专题60 二次函数背景下的特殊平行四边形存在性问题（原卷版）(1)

要求证平行四边形的存在，得先了解平行四边形的性质： （1）对应边平行且相等 （2）对角线互相平分． 这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中： （1）对边平行且相等可转化为： ， 可以理解为点B 移动到点，点移动到点D，移动路径完全相同． yD-yC xD-xC yA-yB xA-xB A B C D （2）对角线互相平分转化为： ，可以理解为的中点也是BD 的中点． D C B A 【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一： ， → ． 当和BD 为对角线时，结果可简记为： （各个点对应的横纵坐标相加） 以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有 一问：若坐标系中的4 个点、B、、D 满足“+=B+D”，则四边形BD 是否一定为平行四边 形？ 模型介绍 反例如下： A B C D M 之所以存在反例是因为“四边形BD 是平行四边形”与“、BD 中点是同一个点”并不是完 全等价的转化，故存在反例． 虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论： （1）四边形BD 是平行四边形：、BD 一定是对角线． （2）以、B、、D 四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论． 【题型分类】 1．三定一动 已知（1，2）B（5，3）（3，5），在坐标系内确定点D 使得以、B、、D 四个点为顶点的 四边形是平行四边形． A B C x y O D3 D2 D1 O y x C B A 思路1：利用对角线互相平分，分类讨论： 设D 点坐标为（m，），又（1，2）B（5，3）（3，5），可得： （1）B 为对角线时， ，可得 ； （2）为对角线时， ，解得 ； （3）B 为对角线时， ，解得 ． 当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可． 比如： ， ， ．（此处特指点的横纵坐标相加减） 2 两定两动 已知（1，1）、B（3，2），点在x 轴上，点D 在y 轴上，且以、B、、D 为顶点的四边形 是平行四边形，求、D 坐标． B A O y x 【分析】 设点坐标为（m，0），D 点坐标为（0，），又（1，1）、B（3，2）． （1）当B 为对角线时， ，解得 ，故（4，0）、D（0，3）； （2）当为对角线时， ，解得 ，故（2，0）、D（0，-1）； （3）当D 为对角线时， ，解得 ，故（-2，0）、D（0，1）． D C D C C D B A O y x B A O y x x y O A B 【动点综述】 “三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平 面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有 一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”． 从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4 个点坐标． 若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2． 找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能 有2 个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质： （1）对边平行且相等； （2）对角线互相平分． 但此两个性质统一成一个等式： ， 两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多 只能存在2 个未知量． 由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题． 考点一：二次函数背景下的平行四边形存在性问题 【例1】．如图，抛物线y＝x2+bx+6 与x 轴交于（2，0），B（﹣6，0）两点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P 是抛物线上一点，点Q 是抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使得以B、 Q、、P 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说 明理由． 变式训练 【变1-1】．如图所示，在平面直角坐标系xy 中，抛物线y＝（m 1 ﹣）x2﹣（3m 4 ﹣）x 3 ﹣ 与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，抛物线的对称轴是经过（1，0）且与y 轴平行的 直线，点P 是抛物线上的一点，点Q 是y 轴上一点； 例题精讲 （1）求抛物线的函数关系式； （2）若以、B、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标； （3）若t∠PB＝ ，求点P 的坐标． 考点二：二次函数背景下的菱形存在性问题 【例2】．如图，抛物线y＝x2+bx+3 交x 轴于（3，0），B（﹣1，0）两点，交y 轴于点， 动点P 在抛物线的对称轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）当以P，B，为顶点的三角形周长最小时，求点P 的坐标及△PB 的周长； （3）若点Q 是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以，，P，Q 为顶点 的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明 理由． 变式训练 【变2-1】．如图，抛物线y＝x2+bx 1 ﹣（≠0）交x 轴于，B（1，0）两点，交y 轴于点， 一次函数y＝x+3 的图象交坐标轴于，D 两点，E 为直线D 上一点，作EF⊥x 轴，交抛物 线于点F （1）求抛物线的解析式； （2）若点F 位于直线D 的下方，请问线段EF 是否有最大值？若有，求出最大值并求 出点E 的坐标；若没有，请说明理由； （3）在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，为顶点的四边形为菱形，请直接 写出点G 的坐标． 考点三：二次函数背景下的矩形存在性问题 【例3】．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2x+（≠0）与x 轴交于点、B，与y 轴交于点， 连接B，＝1，对称轴为直线x＝2，点D 为此抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上、D 两点之间的距离是 ； （3）点E 是第一象限内抛物线上的动点，连接BE 和E，求△BE 面积的最大值； （4）点P 在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、、P、Q 为顶点的四边形为 矩形，请直接写出点Q 的坐标． 变式训练 【变3-1】．如图1，若二次函数y＝﹣x2+3x+4 的图象与x 轴交于点、B，与y 轴交于点， 连接、B． （1）求三角形B 的面积； （2）若点P 是抛物线在一象限内B 上方一动点，连接PB、P，是否存在点P，使四边 形BP 的面积为18，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）如图2，若点Q 是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、、Q、K 为顶点，B 为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K 的坐标；若不存在，请说明 理由． 考点四：二次函数背景下的正方形存在性问题 【例4】．已知为坐标原点，抛物线y＝x2 3 ﹣x 4 ﹣与x 轴交于，B 两点（点在点B 的右 侧），有点（﹣2，6）． （1）求，B 两点的坐标． （2）若点D（1，﹣3），点E 在线段上，且∠B＝∠DE，延长ED 交y 轴于点F，求△EF 的面积． （3）若M 在直线上，点Q 在抛物线上，是否存在点M 和点，使以Q，M，，为顶点的 四边形是正方形？若存在，直接写出M 点的坐标．若不存在，请说明理由． 变式训练 【变4-1】．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+经过（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y 轴交于 点，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x 轴于点E，连接BD． （1）求经过，B，三点的抛物线的函数表达式； （2）点Q 在该抛物线的对称轴上，若△BQ 是以B 为直角边的直角三角形，求点Q 的坐 标； （3）若P 为BD 的中点，过点P 作PF⊥x 轴于点F，G 为抛物线上一动点，M 为x 轴上 一动点，为直线PF 上一动点，当以F、M、、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标． 1．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx 4 ﹣交x 轴于，B 两点，交y 轴于点，且＝ 2＝8B，点P 是第三象限内抛物线上的一动点，连接，过点P 作PE∥y 轴，与交于点E． （1）求此抛物线的解析式； （2）当P∥B 时，求点P 的坐标； （3）用含x 的代数式表示PE 的长，并求出当PE 的长取最大值时对应的点P 的坐标； （4）在（3）的条件下，平面内是否存在点Q，使以、P、、Q 为顶点的四边形是平行 四边形，若存在，直接写出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，二次函数y＝x2+bx+的图象交x 轴于点（﹣3，0），B（1，0），交y 轴于点 ． 点P（m，0）是x 轴上的一动点，PM⊥x 轴，交直线于点M，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）①若点P 仅在线段上运动，如图，求线段M 的最大值； ②若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q，使以M，，，Q 为顶点的四边形为 菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线y＝x2+2x+的对称轴是直线x＝1，与x 轴交于点，B（3，0），与y 轴交于 点，连接． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知点D 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D 作DM⊥x 轴，垂足为点M， DM 交直线B 于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若 存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）已知点E 是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、、E、 F 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1，在平面直角坐标系xy 中，抛物线：y＝﹣ x2+bx+与x 轴相交于，B 两点，顶点 为D，其中（﹣4 ，0），B（4 ，0），设点F（m，0）是x 轴的正半轴上一点， 将抛物线绕点F 旋转180°，得到新的抛物线'． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若抛物线'与抛物线在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围； （3）如图2，P 是第一象限内抛物线上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物 线'上的对应点P'，设M 是上的动点，是'上的动点，试探究四边形PMP'能否成为正方形？ 若能，求出m 的值；若不能，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx 4 ﹣（≠0）与x 轴交于点（﹣1，0），B （4，0），与y 轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）直线l 为该抛物线的对称轴，点D 与点关于直线l 对称，点F 为直线D 下方抛物线 上一动点，连接F，FD，求△FD 面积的最大值； （3）在（2）的条件下，将抛物线y＝x2+bx 4 ﹣（≠0）沿射线D 平移4 个单位，得到 新的抛物线y1，点E 为点F 的对应点，点P 为y1的对称轴上任意一点，在y1上确定一点 Q，使得以点D，E，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的 点Q 的坐标． 6．如图，直线y＝﹣x+4 分别交x 轴、y 轴于、两点，抛物线y＝﹣x2+mx+4 经过点，且与x 轴的另一个交点为点B．连接B，过点作D∥x 轴交抛物线于点D （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点E 是抛物线上的点，求满足∠ED＝∠B 的点E 的坐标； （3）点M 在y 轴上且位于点上方，点在直线上，点P 为第一象限内的抛物线上一点， 若以点、M、、P 为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长． 7．如图，已知直线y＝2x+与抛物线y＝x2+bx+相交于，B 两点，抛物线的顶点是（1，﹣ 4），点B 在x 轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M 是y 轴上一点，点是坐标平面内一点，当以、B、M、为顶点的四边形是矩 形时，求点M 的坐标． （3）在抛物线上是否存在点Q，使∠BQ＝45°，若存在，请直接写出点Q 的横坐标；若 不存在，说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系xy 中，抛物线y＝x2+bx+经过、B、三点，已知点（﹣3， 0），B（0，3），（1，0）． （1）求此抛物线的解析式． （2）点P 是直线B 上方的抛物线上一动点，（不与点、B 重合），过点P 作x 轴的垂线， 垂足为F，交直线B 于点E，作PD⊥B 于点D． ①动点P 在什么位置时，△PDE 的周长最大，求出此时P 点的坐标； ②连接P，以P 为边作图示一侧的正方形PM，随着点P 的运动，正方形的大小、位置 也随之改变．当顶点M 或恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P 点的坐标．（结果 保留根号） 9．如图，抛物线y＝x2+bx+（≠0）的图象经过（1，0），B（3，0），（0，6）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）抛物线的顶点M 与对称轴l 上的点关于x 轴对称，直线交抛物线于点D，点E 为抛 物线在直线D 下方的一个动点，连接E、DE，问：△DE 的面积是否存在最大值？若存 在，请求出面积的最大值和点E 的坐标．若不存在，请说明理由． （3）P 为抛物线上的一动点，Q 为对称轴上一动点，若以、D、P、Q 为顶点的四边形 为平行四边形，请直接写出点P 的坐标（至少写两个）． 10．如图，一次函数y＝ x﹣ 图象与坐标轴交于点、B，二次函数y＝ x2+bx+图象 过、B 两点． （1）求二次函数解析式； （2）点B 关于抛物线对称轴的对称点为点，点P 是对称轴上一动点，在抛物线上是否 存在点Q，使得以B、、P、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不 存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x2+ x+4 与x 轴交于，B 两点，与y 轴交 于点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D． （1）点B 与点D 的坐标； （2）点P 是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P 点的横坐标为 m，且S△DP＝ S△B，求m 的值； （3）K 是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使B、、K、为顶点的 四边形成为矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 12．如图1，抛物线y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣（≠0）与x 轴交于点，B．与y 轴交于点．连接，B．已 知△B 的面积为2． （1）求抛物线的解析式； （2）平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q 两点．过P，Q 向x 轴作垂线， 垂足分别为G，．若四边形PGQ 为正方形，求正方形的边长； （3）如图2，平行于y 轴的直线交抛物线于点M，交x 轴于点（2，0）．点D 是抛物线 上，M 之间的一动点，且点D 不与，M 重合，连接DB 交M 于点E．连接D 并延长交M 于点F．在点D 运动过程中，3E+F 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说 明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+3（≠0）与y 轴交于点，与x 轴交于、B 两点（点在点B 的左侧），且（﹣2，0），直线B 的解析式为y＝﹣ +3． （1）求抛物线的解析式； （2）过点作D∥B，交抛物线于点D，点E 为直线B 上方抛物线上一动点，连接E、 EB、BD、D，求四边形BED 面积的最大值及相应点E 的坐标； （3）将抛物线y＝x2+bx+3（≠0）向左平移2 个单位，已知点M 为抛物线y＝x2+bx+3 （≠0）的对称轴上一动点，点为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BED 的面积最大时，是否存在以，E，M，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写 出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，抛物线y＝﹣ x2+bx+与x 轴交于点和点B，与y 轴交于点，点B 坐标为（6， 0），点坐标为（0，6），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E，连 接BD． （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标； （2）点F 是抛物线上的动点，当∠FB＝∠BDE 时，求点F 的坐标； （3）若点P 是x 轴上方抛物线上的动点，以PB 为边作正方形PBFG，随着点P 的运动， 正方形的大小、位置也随着改变，当顶点F 或G 恰好落在y 轴上时，请直接写出点P 的 横坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣（＞0）与x 轴交于、B 两点（点在 点B 左侧），经过点的直线l：y＝kx+b 与y 轴交于点，与抛物线的另一个交点为D，且 D＝4． （1）直接写出点的坐标，并用含的式子表示直线l 的函数表达式（其中k、b 用含的式 子表示）． （2）点E 为直线l 下方抛物线上一点，当△DE 的面积的最大值为 时，求抛物线的函 数表达式； （3）设点P 是抛物线对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点、D、P、Q 为顶点的四 边形能否为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由． 16．如图，已知二次函数y＝﹣ x2+bx+的图象与x 轴交于点、，与y 轴交于点B，直线y＝ x+3 经过、B 两点． （1）求b、的值． （2）若点P 是直线B 上方抛物线上的一动点，过点P 作PF⊥x 轴于点F，交直线B 于 点D，求线段PD 的最大值． （3）在（2）的结论下，连接D，点Q 是抛物线对称轴上的一动点，在抛物线上是否存 在点G，使得以、D、G、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点G 的坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图，在平面直角坐标系xy 中，△B 的顶点在y 轴上，B 边与x 轴重合，过点作B 的垂 线分别交B 和y 轴于点D、，B＝，线段B、（B＜）的长是方程x2 6 ﹣x+8＝0 的根． （1）求直线D 的解析式； （2）点P 是线段B 上的一动点，点Q 是线段上的一动点且2BP＝3Q，设BP＝t，△PQ 的面积为S，请求出S 与t 的函数关系； （3）在（2）的条件下，在平面上是否存在一点M，使得以P，Q，，M 为顶点的四边 形是正方形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，抛物线y＝x2 4 ﹣x+3 与坐标轴交于、B、三点，过点B 的直线与抛物线交于另一 点E，若经过、B、E 三点的⊙M 满足∠EM＝45°． （1）求直线BE 的解析式； （2）若D 点是直线BE 下方的抛物线上一动点，连接BD 和ED，求△BED 面积的最大 值； （3）点P 在抛物线的对称轴上，平面内是否存在一点Q，使得以点，，P，Q 为顶点的 四边形为矩形，若存在，请直接写出Q 点坐标． 19．如图，直线y＝ x+2 与x 轴，y 轴分别交于点，，抛物线y＝﹣ x2+bx+经过，两点， 与x 轴的另一交点为B，点D 是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点D 在直线上方时，连接B，D，BD，BD 交于点E，令△DE 的面积为S1，△BE 的面积为S2，求 的最大值； （3）点F 是该抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，，D，F 为顶点的平行四边形