专题5.3 平行线四大模型专项训练（40道）（原卷版）

专题53 平行线四大模型专项训练（40 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共40 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平行线四大模型的 综合问题的所有类型！ 【模型1 “铅笔”模型】 1．（2022·湖南·永州市剑桥学校七年级阶段练习）如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝ 140°，则∠3 的度数为( ) ．55° B．60° ．65° D．70° 2．（2022·贵州六盘水·七年级期中）如图所示，若B EF ∥ ，用含α、β、γ的式子表示x，应 为（ ） ．α+β+γ B．β+γ−α ．180°−α−γ+β D．180°+α+β−γ 3．（2022·甘肃·北京师范大学庆阳实验学校七年级期中）如图，如果B∥D，那么∠B＋∠F 1 ＋∠E＋∠D＝___°． 4．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示，AB/¿CD，∠ABE与∠CDE的角平分线相 较于点F，∠E=80°，求∠BFD的度数 5．（2022·全国·七年级专题练习）已知如图所示，AB/¿CD，∠ABE=3∠DCE， ∠DCE=28°，求∠E的度数 6．（2022·全国·七年级）(1)问题情景：如图1，B//D，∠PB=130°，∠PD=120°，求∠P 的度 数． 小明想到一种方法，但是没有解答完： 如图2，过P 作PE//B，∴∠PE+∠PB=180°， ∴∠PE=180°-∠PB=180°-130°=50° ∵B//D，∴PE//D． …… 请你帮助小明完成剩余的解答． (2)问题迁移：请你依据小明的解题思路，解答下面的问题： 如图3，D//B，当点P 在、B 两点之间时，∠DP= α ∠，∠BP= β ∠，则∠PD，∠α，∠β 之间有 何数量关系？请说明理由． 1 7．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，四边形MNBD为一张长方形纸片． （1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE 、∠AEC 、∠ECD），则 ∠BAE+∠AEC+∠ECD=¿__________°． （2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（ ∠BAE 、∠AEF 、∠EFC 、∠FCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=¿ __________°． （3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（ ∠BAE 、∠AEF 、∠EFG 、∠FGC 、∠GCD），则 ∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=¿___________°． （4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出(n+1)个角，那么这(n+1) 个角的和是____________°． 8．（2022·安徽合肥·七年级期末）问题情景：如图1，B∥D，∠PB＝140°，∠PD＝135°，求 ∠P 的度数． （1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∠P＝85°，请补全她的推理依据． 如图2，过点P 作PE∥B， 因为B∥D，所以PE∥D．（ ） 所以∠+∠PE＝180°，∠+∠PE＝180°．（ ） 因为∠PB＝140°，∠PD＝135°，所以∠PE＝40°，∠PE＝45°， 1 ∠P＝∠PE+∠PE＝85°． 问题迁移： （2）如图3，D∥B，当点P 在、B 两点之间运动时，∠DP＝∠α，∠BP＝∠β，求∠PD 与 ∠α、∠β 之间有什么数量关系？请说明理由． （3）在（2）的条件下，如果点P 在、B 两点外侧运动时（点P 与点、B、三点不重合）， 请直接写出∠PD 与∠α、∠β 之间的数量关系． 【模型2 “猪蹄”模型】 9．（2022·全国·七年级）如图所示，直角三角板的60°角压在一组平行线上，AB∥CD， ∠ABE=40°，则∠EDC=¿______度． 10．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图： (1)如图1，AB∥CD，∠ABE=45°，∠CDE=21°，直接写出∠BED的度数． 1 (2)如图2，AB∥CD，点E为直线AB，CD间的一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE， 写出∠BED与∠F之间的关系并说明理由． (3)如图3，AB与CD相交于点G，点E为∠BGD内一点，BF平分∠ABE，DF平分 ∠CDE，若∠BGD=60°，∠BFD=95°，直接写出∠BED的度数． 11．（2022·江苏常州·七年级期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F 分别在直 线B，D 上． (1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，试猜想∠P=¿______°； (2)探究：在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展：将图①变为图②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数． 12．（2022·山东聊城·七年级阶段练习）已知直线B//D，EF 是截线，点M 在直线B、D 之 间． (1)如图1，连接GM，M．求证：∠M＝∠GM＋∠M； (2)如图2，在∠G 的角平分线上取两点M、Q，使得∠GM＝∠GQ．试判断∠M 与∠GQ 之间 的数量关系，并说明理由． 13．（2022·广东韶关·七年级期中）如图1，点A、B分别在直线GH、MN上， ∠GAC=∠NBD，∠C=∠D （1）求证：GH /¿ MN；（提示：可延长AC交MN于点P进行证明） （2）如图2，AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED=∠GAC，求∠GAC与 1 ∠ACD之间的数量关系； （3）在（2）的条件下，如图3，BF平分∠DBM，点K在射线BF上， ∠KAG=1 3 ∠GAC，若∠AKB=∠ACD，直接写出∠GAC的度数． 14．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，已知AB/¿CD，BE平分∠ABC，DE平 分∠ADC，求证：∠E=1 2 (∠A+∠C ) 15．（2022·浙江工业大学附属实验学校七年级期中）已知B//D． （1）如图1，E 为B，D 之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D； （2）如图，连接D，B，BF 平分∠B，DF 平分∠D，且BF，DF 所在的直线交于点F． ①如图2，当点B 在点的左侧时，若∠B＝50°，∠D＝60°，求∠BFD 的度数． ②如图3，当点B 在点的右侧时，设∠B＝α，∠D＝β，请你求出∠BFD 的度数．（用含有 α，β 的式子表示） 16．（2022·全国·七年级）如图1，B//D，E 是B，D 之间的一点． (1)判定∠BE，∠DE 与∠ED 之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若∠BE，∠DE 的角平分线交于点F，直接写出∠FD 与∠ED 之间的数量关系； (3)将图2 中的射线D 沿DE 翻折交F 于点G 得图3，若∠GD 的余角等于2∠E 的补角，求 ∠BE 的大小． 17．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级阶段练习）如图1，已知B∥D，∠B 1 ＝30°，∠D＝120°； (1)若∠E＝60°，则∠F＝ ； (2)请探索∠E 与∠F 之间满足的数量关系？说明理由； (3)如图2，已知EP 平分∠BEF，FG 平分∠EFD，反向延长FG 交EP 于点P，求∠P 的度数． 18．（2022·河南·商丘市第十六中学七年级期中）已知B∥D，线段EF 分别与B，D 相交于 点E，F． （1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答： 如图1，当点P 在线段EF 上时，已知∠＝35°，∠＝62°，求∠P 的度数； 解：过点P 作直线P∥B， 所以∠＝∠P，依据是 ； 因为B∥D，P∥B， 所以P∥D，依据是 ； 所以∠＝（ ）， 所以∠P＝（ ）+（ ）＝∠+∠＝97°． （2）当点P，Q 在线段EF 上移动时（不包括E，F 两点）： ①如图2，∠PQ+∠PQ＝∠+ +180° ∠ 成立吗？请说明理由； ②如图3，∠PM＝2∠MPQ，∠QM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出 ∠M，∠与∠的数量关系． 19．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在 MN，ST之间，且满足∠MAC+∠ACB+∠SBC ¿360°． （1）证明：MN // ST； （2）如图2，若∠ACB=60°，AD // CB，点E在线段BC上，连接AE，且 1 ∠DAE=2∠CBT，试判断∠CAE与∠CAN的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若∠ACB=180° n （n为大于等于2的整数），点E在线段BC上，连接AE， 若∠MAE=n∠CBT，则∠CAE:∠CAN=¿______． 20．（2022·重庆江北·七年级期末）如图1，AB//CD，点E、F分别在AB、CD上，点O 在直线AB、CD之间，且∠EOF=100°． （1）求∠BEO+∠OFD的值； （2）如图2，直线MN分别交∠BEO、∠OFC的角平分线于点M、N，直接写出 ∠EMN−∠FNM的值； （3）如图3，EG在∠AEO内，∠AEG=m∠OEG；FH在∠DFO内， ∠DFH=m∠OFH，直线MN分别交EG、FH分别于点M、N，且 ∠FMN−∠ENM=50°，直接写出m的值． 21．（2022·黑龙江哈尔滨·七年级期末）已知，B∥D，点E 在D 上，点G，F 在B 上，点在 B，D 之间，连接FE，E，G，∠G＝∠FED，FE⊥E，垂足为E． 1 （1）如图1，求证：G⊥E； （2）如图2，GM 平分∠GB，EM 平分∠ED，GM，EM 交于点M，求证：∠GE＝2∠GME； （3）如图3，在（2）的条件下，FK 平分∠FE 交D 于点K，若∠KFE：∠MG＝13：5，求 ∠ED 的度数． 22（2022·广西柳州·七年级期中）已知直线a∥b，直线EF 分别与直线，b 相交于点E， F，点，B 分别在直线，b 上，且在直线EF 的左侧，点P 是直线EF 上一动点（不与点E， F 重合），设∠PE＝∠1，∠PB＝∠2，∠PBF＝∠3． (1)如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2； (2)当点P 在线段EF 外运动时有两种情况． ①如图2 写出∠1，∠2，∠3 之间的关系并给出证明； ②如图3 所示，猜想∠1，∠2，∠3 之间的关系（不要求证明）． 【模型3 “臭脚”模型】 1 23．（2022·全国·八年级课时练习）（1）已知：如图（），直线DE∥AB．求证： ∠ABC+∠CDE=∠BCD； （2）如图（b），如果点在B 与ED 之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就 本题作出什么新的猜想？ 24．（2022·全国·七年级）已知，AE/¿ BD，∠A=∠D． （1）如图1，求证：AB/¿CD； （2）如图2，作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若∠CFG 的平分线交线段AG于点H，连接AC，若∠ACE=∠BAC+∠BGM，过点H作 HM ⊥FH交FG的延长线于点M，且3∠E−5∠AFH=18°，求∠EAF+∠GMH的 度数． 25．（2022·广东·东莞市光明中学七年级期中）（1）如图（1）B∥D，猜想∠BPD 与∠B、 ∠D 的关系，说出理由． 1 （2）观察图（2），已知B∥D，猜想图中的∠BPD 与∠B、∠D 的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知B∥D，猜想图中的∠BPD 与∠B、∠D 的关系，不需要说明 理由． 26．（2022·浙江台州·七年级期末）如图，已知AD⊥AB于点，E∥D 交BC于点E，且 EF ⊥AB于点F． 求证：∠C=∠1+∠2． 证明：∵AD⊥AB于点，EF ⊥AB于点F，（已知） ∴∠DAB=∠EFB=90°．（垂直的定义） ∴D∥EF，（ ） __________ ∴ ¿∠1（ ） ∵E∥D，（已知） ∴∠C=¿________．（两直线平行，同位角相等） ∵∠AEB=∠AEF+∠2， ∴∠C=∠1+∠2．（等量代换） 27．（2022·广东珠海·七年级期中）已知AM /¿CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B． （1）如图1，点B在两条平行线外，则∠A与∠C之间的数量关系为______； 1 （2）点B在两条平行线之间，过点B作BD⊥AM于点D． ①如图2，说明∠ABD=∠C成立的理由； ②如图3，BF平分∠DBC交DM于点F ,BE平分∠ABD交DM于点E．若 ∠FCB+∠NCF=180° ,∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数． 28．（2022·湖南·新田县云梯学校七年级阶段练习）①如图1，AB ∥ CD，则 ∠A+∠E+∠C=360°；②如图2，AB ∥ CD，则∠P=∠A−∠C；③如图3，AB ∥ CD，则∠E=∠A+∠1；④如图4，直线AB ∥ CD ∥ EF，点O在直线EF上，则 ∠α−∠β+∠γ=180°．以上结论正确的个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【模型4 “铅笔”模型】 29．（2022·福建·浦城县师进修学校八年级期中）如图，直线M B ∥，∠=70°，∠B=40°，则 ∠P=___________度． 30．（2022·江苏·景山中学七年级阶段练习）如图，若AB // CD，则∠1+ 3- 2 ∠ ∠的度数为__ ____ 1 31．（2022·湖北·浠水县兰溪镇兰溪初级中学七年级期中）如图，已知AB // DE， ∠B=80°，∠DE=140°，则∠BD=_____． 32．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，B∥D，∠E＝37°，∠＝ 20°，则∠EB 的度数为 __________． 33．（2022·全国·七年级）如图，如果B∥EF，EF∥D，则∠1，∠2，∠3 的关系式__________． 34．（2022·全国·九年级专题练习）已知B//D ，求证：∠B＝∠E＋∠D 35．（2022·浙江·七年级期中）为更好地理清平行线与相关角的关系，小明爸爸为他准备了 四根细直木条AB、BC，CD、DE，做成折线ABCDE，如图1，且在折点B、、D 处均 可自由转出． 1 （1）如图2，小明将折线调节成∠B=50° ,∠C=75° ,∠D=25°，判别AB是否平行于 ED，并说明理由； （2）如图3，若∠C=∠D=25°，调整线段AB、BC使得AB/¿CD，求出此时∠B的 度数，要求画出图形，并写出计算过程． （3）若∠C=85° ,∠D=25° , AB/¿ DE，求出此时∠B的度数，要求画出图形，直接 写出度数，不要求计算过程． 36．（2022·山西晋中·七年级期中）综合与探究 【问题情境】 王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动 （1）如图1，EF // MN，点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点， 请直接写出∠PAF、∠PBN和∠APB之间的数量关系； 【问题迁移】 （2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m // n，直线m分别交OM、ON于点A、 D，直线n分别交OM、ON于点B、C，点P在射线OM上运动， ①当点P在A、B（不与A、B重合）两点之间运动时，设∠ADP=∠α， ∠BCP=∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由． ②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A、B、O三点都不重合），请你画出满足条件 的所有图形并直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系． 1 37．（2022·湖北武汉·七年级阶段练习）如图1，M∥PQ，点、B 分别在直线M、PQ 上，点 在直线M、PQ 之间． （1）求证：∠B＝∠M+∠PB； （2）如图2，D∥B，点E 在PQ 上，∠E＝∠B，求证：∠M＝∠DE； （3）如图3，BF 平分∠BP，G 平分∠，F∥G．若∠B＝60°，求∠FB 的度数． 38．（2022·全国·七年级专题练习）（1）如图，B//D，F 平分∠DE，若∠DF=30°， ∠E=20°，求∠BE 的度数； （2）如图，B//D，∠EBF=2∠BF，F 平分∠DE，若∠F 的2 倍与∠E 的补角的和为190°，求 ∠BE 的度数． （3）如图，P 为（2）中射线BE 上一点，G 是D 上任一点，PQ 平分∠BPG，G//PQ，GM 平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MG 的度数． 39．（2022·江苏·扬州中学育集团树人学校七年级阶段练习）已知直线B∥D，P 为平面内一 点，连接P、PD． （1）如图1，已知∠＝50°，∠D＝150°，求∠PD 的度数； （2）如图2，判断∠PB、∠DP、∠PD 之间的数量关系为 ． 1 （3）如图3，在（2）的条件下，P⊥PD，D 平分∠PD，若∠P+1 2∠PB＝∠PD，求∠D 的度 数． 40．（2022·浙江杭州·七年级期中）已知，B∥D．点M 在B 上，点在D 上． （1）如图1 中，∠BME、∠E、∠ED 的数量关系为： ；（不需要证明） 如图2 中，∠BMF、∠F、∠FD 的数量关系为： ；（不需要证明） （2）如图3 中，E 平分∠FD，MB 平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME 的度数； （3）如图4 中，∠BME＝60°，EF 平分∠ME，P 平分∠ED，且EQ∥P，则∠FEQ 的大小是否 发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ 的度数． 1