的距离为__________； （3）若a=3，C为AD的中点，求b的值． 2．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图所示，M 是线段B 上一定点，AB=12cm，，D 两点分别从点M，B 出发以1cm/s，2cm/s的速度沿直线B 向左运动，运动方向如箭头所示（点在线段M 上，点D 在线段BM 上）． （1）当点，D 运动了2s时，求AC+MD的值． （2）若点，D 运时，总有MD=2 AC，则AM=¿_______． （3）在（2）的条件下，是直线B 上一点，且AN−BN=MN，求MN AB 的值． 3．（2020·河北·统考模拟预测）如图，在数轴上有，B 两点，点在点B 的左侧．已知点B 对应的数为2， 点对应的数为． （1）若＝﹣1，则线段B 的长为 ； （2）若点到原点的距离为3，且在点的左侧，B﹣＝4，求的值． 4．（2021·河北邯郸·一模）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点，B，把数轴分成①②③④四部 分，点，B，对应的数分别是，b，，已知b＜0． (1)请直接写出原点在第几部分； (2)若＝5，B＝3，b＝﹣1，求； (3)若点表示数3，数轴上一点D 表示的数为d，当点、原点、点D 这三点中其中一点是另外两点的中点时， 直接写出d 的值． 题型13 度、分、秒的换算 1．（2021·内蒙古呼伦贝尔·统考中考真题）74°19 '30 ″=¿ °． 2（2023·江苏盐城·校考一模）已知∠A=65°30 '，则∠A的补角¿ °． 3．（2020·浙江湖州·统考模拟预测）计算：40° 15°30′ ﹣ ＝ ． 题型14 钟面角的计算 1．（2019·广西梧州·统考中考真题）如图，钟表上10 点整时，时针与分针所成的角是（ ） ．30° B．60° ．90° D．120° 2．（2022·安徽安庆·统考二模）如图表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点，且 当钟面显示3 点 30 分时，分针垂直于桌面，点距桌面的高度为10 厘米，如图① 若此钟面显示3 点45 分 时，点距桌面的高度为18 厘米，如图② 则钟面显示3 点50 分时，点距桌面的高度为（ ）厘米 ．22−3 ❑ √3 B．16+π ．22 D．18+4 ❑ √3 3．（2018·山东德州·校联考一模）在下列时间段内时钟的时针和分针会出现重合的是（ ） ．5：20-5：26 B．5：26-5：27 ．5：27-5：28 D．5：28-5：29 题型15 方向角的表示 1．（2022·河北石家庄·统考一模）如图，嘉琪从点出发，沿正东方向前进5m 后向左转30°，再前进5m 后 又向左转30°，这样一直走下去．以下说法错误的是（ ） ．第二次左转后行走的方向是北偏东30° B．第六次左转后行走的方向是正西方向 ．第八次左转后行走的方向是南偏西60° D．嘉琪第一次回到点时，一共走了60m 2．（2022·河北石家庄·校考一模），B，三地两两的距离如图所示，B 地在地的正西方向，下面说法不正 确的是（ ） ．地在B 地的正北方向上 B．地在B 地的正东方向上 ．地在地的北偏西60°方向上 D．地在地的南偏东30°方向上 3．（2023·河北秦皇岛·统考二模）如图，有A ,B ,C三地，B地在A地北偏西36°方向上，AB⊥BC，则 B地在C地的（ ） ．北偏西54°方向 B．北偏东54°方向 ．南偏西54°方向 D．南偏西90°方向 题型16 角平分线的相关计算 1．（2021·山东济南·统考中考真题）如图，AB // CD，∠A=30°，DA平分∠CDE，则∠DEB的度数 为（ ） ．45° B．60° ．75° D．80° 2．（2020·四川乐山·中考真题）如图，E是直线CA上一点，∠FEA=40°，射线EB平分∠CEF， ¿⊥EF．则∠GEB=¿（ ） ．10° B．20° ．30° D．40° 3．（2018·四川南充·统考一模）如图，已知是∠B 内部任意的一条射线，M、分别是∠、∠B 的平分线． (1)若∠M＝20°，∠B＝30°，求∠M 的度数； (2)若∠B＝α，求∠M 的度数． 4．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知O是直线AB上一点，将一个直角三角尺OMN按图①方式放置，直角 边ON在直线AB上，另一条直角边OM与AB的夹角∠AOM=90°，射线OC在∠AOM内部． （1）如图②，将三角尺OMN绕着点O顺时针旋转，当OM平分∠BOC时，试判断∠AON与∠CON的 大小关系，并说明理由． （2）若∠AOC=60°，三角尺OMN绕点O顺时针旋转一周，每秒旋转5°，旋转时间为t，则当t为何值 时∠CON=∠MOB？ （3）在（2）的条件下，在三角尺OMN绕点O顺时针旋转一周的过程中，∠CON +∠MOB的值能否为 定值？若能，求t的取值范围． 题型17 求一个角的余角、补角 1．（2021·广西百色·统考中考真题）已知∠α＝25°30′，则它的余角为（ ） ．25°30′ B．64°30′ ．74°30′ D．154°30′ 2．（2019·甘肃兰州·一模）一个角的补角是150°，则这个角的余角等于（ ） ．30° B．40° ．50° D．60° 3．（2022·广东东莞·东莞市东城实验中学校联考一模）若一个角的余角是25°，那么这个角的度数是 ． 4．（2022·江苏苏州·苏州中学校考二模）（1）已知∠α=35°19′，则∠α 的余角等于 ； （