专题4.5 线段中的动点问题专项训练（40道）（解析版）

专题45 线段中的动点问题专项训练（40 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共40 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了线段中的动点问题 的所有类型！ 一．解答题（共40 小题） 1．（2022·山东省商河实验中学七年级阶段练习）如图，线段B＝24，动点P 从出发，以 每秒2 个单位的速度沿射线B 运动，M 为P 的中点． (1)出发3 秒后，M＝ ，PB＝ ．（不必说明理由） (2)出发几秒后，P＝3BP？ (3)当P 在B 延长线上运动时，为BP 的中点， M 的长度是否为定值，若是，请给出证明； 若不是，请说明理由． 【答】(1)3；18 (2)出发9 秒或18 秒后，P＝3BP (3)是；理由见解析 【分析】（1）先根据路程＝速度×时间求出P，再根据中点的定义求出M，根据线段的和 差关系求出PB； （2）分两种情况：①当点P 在线段B 上时，②当点P 在B 延长线上时，根据题意列出方程 求解即可； （3）P＝2x，M＝PM＝x，PB＝2x−24，P＝1 2PB＝x−12，分别表示出M，M＋P 的长度， 即可作出判断． （1） 解：出发3 秒后，M＝2×3÷2＝3，PB＝24−2×3＝18． 故答为：3；18． （2） 解：分两种情况：①当点P 在线段B 上时，设出发t 秒后，P＝2t，BP＝24−2t， ∵P＝3BP， 2 ∴t＝3（24−2t）， 1 解得t＝9； ②当点P 在B 延长线上时，设出发t 秒后，P＝2t，BP＝2t−24， ∵P＝3BP， 2 ∴t＝3（2t−24）， 解得t＝18． 综上分析可知，出发9 秒或18 秒后，P＝3BP． （3） 解：是，理由如下： 设运动时间为x 秒， 则有P＝2x，M＝PM＝x，PB＝2x−24，P＝1 2PB＝x−12， ∴M＝PM−P＝x−（x−12）＝12， 即M 的值为定值． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解答本题的关键是 用含时间的式子表示出各线段的长度，有一定难度． 2．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级阶段练习）已知在数轴上有， B 两点，点表示的数为8，点B 在点的左边，且AB=12．若有一动点P 从数轴上点出发， 以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位长 度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t 秒． (1)当t=1秒时，写出数轴上点B，P、Q 所表示的数分别为_______________、___________ ____、_______________； (2)若点P，Q 分别从，B 两点同时出发，当点P 与点Q 重合时，求t 的值； (3)若M 为线段AQ的中点，点为线段BP的中点．当点M 到原点的距离和点到原点的距离 相等时，求t 的值． 【答】(1)−4；5；−2 (2)2.4 (3)8 【分析】（1）①根据已知可得B 点表示的数为8﹣12；点P 表示的数为8−3t； （2）点P 运动x 秒时，与Q 重合，则P＝3x，BQ＝2x，根据AP+BQ＝AB，列出方程求 解即可； （3）根据动点P 在数轴上运动，点M到原点的距离等于点N到原点的距离相等， 1 故OM=ON，由此可得出结论； （1） ∵点表示的数为8，B 在点左边，AB＝12， ∴点B 表示的数是8−12=−4， ∵动点P 从点出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点P 表示的数是8−3×1=5， ∵动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴点Q表示的数是−4+2×1=−2， 故答为：−4,5,−2； （2） 设点P 运动t 秒时，与点Q 重合，则AP＝3t ，BQ＝2t， ∵AP+BQ=AB， ∴3t+2t=12， 解得：t=2.4， ∴点P 运动2.4秒时与点Q 重合； （3） 由（1）知，A表示8，B表示−4，P表示8−3t，Q表示2t−4， ∵ M为AQ中点， ∴ M表示8+(2t−4 ) 2 =t+2， ∵ N为BP中点， ∴ N表示−4+(8−3t ) 2 =2−3 2 t， ∵点M到原点的距离等于点N到原点的距离相等， ∴ |t+2−0|=|2−3 2 t−0|， 即|t+2|=|2−3 2 t|， 当t+2=2−3 2 t时，t=0（舍去）， 当t+2=−(2−3 2 t)时，t=8， 答：当t=8时，点M到原点的距离等于点N到原点的距离相等． 【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离， 关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论． 1 3．（2022·江苏·启东市长江中学七年级期中）已知多项式\(a+10\) x 3+20 x 2-5 x +3是关于 x 的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点，B 对应的数分别为，b． (1)=___________，b=___________，线段B=___________； (2)若数轴上有一点，使得AC =3 2 BC，点M 为AB的中点，求MC的长； (3)有一动点G 从点出发，以1 个单位每秒的速度向终点B 运动，同时动点从点B 出发，以 5 6 个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t 秒（t ＜30），点D 为线段GB 的中点，点F 为线段DH的中点，点E 在线段GB上且¿=1 3 GB，在G，的运动过程中，求 DE+ DF的值． 【答】(1)-10，20，30； (2)3 或75； (3)25 2 ． 【分析】（1）由题意直接可求解； （2）①当点在AB之间时，如图1，②当点在点B 的右侧时，如图2，分别计算AC和AM 的长，相减可得结论； （3）本题有两个动点G 和，根据速度和时间可得点G 表示的数为：−10+t，点表示的数 为：20+5 6 t，根据中点的定义得点D 和F 表示的数，由EG=1 3 BG得EG的长和点E 表示 的数，根据数轴上两点的距离可得DE和DF的长，相加可得结论． （1） 解：由题意知：a+10=0，b=20， ∴a=−10， ∴AB的距离为20−(−10)=30； 故答为：−10，20，30； （2） 分两种情况： ①当点在B 之间时，如图1， 1 ∵AC =3 2 BC，AB=30， ∴AC =18， ∵M 是AB的中点， ∴AM =15， ∴CM =18−15=3； ②当点在点B 的右侧时，如图2， ∵AC =3 2 BC，AB=30， ∴AC =90， ∵AM =15， ∴CM =90−15=75； 综上，CM的长是3 或75； （3） 由题意得：点G 表示的数为：：−10+t，点表示的数为：20+5 6 t， ∵t <30，AB=30， ∴点G 在线段AB之间， ∵D 为BG的中点， ∴点D 表示的数为：20+\(−10+t \) 2 = 5+1 2 t， ∵F 是DH的中点， ∴点F 表示的数为：5+1 2 t +20+5 6 t 2 =75+4t 6 ， ∵BG=20−(10+t )=30−t， ∵EG=1 3 BG， ∴EG=30−t 3 = 10−1 3 t， 1 ∴点E 表示的数为： −10+t +10−1 3 t = 2 3 t， ∴DE+ DF =\(5+1 2 t \)−2 3 t +75+4t 6 −\(5+1 2 t \) = 25 2 ． 【点睛】本题考查多项式和数轴；与中点有关的计算，数轴上的动点问题，数轴上两点间 的距离，根据点的运动特点，分情况列出合适的方程，进行求解是关键． 4．（2022·湖北·公安县学研究中心七年级期末）如图，P 是线段AB上任意一点，AB=15 m，，D 两点分别从点P，B 同时向点运动，且点的运动速度为2 m/s，点D 的运动速度为 3 m/s，运动的时间为ts．（其中一点到达点时，两点停止运动） (1)若AP=10m． ①运动1 s 后，求CD的长； ②当点D 在线段PB上运动时，试说明：AC =2CD． (2)如果t =3s 时，CD=1m，试探索AP的长． 【答】(1)①CD=4m；②见解析 (2)AP的长为11m 或13m 【分析】（1）①先求出PB、CP与DB的长度，然后利用CD=CP+ PB- DB即可求出答； ②用t 表示出AC、DP、CD的长度即可求证AC =2CD； （2）当t =3时，求出CP、DB的长度，由于没有说明D 点在点的左边还是右边，故需要分 情况讨论． （1） ①当t =1时，CP=2t =2m，DB=3t =3m， ∵AP=10m，AB=15m， ∴PB= AB- AP=5m， ∴CD=CP+ PB- DB=2+5-3=4m； ②∵AP=10，AB=15， ∴BP=5， ∵CP=2t，DB=3t， ∴AC = AP-CP=10-2t =2 (5-t )，DP=BP - BD=5-3t， ∴CD=CP+ DP=2t +5-3t =5-t， ∴AC =2CD． （2） 1 当t =3时，CP=2t =6m，DB=3t =9m， 当点D 在的右边时， 如图： CD=CP- PD=CP+ AB- AP- DB=6+15- AP-9=1， ∴AP=11m； 当点D 在的左边时， 如图： CD=BD -CP- PB=9-6-\(15- AP \)=1， ∴AP=13m； 综上可得，P 的长为11m 或13m． 【点睛】本题考查了两点间的距离，涉及列代数式，注意分类讨论是解题关键． 5．（2022·湖北·十堰市郧阳区学研究室七年级期末）如图，已知线段AB=24，动点P 从 出发，以每秒2 个单位的速度沿射线AB方向运动，运动时间为t 秒（t >0），点M 为AP 的中点． (1)若点P 在线段AB上运动，当t 为多少时，PB= AM？ (2)若点P 在射线AB上运动，为线段PB上的一点． ①当为PB的中点时，求线段MN的长度； ②当PN =2 NB时，是否存在这样的t，使M，，P 三点中的一个点是以其余两点为端点的 线段的中点？如果存在，请求出t 的值；如不存在，请说明理由． 【答】(1)8； (2)①12．②当t =48 7 时，P 是MN的中点；当t =96 5 时，是MP的中点． 【分析】（1）根据M 是线段AP的中点，可得AM =1 2 AP=t，从而得到PB=24-2t，再 由PB= AM，即可求解； （2）①分两种情况讨论：当点P 在B 点左侧时；当点P 在B 点或B 点右侧时，即可求解； ②分三种情况讨论：当0<t ≤12时，当12<t ≤48时，当t >48时，即可求解． （1） 1 解∶根据题意得：AP=2t， ∵M 是线段AP的中点， ∴AM =1 2 AP=t， PB= AB - AP=24-2t． ∵PB= AM， ∴24-2t =t， 解得t =8． ∴当t =8时，PB= AM； （2） ①当点P 在B 点左侧时． ∵M 是线段AP的中点， ∴PM =1 2 AP=t， ∵是线段PB的中点， ∴PN =1 2 BP=1 2 (24-2t )=12-t． ∴MN =t +12-t =12． 当点P 在B 点或B 点右侧时． ∵M 是线段AP的中点， ∴PM =1 2 AP=t， ∵是线段PB的中点， ∴PN =1 2 BP=1 2 (2t -24 )=t -12． ∴MN =t - (t -12)=12， 综上所述，线段MN的长度为12； ②当PN =2 NB时，存在这样的t，使M、、P 三点中的一个点是以其余两点为端点的线段 的中点． 当0<t ≤12时， 由题意得：PM =t , PN =2 3 (24-2t )， ∵PM = PN， ∴t =2 3 (24-2t )，解得， t =48 7 ． 当12<t ≤48时， 1 由题意得：PM =t , PN =2 3 (2t -24 )， ∵PM =2 PN， ∴t =2×2 3 (2t -24 )，解得， t =96 5 ． 当t >48时， 由题意得：PM =t , PN =2 3 (2t -24 )， ∵PN =2 PM， ∴2t =2 3 (2t -24 )，解得，t =-24（舍去）． 综上，当t =48 7 时，P 是MN的中点；当t =96 5 时，是MP的中点． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，本题是动点问题，解题时可根据图形，用t 表 示出相应线段的长，再根据已知条件列出方程．解题时要按照点的不同位置进行分类讨论， 避免漏解． 6．（2022·重庆綦江·七年级期末）点在数轴上对应的数为﹣3，点B 对应的数为2． (1)如图1 点在数轴上对应的数为x，且x 是方程2x+1＝1 2x 5 ﹣的解，在数轴上是否存在点P 使P+PB＝1 2B+B？若存在，求出点P 对应的数；若不存在，说明理由； (2)如图2，若P 点是B 点右侧一点，P 的中点为M，为PB 的三等分点且靠近于P 点，当P 在B 的右侧运动时，有两个结论：①PM﹣3 4 B 的值不变；②1 2 PM+ 3 4 B 的值不变，其中 只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值 【答】(1)存在满足条件的点P，对应的数为﹣9 2和7 2；(2)正确的结论是：PM﹣3 4 B 的值不 变，且值为25． 【分析】（1）先利用数轴上两点间的距离公式确定出B 的长，然后求得方程的解，得到表 示的点，由此求得1 2B+B＝8 设点P 在数轴上对应的数是，分①当点P 在点的左侧时（＜﹣ 3）、②当点P 在线段B 上时（﹣3≤≤2）和③当点P 在点B 的右侧时（＞2）三种情况求点 P 所表示的数即可；（2）设P 点所表示的数为，就有P＝+3，PB＝﹣2，根据已知条件表 示出PM、B 的长，再分别代入①PM﹣3 4 B 和②1 2PM+3 4 B 求出其值即可解答． 1 【详解】(1)∵点在数轴上对应的数为﹣3，点B 对应的数为2， ∴B＝5． 解方程2x+1＝1 2x 5 ﹣得x＝﹣4． 所以B＝2﹣（﹣4）＝6． 所以． 设存在点P 满足条件，且点P 在数轴上对应的数为， ①当点P 在点的左侧时，＜﹣3， P＝﹣3﹣，PB＝2﹣，所以P+PB＝﹣2 1 ﹣＝8， 解得＝﹣ ，﹣ ＜﹣3 满足条件； ②当点P 在线段B 上时，﹣3≤≤2，P＝﹣（﹣3）＝+3，PB＝2﹣， 所以P+PB＝+3+2﹣＝5≠8，不满足条件； ③当点P 在点B 的右侧时，＞2，P＝﹣（﹣3）＝+3，PB＝﹣2．， 所以P+PB＝+3+ 2 ﹣＝2+1＝8，解得：＝ ， ＞2， 所以，存在满足条件的点P，对应的数为﹣ 和 ． (2)设P 点所表示的数为， ∴P＝+3，PB＝﹣2． ∵P 的中点为M， ∴PM＝ 1 2P＝ ． 为PB 的三等分点且靠近于P 点， ∴B＝ PB＝ ×（﹣2）． ∴PM﹣ 3 4 B＝ ﹣ 3 4 × ×（﹣2）， ＝ （不变）． ② 1 2PM+ 3 4 B＝ + 3 4 × ×（﹣2）＝ 3 4 ﹣ （随P 点的变化而变化）． ∴正确的结论是：PM﹣ B 的值不变，且值为25． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，数轴的运用，数轴上任意两点间的距离公式的运 1 用，去绝对值的运用，解答时了灵活运用两点间的距离公式求解是关键． 7．（2022·上海市民办新北郊初级中学七年级期末）如图，P 是定长线段B 上一点，、D 两 点分别从P、B 出发以1m/s、2m/s 的速度沿直线B 向左运动（在线段P 上，D 在线段BP 上） （1）若、D 运动到任一时刻时，总有PD＝2，请说明P 点在线段B 上的位置： （2）在（1）的条件下，Q 是直线B 上一点，且Q﹣BQ＝PQ，求PQ AB 的值． （3）在（1）的条件下，若、D 运动5 秒后，恰好有CD=1 2 AB，此时点停止运动，D 点 继续运动（D 点在线段PB 上），M、分别是D、PD 的中点，下列结论：①PM﹣P 的值不 变；②MN AB 的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【答】（1）点P 在线段B 上的1 3处；（2）1 3；（3）②MN AB 的值不变 【分析】（1）根据、D 的运动速度知BD=2P，再由已知条件PD=2 求得PB=2P，所以点P 在 线段B 上的1 3处； （2）由题设画出图示，根据Q-BQ=PQ 求得Q=PQ+BQ；然后求得P=BQ，从而求得PQ 与B 的关系； （3）当点停止运动时，有D＝1 2B，从而求得M 与B 的数量关系；然后求得以B 表示的PM 与P 的值，所以M＝P−PM＝1 12B． 【详解】解：（1）由题意：BD=2P PD=2 ∵ ， BD+PD=2 ∴ （P+），即PB=2P ∴点P 在线段B 上的1 3处； （2）如图： Q-BQ=PQ ∵ ， Q=PQ+BQ ∴ ， 1 Q=P+PQ ∵ ， P=BQ ∴ ， PQ= ∴ 1 3B， ∴PQ AB =1 3 （3）②MN AB 的值不变 理由：如图， 当点停止运动时，有D=1 2B， M= ∴ 1 4 B， PM=M-P= ∴ 1 4 B-5， PD= ∵ 2 3B-10， P= ∴ 1 2 （2 3B-10）=1 3B-5， M=P-PM= ∴ 1 12B， 当点停止运动，D 点继续运动时，M 的值不变， 所以MN AB = 1 12 AB AB = 1 12 【点睛】本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关 键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用 线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 8．（2022·湖北·武汉七一华源中学七年级阶段练习）已知：如图，一条直线上依次有、 B、三点． （1）若B＝60，＝3B，求B 的长； （2）若点D 是射线B 上一点，点M 为BD 的中点，点为D 的中点，求BC MN 的值； （3）当点P 在线段B 的延长线上运动时，点E 是P 中点，点F 是B 中点，下列结论中： ①AC+BP EF 是定值； 1 ②| AC−BP EF |是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值． 【答】（1）B＝30；（2）2;（3）①详见解析;②详见解析 【分析】（1）由=B+B=3B 可得； （2）分三种情况：①D 在B 之间时②D 在B 之间时③D 在点左侧时； （3）分三种情况讨论：①F、E 在B 之间，F 在E 左侧②F 在B 之间，E 在P 之间③F、E 在 B 之间，F 在E 右侧； 【详解】（1）∵B＝60，＝B+B＝3B， ∴B＝30； （2）∵点M 为BD 中点，点为D 中点， ∴B