专题01 特殊平行四边形的三种几何变换问题（解析版）

专题01 特殊平行四边形的三种几何变换问题 类型一、翻折问题 例1．（几何翻折）实践操作 在矩形 中， ， ，现将纸片折叠，点 的对应点记为点 ，折痕为 （点 、 是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 初步思考 （1）若点 落在矩形 的边 上（如图①）． ①当点 与点 重合时， ；当点 与点 重合时， ； ②当点 在 上，点 在 上时（如图②），求证：四边形 为菱形，并直接写 出当 时的菱形 的边长． 深入探究 （2）若点 落在矩形 的内部（如图③），且点 、 分别在 、 边上，请直 接写出 的最小值． 拓展延伸 （3）若点 与点 重合，点 在 上，射线 与射线 交于点 （如图④）．在各 种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段 与线段 的长度相等？若存在， 请直接写出线段 的长度；若不存在，请说明理由． 【答】（1）① ； ②边长是 ，证明见解析（2）2（3）存在，长度是 或 【分析】（1）①当点 与点 重合时，如图1，画出图形可得结论；当点 与点 重合时， 如图2，则 平分 ； ②证明 得 ，根据一组对边平行且相等得：四边形 是平行 四边形，加上对角线互相垂直可得 为菱形，当 时，设菱形的边长为 ，根 据勾股定理列方程得： ，求出 的值即可； （2）如图4，当 与 重合，点 在对角线 上时， 有最小值，根据折叠的性质求 ，由勾股定理求 ，所以 ； （3）分两种情况根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可． 【详解】（1）① ； 当点 与点 重合时， 是 的中垂线， ； 当点 与点 重合时，此时 ． ②设 交 于点 ， 四边形 是矩形 ， 点 沿 折叠后对应点为 ， 在 和 中， 四边形 是平行四边形 是菱形 当 时，菱形的边长为 ． 设菱形边长为 ，则 在 中，由勾股定理得： ， ， ． （2） 的最小值为 ． 若点 落在矩形 的内部，且点 、 分别在 、 边上， 设 ，则 ， 当 在一条直线上时， 最小， 最小值为 ， 所以当 最大取时， 的最小值为 ． （3） 或 ． 情况一：连接 ， ， 设 ，则 ， 则 ， ，解得： ； 情况二： 设 ，则 ， 则 ， ， 则 ， ， ， ，解得： ．综上所述， 的长度为 或 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折 叠的性质，熟练掌握折叠的性质是关键，本题难度适中，注意运用数形结合的思想． 例2．（与函数结合）如图1，将矩形 放置于第一象限，使其顶点位于原点，且点 B，分别位于x 轴，y 轴上．若 满足 ． (1)求点的坐标； (2)取 中点M，连接 ， 与 关于 所在直线对称，连接 并延长， 交x 轴于点P． ①求 的长； ②如图2，点D 位于线段 上，且 ．点E 为平面内一动点，满足 ，连 接 ．请你求出线段 长度的最大值． 【答】(1) ；(2)① ；② 【分析】（1）由 ．可得 ， ，即可求解； （2）①证明 ，得到 ，可得 ，即可求解； ②取 的中点 ，连接 ， ．当点 、 、 三点共线时， 的长度最大，进而 求解． 【详解】（1）解： ． ， ，解得 ， ， 点 的坐标为 ； （2）① 与 关于 所在直线对称， ， ， ， 如图，连接 ， ， ， ， 设 ， ， 在 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 点 为 的中点， ， ∴ ； ②取 的中点 ，连接 ， ． ，点 是 的中点， ． ， ， ， 由中点坐标可知：点 的坐标为 ， ， ， ， 当点 、 、 三点共线时， 的长度最大， 则 的最大值 ， ， ， ， 的最大值 ． 故答为： ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平 行四边形的判定，解决本题的关键是得到四边形 是平行四边形． 【变式训练1】综合与实践 动手操作： 第一步：如图①，将矩形纸片 沿过点的直线折叠，使得点，点D 都落在 边上， 此时，点与点D 重合，记为E，折痕分别为 、 ，如图②； 第二步：再沿过点的直线折叠，使得直线 与直线 重合，且、E、三点在同一条直线 上，折痕分别为 、 ，如图③； 第三步：在图③的基础上继续折叠，使 与 重合，得到图④，展开铺平，连接 ， 交于点，如图⑤，图中的虚线为折痕． 问题解决： (1)在图⑤中， 的度数是 ； (2)在图⑤中，请判断四边形 的形状，并说明理由； (3)试判断线段 与 的数量关系，并证明； (4)若 ，则 的长是 ．（提示： ） 【答】(1) (2)四边形 是菱形，理由见解析 (3) ；证明见解析 (4) 【分析】（1）根据折叠性质得出 ， ，求 出 ， ，再求出结果即可； （2）证明 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形，得出 ，求出 ，证明 ， ， 得出四边形 是平行四边形，证明 ，得出结论； （3）根据 证明 ，即可得出结论； （4）过点F 作 交 于点P，根据角平分线的定义 ，设 ，得 出 ，根据 ，得出 ，求出x 的值即可． 【详解】（1）解：∵四边形 是矩形， ，由折叠的性质，可知 ， ∴ ， ∴四边形 为矩形， ∵ ， ∴四边形 是正方形， ， 由折叠的性质得 ， ， ， ， ； 故答为： ． （2）解：四边形 是菱形，理由如下： 同（1）可得， ， ， ， 由折叠的性质可知 ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 同理可证， 是等腰直角三角形， ， 又 ， ， ∴ ， ， ∴四边形 是平行四边形， 又 ， ， ∴四边形 是菱形； （3）解： ，理由如下： 由（2）可知 ， ， ， ∵四边形 是菱形， ， 由折叠性质可知， ， ， 在 和 中， ， ； （4）解：过点F 作 交 于点P，如图所示： ，且 ， ， 设 ， ∵ ， ， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ， ， 解得： ， 即 ． 故答为： ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠性质，正方形的判定和性质，菱形的判定和性 质，三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握正方 形和菱形的判定和性质． 【变式训练2】综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折正方形纸片，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平； 操作二：在 上选一点，沿 折叠，使点B 落在 上的点G 处，得到折痕 ，把纸 片展平； 根据以上操作，直接写出图1 中 的度数：______； (2)拓展应用 小华在以上操作的基础上，继续探究，延长 交 于点M，连接 交 于点（如图 2）．判断 的形状，并说明理由； (3)迁移探究 如图3，已知正方形 的边长为6m，当点是边 的三等分点时，把 沿 翻折 得 ，延长 交 于点M，请直接写出 的长． 【答】(1) (2) 是等边三角形，见解析 (3) 或 【分析】（1）根据翻折可得： ， 得到 ，即可求解； （2）先证明 ，得到 ，再根据平行证明 ，即可求解； （3）分两种情况讨论： 或 ． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 由翻折性质可得： ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 由翻折性质可得： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）解： 是等边三角形； 由题意可得： ， 由翻折性质可得： ， ， ∴ ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 由（1）得： ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等边三角形； （3）解：①连接 ，如图所示， ∵正方形 的边长为6m，点是边 的三等分点， ∴ ， ， ， 由翻折性质可得： ， ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴设 ，则 ， 由勾股定理得： ， 解得： ， 即 ； ②如图所示， ∵正方形 的边长为6m，点是边 的三等分点， ∴ ， ， ， 由翻折性质可得： ， ， ， ∴ ， ， ∵ ，∴ ， ∴设 ，则 ， 由勾股定理得： ，解得： ，即 ； 【点睛】本题考查了几何问题，涉及到正方形的性质和翻折的性质、全等三角形的判定和 性质，难度较大，正确理解题意和灵活运用所学的知识是解题的关键． 【变式训练3】综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平，连接 ； 操作二：在 上选一点P，沿 折叠，使点落在矩形内部点M 处，把纸片展平，连接 ． 根据以上操作，请判断图1 中 是什么特殊三角形？答：＿＿＿＿． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片 按照（1）中的方式操作，并延长 交 于点Q，连接 ． ①如图2，当点M 在 上时， ______ ， ______ ； ②改变点P 在 上的位置（点P 不与点，D 重合），如图3，判断 与 的数 量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片 的边长为 ，当 时，直接写出 的 长． 【答】(1) 是等边三角形 (2)①15，15；② ，理由见解析 (3) m 或 m 【分析】（1）由折叠的性质可得 ， ，进而可得 ，可知 是等边三角形； （2）①由“ ”可证 ，可得 ；②由“ ”可 证 ，可得 ； （3）分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得 ， ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， 故答为：等边三角形； （2）解：①∵四边形 是正方形， ∴ ， ， 由折叠可得： ， ， ∴ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 同（1）可证 是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答为： ，15； ② ，理由如下： ∵四边形 是正方形， ∴ ， ， 由折叠可得： ， ， ∴ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ； （3）解：由折叠的性质可得 ， ， ∵ ， ∴ ， 如图，当点Q 在线段 上时， ∵ ，∴ ， ， ∵ ，∴ ，∴ ， 如图，当点Q 在线段 上时， ∵ ，∴ ， ， ∵ ，∴ ，∴ ， 综上所述： 的长为 或 ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三 角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 类型二、旋转问题 例1．（线段旋转）【课本再现】把两个全等的矩形 和矩形 拼成如图1 的图， 则 ______ ； 【迁移应用】如图2，在正方形 中， 是 边上一点（不与点 ， 重合），连接 ，将 绕点 顺时针旋转 至 ，作射线 交 的延长线于点 ，求证： ； 【拓展延伸】在菱形 中， ， 是 边上一点（不与点 ， 重合），连 接 ，将 绕点 顺时针旋转 至 ，作射线 交 的延长线于点 ． ①线段 与 的数量关系是_____________________． ②若 ， 是 的三等分点，则 的面积为____________________． 【答】【课本再现】90；【迁移应用】见解析；【拓展延伸】① ；② 或 【分析】（1）【课本再现】先证明 ，可得 ，从而得到 ，即可； 【迁移应用】过点F 作 交 于点，结合正方形的性质和旋转的性质证明 ，可得 ，从而得到 ，进而得到 是等腰 直角三角形，即可； 【拓展延伸】①过点F 作 ，与 的延长线交于点，可证得 ， 从而得到 ， ，进而得到 ， ，继而得到 ；②分两种情况讨论，即可． 【详解】∵矩形 和矩形 是全等矩形， ∴ ， ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； 故答为：90 【迁移应用】如图，过点F 作 交 于点， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ∴ ， 由旋转的性质得： ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ； 【拓展延伸】①过点F 作 ，与 的延长线交于点， 由旋转的性质得： ， ∴ ， ∵四边形 是菱形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； 故答为： ②当 时，有 ， 由①得： ， ∴ ， ∵ 的底边 上的高相等， ∴ ； 当 时，有 ， ∴ 综上所述， 的面积为 或 ． 故答为： 或 【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质 等知识，熟练掌握相关知识点，并利用类比思想解答是解题的关键． 例2．（图形旋转）（1）如图1，正方形 的对角线相交于点 ，点 又是正方形 的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形 为两个正方形重叠部 分．正方形 可绕点 转动．则下列结论正确的是________________（填序号即 可）． ① ；② ；③四边形 的面积总等于 ；④连接 ， 总有 ． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形 的中心 是矩形 的一个顶点， 与边 相交于点 ， 与边 相交于点 ，连接 ，矩形 可绕着点 旋转，猜想 之间 的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在 中， ， ，直角 的顶点 在 边 的中点处，它的两条边 和 分别与直线 ， 相交于点 ， 可绕 着点 旋转，当 时，求线段 的长度． 【答】（1）①②③④；（2） ，理由见解析；（3） 或 【分析】（1）先证明 ，再根据全等三角形的性质，正方形的性质，勾股 定理，逐项判断即可求解； （2）连接 ，延长 交 于点 ，连接 ，根据矩形的性质可得点 是 的中点， 再证明 ，可得 ，再由线段垂直平分线的性质可得 ，在 中，根据勾股定理，即可求解； （3）设 ．分两种情况讨论：①当点 在线段 上时，②当点 在 延长线上 时，结合勾股定理，即可求解． 【详解】解：（1）在正方形和正方形 中， ， ∴ ， ∴ ，故①正确； ∴ ， ，故②正确； ∴四边形 的面积 ， 四边形 的面积总等于 ，故③正确； 如图， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，故④正确； 故答为：①②③④ （2） ，理由如下： 连接 ，延长 交 于点 ，连接 ， ∵ 是矩形 的中心， ∴点 是 的中点． ∴ ， ∵在矩形 中， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在矩形 中， ， ∴ ， 在 中， ∴ ； （3）设 ． ①当点 在线段 上时， ∵ ， ∴ ∵在 中， ， ∴ ， ∴ ， 又由（2）得： ， ∴ ∴ ， 解得 ． ∴ ． ②当点 在 延长线上时，同理可证 ∴ ， 又在 中， ． ∴ 解得 ． ∴ 故 的长度为 或 ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性 质，熟练掌握正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用类 比思想解答是解题的关键． 类型三、平移问题 例1．（线段的平移）已知正方形 ，点 ， 分别在射线 ，射线 上， ， 与 交于点 ． (1)如图1，当点 ， 分别在线段 ， 上时，求证： ，且 ； (2)如图2，当点 在线段 延长线上时，将线段 沿 平移至 ，连接 ． ①依题意将图2 补全； ②用等式表示线段 ， 和 之间的数量关系，并证明． 【答】(1)见解析 (2)①见解析；② ，证明见解析 【分析】（1）根据正方形性质可得 ， ，进而可证明 ，依据全等三角形性质即可证得结论； （2）①按题目要求补全图形即可； ②连接 ，根据平移性质即可得出四边形 是平行四边形，根据平行四边形性质得 ， ，再由 ，可得 ， ，进而可 得出 ， ，由勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1， 四边形 是正方形， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ，故 ，且 ； （2）解：①补全图如图2 所示； ② 理由如下：如图3，连接 ， 线段 沿 平移至 ， 四边形 是平行四边形， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平移的性质、勾股定理的 应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质定理． 例2．（图形的平移）平行四边形 中， 于 ，且 ． (1)如图1，若 ，求平行四边形 的面积． (2)如图2，连接 ，过作 交 于 ，在 上截取 ，连接 ，点 为 中点，连接 ，求证： ． (3)如图3，连接 ，把 沿直线 方向平移，得到 ，若 ， ，请直接写出平移过程中 的最小值． 【答】(1) (2)见解析 (3) 的最小值为 【分析】（1）根据平行线的性质得出 ，证明 ，利用勾股定 理求出 ，利用平行四边形面积公式即可得出结果； （2）延长 交 于T，连接 ， ，证明 ， ， 即可解决问题； （3）由题意可知四边形 是平行四边形，推出 ，推出 的最小值 的最小值，点 在过点且平行于 的定直线上，作点D 关于定直线的对称点 ， ，则 的长度即为 的最小值，求 出 的最小值，可得结论． 【详解】（1）解：∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （2）证明：如图，延长 交 于T，连接 ， ， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （3）解：如图， ∵ ， ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ 的最小值 的最小值， ∵点 在过点且平行于 的直线上， ∴作点D 关于直线的对称点 ， ∵ ，则 的长度即为 的最小值， 过点 作 于，交 于，过点作 于T，设 交 于K，过点作 于R， ∵ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ，设 ， 在 中，则有 ， 解得 或 （舍去）， ∴ ， ， 过点B 作 交 的延长线于Q，则 ， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， 在 中， ， ∵ ，∴ ， 在 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， 在 中， ， ∴ 的最小值为 ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质