专题18.10 四边形中动点问题的五大题型专项训练（40道）（原卷版）

专题1810 四边形中动点问题的五大题型专项训练 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共40 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对四边形中的动点 问题的理解！ 【类型1 面积问题】 1（2022 秋·河北邯郸·八年级统考期末）如图，长方形ABCD中，AB=3cm，BC=2cm， 点P从A出发，以1cm/s的速度沿A →B→C运动，最终到达点C，在点P运动了3 秒后点 Q开始以2cm/s的速度从D运动到A，在运动过程中，设点P的运动时间为t，则当△APQ 的面积为2cm 2时，t的值为________． 2（2022 春·江苏苏州·八年级校考期中）E、F是线段AB上的两点，且AB=16，AE=2， BF=4，点G是线段EF上的一动点，分别以AG、BG为斜边在AB同侧作两个等腰直角三 角形，直角顶点分别为D、C，如图所示，连接CD并取中点P，连接PG，点G从E点出发 运动到F点，则线段PG扫过的图形面积为______． 3（2022 秋·重庆大足·八年级统考期末）如图1，两个等腰直角三角形△ABC 、△EDC的 顶点C重合，其中∠ABC=∠EDC=90°，连接AE，取AE中点F，连接BF , DF． 1 (1)如图1，当B 、C 、D三个点共线时，请猜测线段BF 、FD的数量关系，并证明； (2)将△EDC绕着点C顺时针旋转一定角度至图2 位置，根据“AE中点F”这个条件，想 到取AC与EC的中点G 、H，分别与点F相连，再连接BG , DH，最终利用 △BGF ≌△FHD（SAS）证明了（1）中的结论仍然成立．请你思考当△EDC绕着点C 继续顺时针旋转至图3 位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明你的结论； 若不成立，请说明理由； (3)连接BD，在△EDC绕点C旋转一周的过程中，△BFD的面积也随之变化．若 AC=5 ❑ √2,CB=3 ❑ √2，请直接写出△BFD面积的最大值． 4（2022 秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）如图，在平面直角坐标 系中，为坐标原点，点和点B 分别在y 轴和x 轴上，连接AB，点为AB的中点， OA=OB=12． (1)求点坐标； (2)点P 从点出发沿x 轴正方向以每秒2 个单位的速度运动，连接AP、CP，点P 的运动时 间为t 秒，△ACP的面积为S，求用含t 的式子表示S； (3)在（2）的条件下，在y 轴负半轴上有一点Q，连接BQ，过点作AD⊥BQ于点D，AD 与CP交于点E，与x 轴交于点F，当∠BPC=2∠OBQ时，OQ=CE，求此时点Q 的坐 标． 5（2022 秋·吉林·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，E 为AB的中点，以为原点，AB、 AD所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系．正方形ABCD的边长是方程 1 x 2−8 x+16=0的根．点P 从点B 出发，沿BC －CD向点D 运动，同时点Q 从点E 出发， 沿EB−BC向点运动，点P 的速度是每秒2 个单位长度，点Q 的速度是每秒1 个单位长度． 当点P 运动到点D 时，P、Q 两点同时停止运动，设点P 运动的时间为t 秒，△AQP的面 积为S． (1)求点的坐标； (2)求S 关于t 的函数关系式； (3)当△AQP是以AP为底边的等腰三角形时，直接写出点P 的坐标． 6（2022 春·八年级衡水期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4．过点A作 对角线BD的平行线与边CD的延长线相交于点E，P为边BD上的一个动点（不与端点B， D重合），连接PA，PE，AC． (1)求证：四边形ABDE是平行四边形． (2)求四边形ABDE的周长和面积． (3)记△ABP的周长和面积分别为C1和S1，△PDE的周长和面积分别为C2和S2，在点P的 运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：①C1+C2，②S1+S2，如果是定值的，请 直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围． 7（2022 春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学期末）如图1，点O为长方形ABCD的中心，x轴 ∥BC，y轴¿/ AB，AB=6，BC=12． (1)直接写出A、B的坐标； 1 (2)如图2，若点P从C点出发以每秒2个单位长度向CB方向匀速移动(不超过点B)，点Q从 B点出发以每秒1个单位长度向BA方向匀速移动(不超过点A )，连接DP、DQ，在点P、 Q移动过程中，四边形PBQD的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化 范围． (3)如图3，若矩形MNRS中，MN=4，NR=2，M (−8,0)，MS在x轴上，矩形MNRS以 每秒1个单位长度向右平移t(t>0)秒得到矩形M ' N ' R' S'，点M '、N '、R'、S'分别为 M、N、R、S的对应点，与此同时，点G从点O出发，沿矩形OEDF的边以每秒2个单位 长度的速度顺时针方向运动(即O→E→D→F →O→E …)连接GM '，GN '，点H为 GN '的中点，当△GM ' N '的面积为12时，请直接写出t的值及对应的点H坐标． 8（2022 秋·吉林长春·八年级长春市第八十七中学校考期末）如图，长方形ABCD中， AD∥BC，∠B=90°，AD=BC=10cm，AB=4 cm，动点P 从点B 出发，以每秒 1cm的速度沿B→A →D的方向，向终点D 运动；动点Q 从点B 出发以每秒1cm的速度 沿B→C的方向向终点运动．以PQ为边向右上方作正方形PQMN，其中一个动点到达终 点时，另一个动点也随之停止运动，设点P 、Q同时出发，运动时间为t 秒（t ＞0）． (1)当0＜t ＜4时，AP＝______（用含t 的代数式表示）； (2)当点落在AD边上时，求t 的值； (3)当正方形PQMN与长方形ABCD的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S（用含t 的代数式表示）； (4)请直接写出当t 满足什么条件时，正方形PQMN与长方形ABCD的重叠部分为三角形． 【类型2 线段最值问题】 9（2022 春·广东深圳·八年级校考期中）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E 为CD 边的中点，点P、Q 为BC边上的两个动点，且PQ=2，当BP=¿（ ）时，四边形APQE 的周长最小． ．3 B．4 ．5 D．2❑ √2 1 10（2022 春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E 在BC边上，且BE=3，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作正方形EFGH， 且点H在矩形ABCD内，连接CH，则CH的最小值为( )． ．3 B．4 ．❑ √8 D．❑ √10 11（2022 秋·甘肃兰州·八年级统考期中）如图正方形ABCD的面积为24，△ABE是等边三 角形，点E 在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，要使PD+PE最小，则这个 最小值为（ ） ．❑ √3 B．2❑ √3 ．2❑ √6 D．❑ √6 12（2022 秋·甘肃兰州·八年级校考期中）在边长为4 的正方形ABCD中，E 是AB边上的一 点，且AE=3，点Q 为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为（ ） ．4 B．5 ．6 D．7 13（2022 春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E 在BC边上，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且 点G在矩形ABCD内，连接CG，则CG的最小值为（ ） 1 ．3 B．2 ．1 D．❑ √3 14（2022 秋·浙江宁波·八年级校考期中）（1）如图1，在等腰Rt △ABC中，AC=BC=4， ∠ACB=90°，D 是BC边的中点，E 是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是______． （2）如图2，在正△ABC中，AB=4，P、M、分别是BC ,CA , AB上的动点， ①PM +MN的最小值为______；②求PM +MN +NP的最小值． （3）如图3，正方形ABCD的边长为4，E、F 分别是边AB和BC上的动点且始终满足 AE=BF，连结DE , DP，求DE+DF的最小值． 15（2022 秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）问题提出： (1)如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P为高AE上的动点，过点 P作PH ⊥AC于H，则PH AP 的值为________． 问题探究： (2)如图2，在平面直角坐标系中，直线y=−❑ √3 x+2❑ √3与x轴、y轴分别交于点A、B．若 点P是直线AB上一个动点，过点P作PH ⊥OB于H，求OP+PH的最小值． 问题解决： (3)如图3，在平面直角坐标系中，长方形OABC的OA边在x轴上，OC在y轴上，且B (6,8)． 点D在OA边上，且OD=2，点E在AB边上，将△ADE沿DE翻折，使得点A恰好落在 OC边上的点A '处，那么在折痕DE上是否存在点P使得 ❑ √2 2 EP+ A ' P最小，若存在，请求 最小值，若不存在，请说明理由． 16（2022 春·全国·八年级专题练习）已知∶如图1，点D 在△ABC外，∠BAC=90°， AB=AC，射线BD与△ABC的边AC交于点，AE⊥BD，垂足为E， ∠ABD=∠ACD． 1 (1)若∠ABD=30°，CH=4，求DH的长； (2)求证：BE=DC+DE； (3)如图2，若∠ABE=25°，BE=4，点F 在线段BC上，且BE=BF，点M、分别是射 线BC、BD上的动点，在点M、 运动的过程中，请判断式子EM +MN +NF的值是否存在 最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，写出你的理由． 【类型3 几何存在性问题】 17（2022 秋·四川达州·八年级校考期中）在矩形ABCD中，AB=40cm．动点P 从点开始 沿AB边以5cm/s的速度运动，动点Q 从点开始沿CD边以3cm/s的速度运动．点P 和点Q 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．那么______秒后四边形 APQD为矩形？ 18（2022 春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=16厘 米，BC=20厘米，点D 在BC上，且CD=12厘米．现有两个动点P，Q 分别从点和点B 同时出发，其中点P 以4 厘米/秒的速度沿AC向终点运动；点Q 以5 厘米/秒的速度沿BC 向终点运动．过点P 作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t 秒(t>0)． (1)CP=¿ ；（用t 的代数式表示） (2)连接CE，并运用割补的思想表示△AEC的面积（用t 的代数式表示）； 1 (3)是否存在某一时刻t，使四边形EQDP是平行四边形，如果存在，请求出t，如果不存在， 请说明理由； (4)当t 为何值时，△EDQ为直角三角形． 19（2022 春·吉林长春·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且 AD<BC，AD=6，BC=10，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒1 个单位的 速度由A向D运动，点Q以每秒2 个单位的速度由C向B运动，其中一动点到达端点时，另 一动点随之停止运动，设运动时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示： AP=¿______；DP=¿______；BQ=¿______；CQ=¿______． (2)P、Q与四边形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求t值． 20（2022 春·广东江门·八年级校考期中）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC， ∠B=90°，AD=24 cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向点D以 1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，P、Q别从点A、 C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形ABQP为矩形？ (2)当t为何值时，PQ∥CD？ (3)当t为何值时，PQ=CD？ 21（2022 春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知A (7a，0)， B (0，−7 a)，点C为x轴负半轴上一点，AD⊥AB，∠1=∠2． 1 (1)求∠ABC+∠D的度数． (2)如图1，若点C的坐标为(−3a，0)，CD=CB，求点D的坐标（结果用含a的式子表 示）． (3)如图2，在（2）的条件下，若a=1，过点D作DE⊥y轴于点E，DF ⊥x轴于点F， 点M为线段DF上一点，若第一象限内存在点N (n，2n−3)，使△EMN为等腰直角三角 形，请直接写出符合条件的N点坐标，并选取一种情况计算说明． 22（2022 秋·山西运城·八年级山西省运城市实验中学期末）如图，在矩形BD 中，AB=3， BC=6，动点P，Q 分别从点，同时出发，都以每秒1 个单位的速度运动，点P 到达点D 后停止，点Q 到达点B 后停止．设运动时间为t 秒． (1)当S△ABP=1 3 S△BPQ时，t 的值为______． (2)当QB=QP时，求t 的值． (3)在点P 和点Q 的运动过程中是否存在∠BPQ=90°，你的判断是______（填“存在” 或“不存在”）． 23（2022 秋·江苏连云港·八年级期末）在正方形ABCD中，O是AD的中点，点P从A点出 发沿A →B→C →D的路线匀速运动，移动到点D时停止． 1 (1)如图1，若正方形的边长为12，点P的运动速度为2 单位长度/秒，设t秒时，正方形 ABCD与∠POD重叠部分的面积为y． ①求当t=4时，y的值． ②求y关于t的函数解析式． (2)如图2，若点Q从D出发沿D→C →B→A的路线匀速运动，移动到点A时停止．P、 Q两点同时出发，点P的速度大于点Q的速度．设t秒时，正方形ABCD与∠POQ（包括 边缘及内部）重叠部分的面积为S，S 与t的函数图象如图3 所示． ①P，Q两点在第________秒相遇；正方形ABCD的边长是________； ②当t为何值时，重叠部分面积S 等于9？ 24（2022 春·全国·八年级专题练习）如图，正方形OABC的边OA 、OC分别在x 轴和y 轴 上，顶点B 在第一象限，AB=6，点E、F 分别在边AB和射线OB上运动（E、F 不与正方 形的顶点重合），OF=2❑ √2BE，设BE=t， (1)当t=2时，则AE=¿_________，BF=¿___________； (2)当点F 在线段OB上运动时，若△BEF的面积为9 4 ，求t 的值． (3)在整个运动过程中，平面上是否存在一点P，使得以P、、E、F 为顶点，且以OF为边 的四边形是菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【类型4 运动的图象问题】 25（2022 秋·江苏南通·八年级统考期中）如图，矩形ABCD中，AB=4 , AD=3，点E 在 边BC上运动，连接AE，将AE绕点顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF． 设BE=x，C F 2= y，则y 关于x 的函数图象大致为（ ） 1 ． B． ． D． 26（2022 秋·河南漯河·八年级校考期末）如图，正方形ABCD的边长为2cm，点P，点Q 同时从点出发，速度均为2cm/s，点P 沿→D→向点运动，点Q 沿→B→向点运动，则 △APQ的面积S (cm 2)与运动时间t (s)之间函数关系的大致图象是（ ） ． B． ． D． 27（2022 春·八年级衡水期末）如图①，在矩形ABCD的边BC上有一点E，连结AE，点P 从顶点A出发，沿A →D→C以1m/s 的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时， △APE的面积y (cm 2)随时间x(s)变化的函数图象，则BE的长为（ ） 1 ．5m B．4m ．3m D．2m 28（2022 春·八年级衡水期末）如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD在第一象 限，BC ∥x轴．直线y=x从原点出发沿x 轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边 形ABCD截得的线段长度与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2 所示．平行四边 形ABCD的面积为（ ） ．3 B．3 ❑ √2 ．4 3 ❑ √2 D．4 29（2022 秋·新疆乌鲁木齐·八年级新疆师范大学附属中学校考期末）如图①，在矩形 ABCD中，AB> AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿A →B→C运 动，设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则 AB边的长为（ ） ．6 B．64 ．72 D．8 30（2022 秋·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）如图①，在矩形BD 中，B>D，对角线，BD 相交于点，动点P 由点出发，沿→B→运动．设点P 的运动路程为x，△P 的面积为y，y 与 x 的函数关系图象如图②所示，则B 边的长为（ ） 1 ．6 B．64 ．72 D．8 31（2022 秋·河南郑州·八年级校考期末）如图1，菱形BD 中，∠B=60°，动点P 以每秒 1 个单位的速度自点出发沿线段B 运动到点B，同时动点Q 以每秒2 个单位的速度自点B 出发沿折线B−C−D运动到点D．图2 是点P、Q 运动时，△BPQ 的面积S 随时间t 变化关 系图象，则的值是（ ） ．2 B．25 ．3 D．2❑ √3 32（2022 秋·广东汕头·八年级林百欣中学校考期中）如图，在边长为4 的菱形BD 中， ∠A=60°，点P 从点出发，沿路线→B→→D 运动．设P 点经过的路程为x，以点，D，P 为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y 与x 的函数关系的是（ ） ． B． ． D． 1 【类型5 函数图象中的几何动点问题】 33（2022 春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯 形，AD∥BC，E是BC的中点，BC=12，点A坐标是(0，4)，CD所在直线的函数关 系式为y=−x+9，点P是BC边上一个动点． (1)当PB=¿_________________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，点P 在BC边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能 否构成菱形？试说明理由． 34（2022 秋·四川成都·八年级石室中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与 x轴交于点B，与y轴交于点A，OA=1，OB=❑ √3OA，直线OC ：y=❑ √3 x交直线AB于 点C． (1)求直线AB的解析式及C点的坐标； (2)如图1，P为直线OC上一动点且在第一象限内，M、Q为x轴上动点，Q在M右侧且 MQ= ❑ √3 2 ，当S△PCB=9 ❑ √3 8 时，求PQ+QM +MA最小值； (3)如图2，将△AOB沿着射线CO方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三 点，当DF过O点时，在平面内是否存在H点，在第一象限内是否存在N点，使得以H、N、 D、F四个点为顶点的四边形为