专题11 反比例函数中K的几何意义的两种考法（解析版）

专题11 反比例函数中K 的几何意义的两种考法 类型一、求比例系数K 的值 例1．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝8，直线B 经过原点，点在y 轴上，交x 轴于点D，D:D＝4:3，若 反比例函数 经过，B 两点，则k 的值为 ． 【答】 【分析】根据，B 两点关于原点对称和直角三角形可得=4，再根据比例求出点坐标即可． 【详解】解：作E⊥D 于E， ∵反比例函数 经过，B 两点，直线B 经过原点， ∴=B=4， ∵∠B＝90°， ∴=4， ∵∥E， ∴△D∽△ED， ∵D:D＝4:3， : ∴E＝4:3， ∴E=3， 点坐标为（ ，-3）， 代入 得， ， 解得， ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题关键是恰 当的作辅助线，构建相似三角形求点的坐标． 例2．如图， 位于平面直角坐标系中，点B 在x 轴正半轴上，点及 的中点D 在反比例函数 的图象上，点在反比例函数 的图象上，则k 的值为 ． 【答】2 【分析】过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，根据平行四边形的性质以及 在 上， 可得 ，设 ，则 ，可得 的坐标，进而根据 为 中点，根据中点坐标公式求得 的坐标，根据 在 上，列出方程，即可求得 的值． 【详解】如图，过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ， 四边形 是平行四边形 ， 即 轴， 在 上， ，即 设 ，则 是 的中点 ， 在 上， 即 得 故答为：2 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形结合， 的几何意义，平行四边形的性质，设参数法求解是解 题的关键． 【变式训练1】如图，点 是函数 图像上的任意一点，点 、 在反比例函数 的图像上．若 轴， 轴，阴影部分的面积为 ，则 ． 【答】 【分析】延长 交 轴于点 ，延长 交 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴 于点 ，设 ，可得到四边形 、 、 都是矩形，点 是函数 图像上的任意 一点，可得 ，根据点 、 在反比例函数 的图像上，从而得到 ， ，然 后根据阴影部分的面积为4 列方程即可解答． 【详解】解：延长 交 轴于点 ，延长 交 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，设 ∵ 轴， 轴， 又∵在平面直角坐标系中， 轴和 轴互相垂直， ∴ 轴， 轴， ， ∴四边形 、 、 都是矩形， ∴ ， ， ∵点 是函数 图像上的任意一点， ∴ ， ∴ ， ∵点 、 在反比例函数 的图像上， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 解得： ． 故答为：． 【点睛】本题考查了反比例函数系数 的几何意义：在反比例函数 图像中任取一点，过这一个点向 轴和 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值 ，过图像上一点作坐标轴的垂线构建矩形是常 用的解题方法．由几何图形的性质将阴影部分的面积进行转化是解题的关键． 【变式训练2】如图，正方形B 中，，分别在x，y 轴正半轴上，反比例函数 的图像与边B，B 分别交 于点D，E，且BD=BE=2，对角线把△DE 分成面积相等的两部分，则k= ． 【答】 【分析】设 与 交于点 ， 与 交于点 ，先根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得 ，再根据 ，推 ，推比例线段求出 ，设 ，根据同一 条线段的长列等式求出 也就求出 ． 【详解】解：如图所示， 与 交于点 ， 与 交于点 ， 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 对角线 把 分成面积相等的两部分， ， ， ， ， ， 设 ， ， ， ， ， 即 ， ， ， 点 在反比例函数上， ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了反比例比例系数 的几何意义、正方形的性质、相似三角形的性质，掌握这几种性质 的综合应用，由平行推相似，推比例线段是解题关键． 【变式训练3】如图，过原点的直线与反比例函数y 的图像交于、B 两点，点在第二象限，点在x 轴正 半轴上，连接交反比例函数图像于点D，E 为∠B 的平分线，过点B 作E 的垂线，垂足为E，连接DE，若D ＝2D，△DE 的面积为16，则k 的值为 ． 【答】-12 【分析】连接E，E，过点作F x ⊥轴，过点D 作D x ⊥轴，过点D 作DG F ⊥；由B 经过原点，则与B 关于原 点对称，再由BE E ⊥，E 为∠B 的平分线，可得D E ∥，进而可得 ；设点（m， ）（ ）， 由已知条件=3D，D F ∥，可得3D=F，则点D（3m， ），证明△D GD ∽△ ，得到S△D= S△DG，所以S△=S△F+S 梯形FD+S△D，即可求解． 【详解】解：连接E，E，过点作F x ⊥轴，过点D 作D x ⊥轴，过点D 作DG F ⊥， ∵过原点的直线与反比例函数y= 的图像交于、B 两点， ∴与B 关于原点对称， ∴是B 的中点， BE E ∵ ⊥， E= ∴ ， E= E ∴∠ ∠， E ∵为∠B 的平分线，∴∠DE= E= E ∠ ∠， D E ∴∥，∴ ， D=2D ∵ ，△DE 的面积为16， ∴ ， 设点（m， ）（ ）， D=2D ∵ ，D F ∥，∴3D=F，∴D（3m， ）， GD ∵∥ ，G D ∥，∴△D GD ∽△ ，∴S△D= S△DG， S ∵△=S△F+S 梯形FD+S△D= |k|+ （D+F）×F+S△D= |k|+ ×| |×|2m|+ × ×| |×|2m|=24， k=-12 ∴ ， 故答为:-12． 【点睛】本题考查反比例函数k 的几何意义，借助直角三角形和角平分线，将△E 的面积转化为△的面积是 解题的关键． 【变式训练5】如图，点 ， 在反比例函数 的图象上，延长 交 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，延长 交反比例函数 的图象于点 ．已知点 ， 的横坐标分别为1，3， 与 的面积之和为 ，则 的值为 ． 【答】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得、B、D、E 的坐标，然后由三角形的面积公式表示出 △BE 和△BD 的面积，再由 与 的面积之和为 ，即可求解． 【详解】解： 点 ， 的横坐标分别为1，3， 把点 ， 的横坐标代入反比例函数 得 ， ， ， ∵ 轴，且 、 、 在一条线上， 且 、 、 的纵坐标相等，且都为 ， ∵点 在反比例函数 上， ， ， ， ， ， ∵ ，∴ ，解得， ．故答为： ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数k 值的几何意义，解题的关键是利用点 的横纵坐标表示出三角形的面积． 类型二、根据比例系数求面积 例1．如图，在直角坐标系中，为坐标原点 与 （＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线1，2， 点P 为曲线1上的任意一点，过点P 作y 轴的垂线交2于点，作x 轴的垂线交2于点B，则阴影部分的面积 S△B＝ ．（结果用，b 表示） 【答】 【分析】设B（m， ），（ ，），则P（m，），阴影部分的面积S△B＝矩形的面积﹣三个直角三角形 的面积可得结论． 【详解】解：设B（m， ），（ ，），则P（m，）， ∵点P 为曲线1上的任意一点， ∴m＝， ∴阴影部分的面积S△B＝m b b （m ）（ ） ＝m﹣b （m﹣b﹣b ） ＝m﹣b m+b ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了反比例函数的系数k 的几何意义，矩形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征等知 识，本题利用参数表示三角形和矩形的面积并结合m＝可解决问题． 例2．如图，双曲线 经过矩形 的顶点 ，双曲线 交 ， 于点 、 ， 且与矩形的对角线 交于点 ，连接 ．若 ，则 的面积为 ． 【答】 【分析】根据点 的坐标 去表达 的值及点 的坐标，进而求得 ， 的长，再由 求得 的面积． 【详解】解：如图，过点 作 于点 ． 在矩形 中， ， ， ， ， ， ． 设点 坐标为 ，其中 ， 均为正数， ， ． 点 在双曲线 上， ，则 ． ， ． ． ， ． ， ． 点 在双曲线 上， ． ， 在双曲线双曲线 上， ， ， ． ， ． ． ． ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了反比例函数系数 的几何含义及反比例函数上点的坐标，涉及矩形的性质和相似三角 形的判定与性质，是代数与几何的综合问题，解决问题要从点 的坐标开始入手． 【变式训练1】已知，如图，双曲线 与直线 ）相交于 两点， 轴于 ， 轴于 ，点 是 的中点， 与 轴相交于点 ，连接 ，分别与直线 相交于点 和点 ，则图中阴影部分的面积是________． 【答】8 【详解】：连接 ，如图所示： 由 是双曲线 与直线 的交点，易得 ， ， ．∴ ， ∵ ∥ ， ∥ ， 是 中点， 是 中点， ∴ ∽ ， ∽ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【变式训练2】如图，平行四边形 的顶点 ， 在 轴上，顶点 在 上，顶点 在 上， 则平行四边形 的面积是 ． 【答】11 【分析】过点 作 于点 ，过点 作 轴于点 ，因为四边形 是平行四边形，可证得 ， ，即 ， ，再根据反比例函数的 的几 何意义即可得到答． 【详解】解：如图所示，过点 作 于点 ，过点 作 轴于点 ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， 同理可得： ， ， 点 在反比例函数 上， ， 点 在反比例函数 上， ， 平行四边形 的面积为： ， 故答为：11． 【点睛】本题考查了反比例函数系数 的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这 一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保持不变． 【变式训练3】如图，在平面直角坐标系 中， 的顶点在函数 的图象上，顶点B 在x 轴正半轴上，边 ， 分别交的数 ， 的图象于点M，．连接 ，若 轴， 则 的面积为 ． 【答】6 【分析】设M 点的坐标为 ，点的坐标为 ，表示出 ，根据相似，求出 ， ，进而求出 的面积． 【详解】∵ 轴， ∴ ，点M，的纵坐标相同， 设M 点的坐标为 ，点的坐标为 ， ∴ ， 如图，过点M 作 轴，点作 轴， ∴ ， 根据反比例函数与三角形的面积关系可得： ， ， ∴ ， ∵相似三角形中面积比等于相似比的平方， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∵M 点的坐标为 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答为：6． 【点睛】本题考查反比例函数与三角形面积的关系，解题的关键是根据题意作出相应的辅助线，并通过设 坐标法进行求解． 【变式训练4】如图， 的边 在 轴的正半轴上， ，反比例函数 的图像经过 点 ．过 的中点 作 轴交反比例函数图像于点 ，连接 ， ， 的面积为 ． 【答】3 【分析】由点的坐标利用反比例函数图像上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形 的性质结合点、、的坐标即可求出点B 的坐标；延长 交 于点E，由点D 为线段 的中点，可求出 点D 的坐标，再令反比例函数关系式中 求出x 值即可得出点P 的坐标，由此即可得出 、 的长度， 根据三角形的面积公式即可得出结论； 【详解】解：∵反比例函数 的图像经过点 ， ∴ ， ∴反比例函数的关系式为 ， ∵四边形 为平行四边形，且点 ， ，点 ， ∴点 ，点 ． 延长 交 于点E，如图所示： ∵点D 为线段 的中点，点 、 ， ∴点 ， 令 中 ，则 ， ∴点 ， ∴ ， ， ． 故答为：3． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、三角形的面积公式及平行四边形的性质，求出 长度是解决问题的关键． 【变式训练5】如图，点 ， 在反比例函数 （ ， ）的图象上，点 ， 在反比例函数 （ ， ）的图象上，且 轴，过 ， 分别作 轴的垂线，垂足为 ， ， 交 于点 ，连结 交 于点 ．若 ，则 ． 【答】1 【分析】如图，由组合图形位置构成关系，得 ， ，由反比例函数解析式k 的几何意义，得 ， ，得出结论 ． 【详解】如图， ∵点 在反比例函数 （ ， ）的图象上，点 在反比例函数 （ ， ）的图象 上 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 而 ， ∴ ∴ ∴ ，∴ ，故答为：1 【点睛】本题考查反比例函数解析式k 的几何意义，组合图形求面积，理解反比例函数解析式k 的几何意 义是解题的关键． 课后训练 1．如图，在▱BD 中，点B 在y 轴上，D 过原点，且S▱BD＝15，、、D 三点在反比例函数 （k≠0）的 图象上，则k＝ ． 【答】5 【分析】作⊥B 于，E⊥y 轴于E，DF⊥E 于F，证明△FD≌△B，设（x，y），则D（﹣x，﹣y），由S▱BD ＝15，＝D，得S△B＝ ，所以B＝ ，B＝ ﹣y，即点的坐标为（﹣2x， ﹣2y），把点、D 两点代 入反比例函数 （k≠0），可求得k 的值． 【详解】解：如图，作⊥B 于，E⊥y 轴于E，DF⊥E 于F． ∵四边形BD 是平行四边形， ∴B＝D，B∥D， ∵∥x 轴∥F， ∴∠B＝∠DF， ∵∠DF＝∠B＝90°， ∴△FD≌△B（S）， ∴＝F，DF＝B， 设（x，y），则D（﹣x，﹣y）， ∵S▱BD＝15，＝D， ∴S△B＝ ， ∴B＝ ，B＝ ﹣y， ∴点的坐标为（﹣2x， ﹣2y）， ∵、、D 三点在反比例函数 （k≠0）的图象上， ∴xy＝﹣2x（ ﹣2y）＝k， ∴k＝xy＝5． 故答为：5． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义以及平行四边形的性质，解题的关键是构造△FD B ≌△得 出点D 的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，，分别为x 轴、y 轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形B， 且S 矩形B＝2 ，将矩形B 翻折，使点B 与原点重合，折痕为M，点的对应点'落在第四象限，过M 点的反 比例函数y＝ （k≠0）的图象恰好过M 的中点，则k 的值为 ，点'的坐标为 ． 【答】 / 【分析】连接B 交M 于Q，由折叠的性质可得M=MB，Q=B，先证明△BMQ≌△Q 得到QM=Q，即点Q 为B 的中点，过点Q 作Q⊥x 轴于，证明△Q∽△B，求出 ，则 ； 过点 作 轴于G，可以推出 ，设M=，则BM=M=3，则 ，解 得 ，得到B==2， ，从而求出 ， ，利用三角形面积法求 出 ，则 ，即点的坐标为 ． 【详解】解：如图所示，连接B 交M 于Q， 由折叠的性质可得M=MB，Q=B， ∵四边形B 是矩形，∴ ， ∴∠MQ=∠Q，∠BMQ=∠Q， 又∵BQ=Q，∴△BMQ≌△Q（S）， ∴QM=Q，即点Q 为B 的中点， 过点Q 作Q⊥x 轴于，∴ ，∴△Q∽△B，∴ ， ∵四边形B 是矩形，∴ ， ∵Q 在反比例函数图象上，∴ ； 过点 作 轴于G， ∵点M 在反比例函数图象上，∴ ， 又∵ ，∴ ， 设M=，则BM=M=3，∴ ， ∴ ，解得 （负值已经舍去），∴B==2， ， ∵QM=QG，Q=BQ，∴四边形MB 是平行四边形， ∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ， ∴ ，∴ ，∴点的坐标为 故答为： ， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，相似 三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形面积公式，正确作出辅助线是解题的 关键． 3．如图，P 为第一象限内一点，过P 作P∥轴， 轴，分别交函数y= 于，B 两点，若S△BP=4，则 S△B= ． 【答】16 【分析】延长BP 交x 轴于点M，过点作⊥x 轴于点，则四边形PM 是矩形，P=M，=PM，设点B ， 根据S△BP=4，可求得 ，可求得 ，P=M=2t，再由S△BM+S 梯形BM=S△+S△B，且 ， 可得 ，据此即可求得． 【详解】如图，延长BP 交x 轴于点M，过点作⊥x 轴于点， 则四边形PM 是矩形， ∴P=M，=PM， 设点B 的横坐标为t， 点，B 在函数y= 上， ∴B ， ∵S△BP=4， ∴ ，解得 ， ∴ ， ∴ ， ∴P=M=3t-t=2t， ∵S△BM+S 梯形BM=S△+S△B，且 ， ∴ ． 故答为：16． 【点睛】此题考查了反比例函数的系数k 的几何意义，坐标与图形，矩形的判定和性质，不规则图形的面 积，正确作出辅助线是解本题的关键． 4．如图，点在函数 的图像上，点B，在函数 的图像上，若∥y 轴，B∥x 轴，且B＝ ，则B＝ ． 【答】 【分析】延长、B 交坐标轴于F、E，作D⊥y 轴于D，BG⊥x 轴于G，设（m，），根据反比例函数系数k 的几何意义得到S 四边形DF=S 四边形BEG=18，m=12，进而得到S 四边形ED=S 四边形BGF，即可得到•m=B•，从而 求得m= ，由m=12 得到的横坐标，从而求得的坐标，得到的长，进一步求得B 的长，然后根据勾股定理 即可求得B． 【详解】解：延长、B 交坐标轴于F、E，作D⊥y 轴于D，BG⊥x 轴于G， 设（m，）， ∵点在函数 的图像上，点B、在函数 的图像上，∥y 轴，B∥x 轴， ∴S 四边形DF=S 四边形BEG=18，m=12， ∴S 四边形ED=S 四边形BGF， • ∴m=B•， ∵B= ， ∴m= ， ∴ •=12， ∴ ， ∴ ， ∴点的横坐标为， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数系数k 的几何意义，求得、的坐标是解 题的关键． 5．如图，平面直角坐标系中，矩形B 的边，分别在x 轴和y 轴上，反比例函数 的图象与 B，B 分别交于点E，点F，若矩形对角线的交点D 在反比例函数图象上，且ED B，则点E 的坐标是 ． 【答】(2，4 ) 【分析】连接E，根据反比例函数系数k 的几何意义得到 ，设D(m，)，则m= ， = ，进一步求得 的面积 ，即可得到E= ， ，由D=BD，ED B，得到 E=BE= ，然后利用勾股定理得到 整理得 ，由于 ，求得m=4，即 可求出E 点坐标． 【详解】解：连接E， ∵反比例函数 的图象与B、B 分别交于点E、F， ∴ ， ， 设D(m，) ∵矩形对角线的交点D 在反比例函数的图象上， ∴m= ，= ， ∵矩形B 的边，分别在x 轴和y 轴上， ∴B(2m，2) =2 ∴ ，B=2m， ∴ ， ∴E= ， ∴BE ，E( ， )， = ∴ ， ∵D=BD，ED B， ∴E=BE= ， 在Rt E 中， ， ∴ 整理得 ∵m 0， ∴m=4， ∴E(2，4 )， 故答为：(2，4 )． 【点睛】本题考查了矩形的性质、反比例函数k 的几何意义勾股定