专题27.7 相似三角形的证明与计算专项训练（60道）（原卷版）

专题277 相似三角形的证明与计算专项训练（60 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共60 题，针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对相似三角形的证明与 计算的理解！ 一．解答题（共30 小题） 1．（2022·辽宁·大连市第三十四中学九年级阶段练习）如图，在ΔABC中，点D在AB边上， ∠ABC=∠ACD （1）求证：ΔABC ∽ΔACD； （2）若AD=4 , AB=9求AC的长 2．（2022·广西贺州·九年级期末）如图，在矩形BD 中，B＝2，B＝3，点E 是D 的中点， F⊥BE 于点F，求F 的长． 3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在Rt △ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于 D． 求证：△ACD∽△ABC． 4．（2022·上海·九年级期末）如图，在平行四边形BD 中，B=8，点E、F 是对角线BD 上的 两点，且BE=EF=FD，E 的延长线交B 于点G，GF 的延长线交D 于点． （1）求D 的长； 1 （2）设△BEG的面积为，求四边形EF 的面积．（用含的代数式表示） 5．（2022·湖南省岳阳开发区长岭中学九年级阶段练习）已知：如图，∠BD=∠，D=2, =8， 求B． 6．（2022·全国·九年级专题练习）已知，如图，△B 中，B＝4，B＝8，D 为B 边上一点， BD＝2．求证：△BD∽△B． 7．（2022·全国·九年级专题练习）如图，∠1= 2 ∠，AB AE = AC AD ，求证：∠= D ∠． 8．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，在矩形BD 中，B=2，B=5，BP=1，∠MP=90°，将 ∠MP 绕点P 从PB 处开始顺时针方向旋转，PM 交边B 于点E，P 交边D 于点F，当PE 旋转 至P 处时，∠MP 的旋转随即停止 （1）如图2，在旋转中发现当PM 经过点时，P 也经过点D，求证：△BP PD ∽△ （2）如图3，在旋转过程中，PE PF 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说 明理由 （3）设E¿m，连结EF，则在旋转过程中，当m为何值时，△BPE 与△PEF 相似 1 9．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D 为 B 边上一点，E 为边上一点，且∠ADE=30°，求证：△ABD∽△DCE． 10．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，连接BD，CE，求CE BD 的值． 11．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△B 中，D 是角平分线，点E 是边AC上一点， 且满足∠ADE=∠B． (1)证明：Δ ADB∼Δ AED； (2)若AE=3，AD=5，求B 的长． 12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△B 与△DE 中，∠＝∠E，∠1＝∠2； 1 （1）证明：△B DE ∽△ ． （2）请你再添加一个条件，使△BDE △ ．你补充的条件为： ． 13．（2022·全国·九年级单元测试）如图，BD、E 是△ABC的高． （1）求证：△ACE∽△ABD； （2）若BD＝8，D＝6，DE＝5，求B 的长． 14．（2022·全国·九年级课时练习）如图，AB // EF // CD，E 为AD与BC的交点，F 在 BD上，求证：1 AB + 1 CD = 1 EF ． 15．（2022·全国·九年级课时练习）（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形BD 上，使直角顶点与D 重合，三角板的一边交B 于点P，另一边交B 的延长线于点Q．则DP DQ（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）将（1）中“正方形BD”改成“矩形BD”，且D＝2，D＝4，其他条件不变． ①如图2，若PQ＝5，求P 长． ②如图3，若BD 平分∠PDQ．则DP 的长为 ． 1 16．（2022·全国·九年级专题练习）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型： 如图1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠2+∠BAD=180°， ∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D ；又因为ACB=∠AED=90°，可得 △ABC ∽△DAE，进而得到BC AC =¿______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中， AB=AC=10，BC=12，点P 是B 边上的一个动点（不与B、重合），点D 是边上的一 个动点，且∠APD=∠B． ①求证：△ABP∽△PCD； ②当点P 为B 中点时，求D 的长； 拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当△APD为等腰三角形时，请直接写出BP 的长． 17．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在等边三角形B 中，点D，E 分别在B，B 上， 且∠DE＝60°．求证：△D∽△DEB． 18．（2022·全国·九年级专题练习）如图，平行四边形BD 中，点E 是B 上一线，连接E， 连接DE，F 为线段DE 上一点，且∠FE=∠B．求证：△DF∽△DE； 1 19．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上， DC与BE相交于点O，且DO=2，BO=DC=6，OE=3．求证：△DOE∽△COB． 20．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点M 为线段B 的中点，E 与BD 交于点，∠DME ＝∠＝∠B，且DM 交于点F，ME 交B 于点G 写出图中的所有相似三角形，并选择一对加 以证明． 21．（2022·全国·九年级专题练习）如图，D、E、F 分别是△ABC的三边BC ,CA , AB的 中点．求证：△≝∽△ABC． 22．（2022·福建·厦门市第五中学八年级期中）定义：若一个三角形最长边是最短边的2 倍， 我们把这样的三角形叫做“和谐三角形”．在△B 中，点F 在边上，D 是边B 上的一点，B ＝BD，点，D 关于直线l 对称，且直线l 经过点F． （1）如图1，求作点F；（用直尺和圆规作图保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，△B 是“和谐三角形”，三边长B，，B 分别，b，，且满足下列两个条件： ≠2b，和2＋42＝4＋﹣b 1 ﹣． ①求，b 之间的等量关系； ②若E 是△BD 的中线．求证：△E 是“和谐三角形”． 1 23．（2022·全国·九年级专题练习）已知：如图，在△B 中，点D、E 分别在边B、上， DE B ∥，点F 在边B 上，B2=BF•B，F 与DE 相交于点G． （1）求证：DF•B=B•DG； （2）当点E 为中点时，求证：2DF•EG=F•DG． 24．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在Rt△B 中，∠＝90°，B＝20m，＝15m，在这个 直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG 在B 上，另两个顶点E、分别在边B、 上． （1）求B 边上的高； （2）求正方形EFG 的边长． 25．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在正方形BD 中，E 是D 上的一点，F 是B 的延长 线上的一点，且E=F，BE 的延长线交DF 于点G，求证：△BGF∽△DF． 1 26．（2022·全国·九年级课时练习）如图，F 为四边形BD 边D 上一点，连接F 并延长交B 延长线于点E，已知∠D=∠DCE． （1）求证：△ADF ∽△ECF； （2）若BD 为平行四边形，AB=6，EF=2 AF，求FD 的长度． 27．（2022·安徽安庆·九年级阶段练习）如图，在正方形BD 中，对角线与BD 相交于点， 点E 是B 上的一个动点，连接DE，交于点F． （1）如图①，当CE EB =1 3时，求S△CEF S△CDF 的值； （2）如图②，当点E 是B 的中点时，过点F 作FG B ⊥于点G，求证：G=1 2BG． 28．（2022·上海市徐汇中学九年级期中）如图，已知△ABC中，AB=AC，点E 、F在 边BC上，满足∠EAF=∠C 求证：（1）BF ⋅CE=AB ❑ ❑ 2 （2）AE ❑ ❑ 2 AF ❑ ❑ 2 = CE BF ． 29．（2022·山东泰安·中考真题）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平 面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角， ∠ABC=∠CDE=90°，连接BD，AB=BD，点F 是线段CE上一点． 1 探究发现： （1）当点F 为线段CE的中点时，连接DF（如图（2），小明经过探究，得到结论： BD⊥DF．你认为此结论是否成立？_________．（填“是”或“否”） 拓展延伸： （2）将（1）中的条件与结论互换，即：若BD⊥DF，则点F 为线段CE的中点．请判断 此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 问题解决： （3）若AB=6,CE=9，求AD的长． 30．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△B 中，∠B＝2∠，点E 为的中点，D⊥B 于点 D，ED 延长后交B 的延长线于点F，求证：△EF∽△B． 31．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，在△B 和△DE 中，B＝，D＝E，且∠B＝∠DE．点 M，分别是BD，E 的中点，连接M，，M． （1）求证：△E≌△BD； （2）求证：△M∽△B； （3）若＝6，E＝4，∠E＝60°，求的长． 1 32．（2022·全国·九年级课时练习）在①DP⋅PB=CP⋅PA，②∠BAP=∠CDP，③ DP⋅AB=CD⋅PB这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证 明． 问题：如图，四边形ABCD的两条对角线交于P点，若 （填序号） 求证：△ABP∼△DCP． 33．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在梯形BD 中，D//B，∠B=90°，且B 是D，B 的 比例中项，求证：BD⊥． 34．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图，在△ABC中，过点作CD/¿ AB，E 是的中点，连 接DE 并延长，交B 于点F，交B 的延长线于点G，连接D，F (1)求证：四边形FD 是平行四边形． (2)若GB=3，BC=6，BF=3 2，求B 的长． 35．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，E 是边BC的中点， DF ⊥AE于点F． 1 (1)求证：AF BE = AD AE ． (2)已知AB=8,BC=12，求AF的长． 36．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在▱BD 中，，BD 交于点，点M 是D 的中点， 连接M 交BD 于点，＝1． (1)求证：△DM∽△B； (2)求BD 的长； (3)若△D 的面积为2，直接写出四边形BM 的面积． 37．（2022·全国·九年级课时练习）在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点E、F分别是边 AB、AD上两点，满足AE=DF，BF与DE相交于点G． （1）如图1，连接BD．求证：△DAE≌△BDF； （2）如图2，连接CG． ①求证：BG+DG=CG； ②若FG=m，GC=n，求线段DG的长（用含m、n的代数式表示）． 38．（2022·全国·九年级课时练习）将一副三角尺如图1 放置，其中D 为Rt△B 中B 边上的 高，DE，DF 分别交B，于点M 和． 1 (1)求证：△MD∽△D； (2)如图2，将Rt△DEF 绕点D 旋转，此时EF∥ B，且E，，F 共线，判断AE AD ＝AM AN 是否成 立，并给出证明． 39．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形BD 中，B==D，平分∠BD，点P 是延长线 上一点，且PD D ⊥． （1）证明：∠BD= PD ∠ ； （2）若与BD 相交于点E，B=1，E：P=2：3，求E 的长． 40．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知线段B∥D，D 与B 相交于点K，E 是线段D 上一动点， （1）若BK＝7 3K，求CD AB 的值； （2）联结BE，若BE 平分∠B，则当E＝1 2D 时，猜想线段B、B、D 三者之间有怎样的数 量关系？请写出你的结论并予以证明； （3）试探究：当BE 平分∠B，且E＝1 nD（＞2）时，线段B、B，D 三者之间有怎样的数 量关系？请直接写出你的结论，不必证明． 1 41．（2022·山东济宁·中考真题）如图,在△B 中,B=，点P 在B 上． (1)求作: PD, △ 使点D 在上，且△PD BP ∽△ ；(要求:尺规作图，保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)的条件下,若∠P=2 B ∠，求证:PD//B． 42．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在锐角三角形B 中，点D，E 分别在边，B 上， G⊥B 于点G，F⊥DE 于点F，∠EF=∠G． （1）求证：△DE∽△B； （2）若D=3，B=5，求AF AG 的值． 43．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在△B 中，点D，E，F 分别在B，B，边上，DE∥ ， EF∥ B． （1）求证：△BDE∽△EF． （2）设AF FC =1 2， ①若B＝12，求线段BE 的长； ②若△EF 的面积是20，求△B 的面积． 1 44．（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形BD 为正方形，且E 是边B 延长线上一点， 过点B 作BF⊥DE 于F 点，交于点，交D 于G 点． (1)求证：△BG∽△DGF； (2)求证：GD⋅AB=DF ⋅BG； (3)若点G 是D 中点，求GF CE 的值． 45．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△B 中，∠＝90°，＝4 m，B＝5 m，点D 在 B 上，且D＝3 m，现有两个动点P，Q 分别从点和点B 同时出发，其中点P 以1m/s 的速度 沿向终点运动；点Q 以125 m/s 的速度沿B 向终点运动，过点P 作PE∥B 交D 于点E，连 接EQ，设动点运动时间为t s（t＞0）． (1)P＝________，Q＝________．（用含t 的代数式表示） (2)连接PQ，在运动过程中，不论t 取何值时，总有线段PQ 与线段B 平行，为什么？ 46．（2022·河南洛阳·九年级期中）在△B 中，∠B＝90°，B＝，点D 在边B 上，BD=1 3 BC 将线段DB 绕点D 顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连接BE，E，以E 为斜边在其一侧作 等腰直角三角形EF，连接F． 1 (1)如图 1，当α＝180°时，请直接写出线段F 与线段BE 的数量关系； (2)当0°＜α＜180°时， ①如图2，（1）中线段F 与线段BE 的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，当B，E，F 三点共线时，连接E，判断四边形EF 的形状，并说明理由． 47．（2022·全国·九年级课时练习）如图所示，在正方形BD 中，E 是B 上的点连接AE .作 BF ⊥AE垂足为，交D 于F 作CG/¿ AE，交BF 于G. 求证：(1)CG=BH； (2)F C 2=BF ⋅GF． 48．（2022·山东淄博·八年级期末）如图1，已知矩形BD 对角线和BD 相交于点，点E 是 边B 上一点，E 与BD 相交于点F，连结E． (1)若点E 为B 的中点，求OF FB 的值． 1 (2)如图2，若点F 为B 中点，求证：E＝2BE． (3)如图2，若E⊥，BE＝1，且F＝k·BF，请用k 的代数式表示2． 49．（2022·全国·九年级课时练习）【操作发现】 如图①，在正方形BD 中，点、M 分别在边B、D 上，连结M、、M． ∠M＝45°，将△MD 绕点顺时针旋转90°，点D 与点B 重合，得到△BE．易证：△M △ ≌E， 从而得DM+B＝M． 【实践探究】 （1）在图①条件下，若＝3，M＝4，则正方形BD 的边长是 ． （2）如图②，点M、分别在边D、B 上，且B＝DM．点E、F 分别在BM、D 上，∠EF＝ 45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF 之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展】 （3）如图③，在矩形BD 中，B＝3，D＝4，点M、分别在边D、B 上，连结M，，已知 ∠M＝45°，B＝1，求DM 的长． 50．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上动点(不 与B ,C重合)．连接AE ,过点E作EF ⊥AE ,交DC于点F． (1)求证：△ABE∼△ECF； (2)连接AF，试探究当点E在BC什么位置时，∠BAE=∠EAF，请证明你的结论． 51．（2022·全国·九年级课时练习）综合与实践 问题情境：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D 为斜边B 上的动点（不与点，B 重合）． 1 (1)操作发现：如图①，当AC=BC时，把线段D 绕点逆时针旋转90°得到线段E，连接 DE，BE． ①∠CBE的度数为______； ②探究发现D 和BE 有什么数量关系，请写出你的探究过程； (2)探究证明：如图2，当BC=2 AC时，把线段D 绕点逆时针旋转90°后并延长为原来的两 倍，记为线段E． ①在点D 的运动过程中，请判断D 与BE 有什么数量关系？并证明； ②若AC=2，在点D 的运动过程中，当△CBE的形状为等腰三角形时，直接写出此时 △CBE的面积． 52．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的 中线，EF垂直平分CD，分别交AC，BC于E，F，连接DE，DF． (1)求证：△OCE∽△OFD． (2)当AE=7，BF=24时，求线段EF的长． 53．（2022·河南驻马店·九年级期末）如图1，在Rt△B 中，∠＝90°，＝B＝2❑ √2，点D、E 分别在边、B 上，D＝DE＝1 2B，连接DE．将△DE 绕点顺时针方向旋转，记旋转角为θ． （1）[问题发现] 1 ①当θ＝0°时，BE CD ＝ ； ②当θ＝180°时，BE CD ＝ ； （2）[拓展研究] 试判断：当0°≤θ＜360°时，BE CD 的大小有无变化？请仅就图2 的情形给出证明； （3）[问题解决] 在旋转过程中，BE 的最大值为 ． 54．（2022·福建泉州·九年级期中）如图1，设D 为锐角△B 内一点，∠DB= B+90° ∠ ． （1）求证：∠D+ BD=90° ∠ ； （2）如图2，过点B 作BE BD ⊥ ，BE=BD，连接E，若•BD=D•B， ①求证：△D BE ∽△ ； ②求AB⋅CD AC ⋅BD 的值． 55．（2022·全国·九年级专题练习）所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使 其中较长部分对于全部之比，等于较短部分对于该部分之比，其比值是 ❑ √5−1 2 ． (1)如图①，在△ABC中，∠＝36°，AB=AC，∠B 的平分线D 交腰B 于点D．请你根据所 学知识