专题13.6 等腰三角形的证明及计算大题专项训练（50道）（原卷版）

专题136 等腰三角形的证明及计算大题专项训练（50 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共50 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可深化学生对等腰三角形工具 的应用及构造等腰三角形！ 一．解答题（共50 小题） 1．（2022 秋•勃利县期末）如图：△B 的边B 的延长线上有一个点D，过点D 作DF⊥于 F，交B 于E，且BD＝BE，求证：△B 为等腰三角形． 2．（2022 秋•淮安区期末）如图，在△B 中，B＝，∠＝50°，B 的垂直平分线M 交于点D， 交B 于点E，求∠DB 的度数． 3．（2022 秋•林州市期末）已知△B 的两边长和b 满足❑ √a−9+¿（b 4 ﹣）2＝0． （1）若第三边长为，求的取值范围． （2）若△B 是等腰三角形，求△B 的周长． 4．（2022 秋•河东区校级期中）如图1，点、D 在y 轴正半轴上，点B、分别在x 轴上，D 平分∠B 与y 轴交于D 点，∠＝90°﹣∠BD． 1 （1）求证：＝B； （2）如图2，点的坐标为（4，0），点E 为上一点，且∠DE＝∠DB，求B+E 的长． 5．（2022 秋•武冈市期中）已知如图，△B 中，EF∥B，交B、于E、F，∠B 的平分线交EF 于点． （1）求证：E＝BE； （2）若EF＝BE+F，求证：平分∠B． 6．（2022 秋•盘龙区期末）如图，在△B 中，B＝，点D、E、F 分别在B、B、边上，且BE ＝F，BD＝E． （1）求证：△DEF 是等腰三角形； （2）当∠＝50°时，求∠DEF 的度数． 7．（2022 秋•大石桥市期末）如图，△B 是等边三角形，延长B 到点E，使E¿ 1 2B，若D 是 的中点，连接ED 并延长交B 于点F． （1）若F＝3，求D 的长； （2）证明：DE＝2DF． 1 8．（2022 春•大埔县期末）如图，△B 是等边三角形，△E 是等腰三角形，∠E＝120°，E＝ E，F 为B 中点，连接F． （1）直接写出∠BE 的度数为 ； （2）判断F 与E 的位置关系，并说明理由． 9．（2022 秋•宁明县期末）如图，在△B 中，＝B，∠B＝120°，E⊥B 于点D，且DE＝D． 求证：△EB 为等边三角形． 10．（2022 春•二七区校级期中）在△B 中，B＝，D 是直线B 上一点，以D 为一边在D 的 右侧作△DE，使E＝D，∠DE＝∠B，连接E．设∠B＝α，∠BE＝β． （1）如图（1），点D 在线段B 上移动时，①角α 与β 之间的数量关系是 ； ②若线段B＝2，点到直线B 的距离是3，则四边形DE 周长的最小值是 ； （2）如图（2），点D 在线段B 的延长线上移动时， ①请问（1）中α 与β 之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由； ②线段B、D、E 之间的数量是 ． 11．（2022 秋•台江区期末）如图，已知∠B＝∠D＝90°，B＝D，＝E． 1 （1）求证：∠B＝∠D； （2）过点E 作ME∥B，交的延长线于点M，过点M 作MP⊥D，交D 的延长线于点P． ①连接PE，交M 于点，证明M 垂直平分PE； ②点是直线E 上的动点，当M+P 的值最小时，证明点与点E 重合． 12．（2022 春•市南区期末）如图，Rt△B 中，∠B＝90°，D 是B 上一点，BD＝B，过点D 作B 的垂线交于点E，求证：BE 垂直平分D． 13．（2022 秋•平房区期末）如图，点D、E 在△B 的边B 上，D＝E，BD＝E． （1）求证：B＝； （2）若∠B＝108°，∠DE＝36°，直接写出图中除△B 与△DE 外所有的等腰三角形． 14．（2022 秋•河西区期末）如图，在△B 中，B＝，点D 在上，且BD＝B＝D，求△B 各角 的度数． 15．（2022 秋•巩义市期末）如图，在Rt△B 中，∠＝90°，∠＝60°，B＝12m，若点P 从点 B 出发以2m/s 的速度向点运动，点Q 从点出发以1m/s 的速度向点运动，设P、Q 分别从 1 点B、同时出发，运动的时间为ts． （1）用含t 的式子表示线段P、Q 的长； （2）当t 为何值时，△PQ 是以PQ 为底边的等腰三角形？ （3）当t 为何值时，PQ∥B？ 16．（2022 秋•清江浦区校级月考）如图，在△B 中，∠B＝90°，B＝16m，B＝12m，＝ 20m，P、Q 是△B 边上的两个动点，其中点P 从点开始沿→B 方向运动，且速度为每秒 1m，点Q 从点B 开始沿B→→方向运动，且速度为每秒2m，它们同时出发，设出发的 时间为t 秒． （1）BP＝ （用t 的代数式表示） （2）当点Q 在边B 上运动时，出发几秒后，△PQB 是等腰三角形？ （3）当点Q 在边上运动时，出发 秒后，△BQ 是以B 或BQ 为底边的等腰三角形？ 17．（2022 春•渠县校级期末）已知：如图，B＝，D 是B 上一点，DE⊥B 于点E，ED 的 延长线交的延长线于点F．求证：△DF 是等腰三角形． 18．（2022 秋•北仑区期中）（1）如图1，△B 中，作∠B、∠B 的角平分线相交于点，过点 作EF∥B 分别交B、于E、F． ①求证：E＝BE； ②若△B 的周长是25，B＝9，试求出△EF 的周长； （2）如图2，若∠B 的平分线与∠B 外角∠D 的平分线相交于点P，连接P，试探求∠B 与 1 ∠P 的数量关系式． 19．（2022 秋•余干县期中）如图，在四边形BD 中，B＝D，∠B＝∠D． 求证：B＝D． 20．（2022 春•焦作期末）如图，在等边三角形B 中∠B，∠的平分线相交于点，作B，的垂 直平分线分别交B 于点E 和点F．小明说：“E，F 是B 的三等分点．”你同意他的说 法吗？请说明理由． 21．（2022 秋•工业区期末）已知：如图，在四边形BD 中，∠B＝∠D＝90°，点E 是的中点． （1）求证：△BED 是等腰三角形： （2）当∠BD＝ °时，△BED 是等边三角形． 22．（2022 春•梅州校级期末）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，∠＝30°，B＝1．将三角板中 30°角的顶点D 放在B 边上移动，使这个30°角的两边分别与△B 的边，B 相交于点E， F，且使DE 始终与B 垂直． （1）△BDF 是什么三角形？请说明理由； （2）设D＝x，F＝y，试求y 与x 之间的函数关系式；（不用写出自变量x 的取值范 1 围） （3）当移动点D 使EF∥B 时，求D 的长． 23．（2022 秋•阳新县校级期末）如图1，在Rt△B 中，∠B＝90°，∠B＝30°＝1 点D 为上一 动点，连接BD，以BD 为边作等边△BDE，E 的延长线交B 的延长线于F，设D＝， （1）当＝1 时，则F＝ ； （2）当0＜＜1 时，如图2，在B 上截取B＝D，连接E，求证：△E 为等边三角形． 24．（2022•宁德一模）如图，已知△B 中，∠B＝∠B，以点B 为圆心，B 长为半径的弧分别 交，B 于点D，E，连接BD，ED． （1）写出图中所有的等腰三角形； （2）若∠ED＝114°，求∠BD 和∠B 的度数． 25．（2022 秋•平舆县期末）如图，在△B 中，∠B＝45°，点P 为边B 上的一点，B＝3BP， 且∠PB＝15°，点关于直线P 的对称点为D，连接BD，又△P 的P 边上的高为 （1）求∠BPD 的大小； （2）判断直线BD，是否平行？并说明理由； （3）证明：∠BP＝∠． 1 26．（2022 春•本溪县期中）如图，△B 中，D⊥B，EF 垂直平分，交于点F，交B 于点E， 且BD＝DE． （1）若∠BE＝40°，求∠的度数； （2）若△B 周长为20m，＝8m，求D 长． 27．（2022 秋•澧县期末）如图，一只船从处出发，以18 海里/时的速度向正北航行，经过 10 小时到达B 处．分别从、B 处望灯塔，测得∠＝42°，∠B＝84 度．求B 处与灯塔距离． 28．（2022 春•西安期末）如图，在△B 中，DE 是的垂直平分线，E＝5m，△BD 的周长为 17m，求△B 的周长． 29．（2022 春•嵩县期末）如图所示．点P 在∠B 的内部，点M、分别是点P 关于直线、B 的对称点，线段M 交、B 于点E、F． （1）若M＝20m，求△PEF 的周长． （2）若∠B＝35°，求∠EPF 的度数． 1 30．（2022 秋•沂南县期末）如图，D 为△B 的角平分线，DE⊥B 于点E，DF⊥于点F，连 接EF 交D 于点． （1）求证：D 垂直平分EF； （2）若∠B＝60°，写出D 与D 之间的数量关系，不需证明． 31．（2022 秋•张家港市校级期末）如图：D 为△B 的高，∠B＝2∠，用轴对称图形说明：D ＝B+BD． 32．（2022 春•锦江区校级期末）操作实验： 如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称． 所以△BD≌△D，所以∠B＝∠． 归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等． 根据上述内容，回答下列问题： 思考验证：如图（4），在△B 中，B＝．试说明∠B＝∠的理由； 1 探究应用：如图（5），B⊥B，垂足为B，D⊥B，垂足为．E 为B 的中点，B＝B， E⊥BD． （1）BE 与D 是否相等，为什么？ （2）小明认为是线段DE 的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由； （3）∠DB 与∠DB 相等吗？试说明理由． 33．（2022•海丰县模拟）如图，在△B 中，B＝，点D 是B 的中点，点E 在D 上．求证： BE＝E（要求：不用三角形全等的方法） 34．（2022 春•余杭区期末）如图，已知△B 中，B＝，B＝6，M 平分∠B，D 为的中点，E 为B 延长线上一点，且E¿ 1 2B． （1）求ME 的长； （2）求证：△DM 是等腰三角形． 35．（2022•白城校级模拟）在△B 中，B＝，点D 是线段B 上一点（不与B、重合），以D 为一边在D 的右侧作△DE，使D＝E，∠DE＝∠B，连接E． （1）如图1，如果∠B＝90°，则∠BE＝ ； （2）如图2，设∠B＝α，∠BE＝β．当点D 在线段B 上移动时，请写出α，β 之间的数量 关系，请说明理由． 1 36．（2022 秋•乐亭县期末）若、b 是△B 的两边且| 3|+ ﹣ （b 4 ﹣）2＝0 （1）试求、b 的值，并求第三边的取值范围． （2）若△B 是等腰三角形，试求此三角形的周长． （3）若另一等腰△DEF，其中一内角为x°，另一个内角为（2x 20 ﹣ ）°试求此三角形各 内角度数． 37．（2022 秋•盂县期末）将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板B 的斜边B 与含30°角 的直角三角板DBE 的直角边BD 长度相同，且斜边B 与BE 在同一直线上，与BD 交于 点，连接D． 求证：△D 是等腰三角形． 38．（2022 秋•龙门县期中）如图，在△B 中，B＝，点D、E、F 分别在B、B、边上，且 BE＝F，BD＝E． （1）求证：△DEF 是等腰三角形； （2）求证：∠B＝∠DEF； （3）当∠＝40°时，求∠DEF 的度数． 1 39．（2022 春•静安区校级期末）已知：如图，在△B 中，∠B＝3∠，∠1＝∠2，BE⊥E． 求证：﹣B＝2BE． 40．（2022 秋•秦淮区校级期中）在△B 中，∠B＝2∠，BD 平分∠B，交于D，E⊥BD，垂足 为E．求证：＝2BE． 41．（2022 秋•滑县校级期末）已知△B 为等边三角形，D 为的中点，∠EDF＝120°，DE 交 线段B 于E，DF 交直线B 于F． （1）如图（1），求证：DE＝DF； （2）如图（2），若BE＝3E，求证：F¿ 1 4 B． （3）如图（3），若BE¿ 1 3E，则F＝ B；在图（1）中，若BE＝4E，则F＝ B． 42．（2022 春•峄城区期末）如图，在等边三角形B 中，点D，E 分别在边B，上，且 DE∥B，过点E 作EF⊥DE，交B 的延长线于点F． （1）求证：△EF 是等腰三角形； （2）若D＝2，求DF 的长． 43．（2022 秋•红山区期末）如图1，点P、Q 分别是边长为4m 的等边△B 边B、B 上的动 点，点P 从顶点，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1m/s， 1 （1）连接Q、P 交于点M，则在P、Q 运动的过程中，∠MQ 变化吗？若变化，则说明 理由，若不变，则求出它的度数； （2）何时△PBQ 是直角三角形？ （3）如图2，若点P、Q 在运动到终点后继续在射线B、B 上运动，直线Q、P 交点为 M，则∠MQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 44．（2022•南京模拟）数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？ 丙图中有几对全等三角形？丁图中有几对等边三角形？ 45．（2022 秋•五河县期末）如图，过等边△B 的边B 上一点P，作PE⊥于E，Q 为B 延长 线上一点，且P＝Q，连PQ 交边于D． （1）求证：PD＝DQ； （2）若△B 的边长为1，求DE 的长． 46．（2022•南京模拟）如图，∠B＝30°，点P 是∠B 的平分线上的一点，PD⊥于D，PE∥交 B 于E，已知E＝10m，求PD 的长度． 1 47．（2022 春•青浦区校级期末）如图，在△B 中，∠B＝90°，B＝，E 是过的一条直线，且 B，在E 的两侧，D 在，E 之间，BD⊥E 于D，E⊥E 于E，求证：BD＝DE+E． 48．（2022 秋•龙华区期末）如图，已知直线l1∥l2∥l3，点E、F 分别在l3、l1上，Rt△B 的直 角顶点在直线l1上，点B 在直线l2上，点在直线l3上，l2与交于点D，且∠B＝25°，∠BE ＝25°． （1）求证：△BD 是等腰三角形； （2）求∠BF 的度数． 49．（2022 春•电白区期末）如图，已知△B 是边长为3m 的等边三角形，动点P、Q 同时从、 B 两点出发，分别沿B、B 方向匀速移动，它们的速度都是1m/s，当点P 到达点B 时， P、Q 两点停止运动，设点P 的运动时间为t（s），则 （1）BP＝ m，BQ＝ m．（用含t 的代数式表示） （2）当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形？ 50．（2022•南京模拟）如图，在等边△B 的三边上分别取点D、E、F，使D＝BE＝F． （1）试说明△DEF 是等边三角形； （2）连接E、BF、D，两两相交于点P、Q、R，则△PQR 为何种三角形？试说明理由． 1 1