专题01 特殊平行四边形的三种几何变换问题（原卷版）

专题01 特殊平行四边形的三种几何变换问题 类型一、翻折问题 例1．（几何翻折）实践操作 在矩形 中， ， ，现将纸片折叠，点 的对应点记为点 ，折痕为 （点 、 是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 初步思考 （1）若点 落在矩形 的边 上（如图①）． ①当点 与点 重合时， ；当点 与点 重合时， ； ②当点 在 上，点 在 上时（如图②），求证：四边形 为菱形，并直接写 出当 时的菱形 的边长． 深入探究 （2）若点 落在矩形 的内部（如图③），且点 、 分别在 、 边上，请直 接写出 的最小值． 拓展延伸 （3）若点 与点 重合，点 在 上，射线 与射线 交于点 （如图④）．在各 种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段 与线段 的长度相等？若存在， 请直接写出线段 的长度；若不存在，请说明理由． 例2．（与函数结合）如图1，将矩形 放置于第一象限，使其顶点位于原点，且点 B，分别位于x 轴，y 轴上．若 满足 ． (1)求点的坐标； (2)取 中点M，连接 ， 与 关于 所在直线对称，连接 并延长， 交x 轴于点P． ①求 的长； ②如图2，点D 位于线段 上，且 ．点E 为平面内一动点，满足 ，连 接 ．请你求出线段 长度的最大值． 【变式训练1】综合与实践 动手操作： 第一步：如图①，将矩形纸片 沿过点的直线折叠，使得点，点D 都落在 边上， 此时，点与点D 重合，记为E，折痕分别为 、 ，如图②； 第二步：再沿过点的直线折叠，使得直线 与直线 重合，且、E、三点在同一条直线 上，折痕分别为 、 ，如图③； 第三步：在图③的基础上继续折叠，使 与 重合，得到图④，展开铺平，连接 ， 交于点，如图⑤，图中的虚线为折痕． 问题解决： (1)在图⑤中， 的度数是 ； (2)在图⑤中，请判断四边形 的形状，并说明理由； (3)试判断线段 与 的数量关系，并证明； (4)若 ，则 的长是 ．（提示： ） 【变式训练2】综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折正方形纸片，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平； 操作二：在 上选一点，沿 折叠，使点B 落在 上的点G 处，得到折痕 ，把纸 片展平； 根据以上操作，直接写出图1 中 的度数：______； (2)拓展应用 小华在以上操作的基础上，继续探究，延长 交 于点M，连接 交 于点（如图 2）．判断 的形状，并说明理由； (3)迁移探究 如图3，已知正方形 的边长为6m，当点是边 的三等分点时，把 沿 翻折 得 ，延长 交 于点M，请直接写出 的长． 【变式训练3】综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平，连接 ； 操作二：在 上选一点P，沿 折叠，使点落在矩形内部点M 处，把纸片展平，连接 ． 根据以上操作，请判断图1 中 是什么特殊三角形？答：＿＿＿＿． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片 按照（1）中的方式操作，并延长 交 于点Q，连接 ． ①如图2，当点M 在 上时， ______ ， ______ ； ②改变点P 在 上的位置（点P 不与点，D 重合），如图3，判断 与 的数 量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片 的边长为 ，当 时，直接写出 的 长． 类型二、旋转问题 例1．（线段旋转）把两个全等的矩形 和矩形 拼成如图1 的图，则 __ ____ ； 【迁移应用】如图2，在正方形 中， 是 边上一点（不与点 ， 重合），连接 ，将 绕点 顺时针旋转 至 ，作射线 交 的延长线于点 ，求证： ； 【拓展延伸】在菱形 中， ， 是 边上一点（不与点 ， 重合），连 接 ，将 绕点 顺时针旋转 至 ，作射线 交 的延长线于点 ． ①线段 与 的数量关系是_____________________． ②若 ， 是 的三等分点，则 的面积为____________________． 例2．（图形旋转）（1）如图1，正方形 的对角线相交于点 ，点 又是正方形 的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形 为两个正方形重叠部 分．正方形 可绕点 转动．则下列结论正确的是________________（填序号即 可）． ① ；② ；③四边形 的面积总等于 ；④连接 ， 总有 ． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形 的中心 是矩形 的一个顶点， 与边 相交于点 ， 与边 相交于点 ，连接 ，矩形 可绕着点 旋转，猜想 之间 的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在 中， ， ，直角 的顶点 在 边 的中点处，它的两条边 和 分别与直线 ， 相交于点 ， 可绕 着点 旋转，当 时，求线段 的长度． 类型三、平移问题 例1．（线段的平移）已知正方形 ，点 ， 分别在射线 ，射线 上， ， 与 交于点 ． (1)如图1，当点 ， 分别在线段 ， 上时，求证： ，且 ； (2)如图2，当点 在线段 延长线上时，将线段 沿 平移至 ，连接 ． ①依题意将图2 补全； ②用等式表示线段 ， 和 之间的数量关系，并证明． 例2．（图形的平移）平行四边形 中， 于 ，且 ． (1)如图1，若 ，求平行四边形 的面积． (2)如图2，连接 ，过作 交 于 ，在 上截取 ，连接 ，点 为 中点，连接 ，求证： ． (3)如图3，连接 ，把 沿直线 方向平移，得到 ，若 ， ，请直接写出平移过程中 的最小值． 【变式训练1】（1）如图1，正方形 的对角线相交于点 ，点 又是正方形 的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形 为两个正方形重叠部分．正 方形 可绕点 转动．则下列结论正确的是________________（填序号即可）． ① ；② ；③四边形 的面积总等于 ；④连接 ， 总有 ． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形 的中心 是矩形 的一个顶点， 与边 相交于点 ， 与边 相交于点 ，连接 ，矩形 可绕着点 旋转，猜想 之间 的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在 中， ， ，直角 的顶点 在 边 的中点处，它的两条边 和 分别与直线 ， 相交于点 ， 可绕 着点 旋转，当 时，求线段 的长度． 【变式训练2】已知：如图①，在矩形 中， ，垂足是 点 是点 关于 的对称点，连接 ． （1）求 和 的长； （2）若将 沿着射线 方向平移，设平移的距离为 (平移距离指点 沿 方向所 经过的线段长度)．当点 分别平移到线段 上时，直接写出相应的 的值． （3）如图②，将 绕点 顺时针旋转一个角 ，记旋转中 为 ，在旋转过程中，设 所在的直线与直线 交于点 ，与直线 交于点 ． 是否存在这样的 两点，使 为等腰三角形？若存在，求出此时 的长；若不 存在，请说明理由． 课后训练 1． (1)操作判断 如图1，在 中， ， ，点E 在 上（且不与点、重 合）在 的外部作 ，使 ， ，连接 ，过点B 作 ，过点D 作 ， 交 于点F，连接 ． 根据以上操作，判断：四边形 的形状是 ；三角形 的形状是 ； (2)迁移探究明明同学所在的“认真•坚持”学习小组“异想天开”，将 绕点逆时针 旋转，如图2，当点E 落在线段 上时，请你： ①求证：四边形 的是矩形； ②连接 若 ，求 的长； (3)拓展应用亮亮同学所在的“感恩•责任”学习小组受此启发，将 绕点继续逆时针 旋转，能使四边形 为菱形，若 ，请你直接写出线段 的长． 2 已知，四边形 是正方形， 绕点D 旋转（ ）， ， ，连接 ． (1)如图1，求证： ； (2)直线 与 相交于点G． ①如图2， 于点M， 于点，在 旋转的过程中， 的大小是 否发生变化，请说明理由． ②如图3，连接BG，若 ， ，直接写出在 旋转的过程中，线段 长度 的最小值． 3．【发现与证明】把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现其中有许多结论： 中， ，将△B 沿翻折至 ，D 与 交于E，连接 ，不难发现新 图形中有两个等腰三角形． (1)请利用图1 证明 是等腰三角形： (2)【应用与探究】如图1，已知： ，若 ，∠求：∠B 的度数； (3)如图2，已知： ， ， ， 与边D 相交于点E，求 的面积．