专题5.3 平行线四大模型专项训练（40道）（解析版）

专题53 平行线四大模型专项训练（40 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共40 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平行线四大模型的 综合问题的所有类型！ 【模型1 “铅笔”模型】 1．（2022·湖南·永州市剑桥学校七年级阶段练习）如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝ 140°，则∠3 的度数为( ) ．55° B．60° ．65° D．70° 【答】 【分析】首先过点作B∥l1，由l1∥l2，即可得B∥l1∥l2，然后根据两直线平行，同旁内角互补， 即可求得∠4 与∠5 的度数，又由平角的定义，即可求得∠3 的度数． 【详解】解： 过点作B∥l1， ∵l1∥l2， 1 ∴B∥l1∥l2， 1+ 4=180 ∴∠ ∠ °, 2+ 5=180 ∠ ∠ °， 1=105 ∵∠ °, 2=140 ∠ °， 4=75 ∴∠ °, 5=40 ∠ °， 4+ 5+ 3=180 ∵∠ ∠ ∠ °， 3=65 ∴∠ ° 故选： 【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质 2．（2022·贵州六盘水·七年级期中）如图所示，若B EF ∥ ，用含α、β、γ的式子表示x，应 为（ ） ．α+β+γ B．β+γ−α ．180°−α−γ+β D．180°+α+β−γ 【答】 【分析】过作D B ∥，过M 作M EF ∥ ，推出B D M EF ∥∥ ∥ ，根据平行线的性质得出α+ BD=180° ∠ ， ∠DM= M ∠ ，∠MF=γ，求出∠BD=180°-α，∠DM= M= ∠ β-γ，即可得出答． 【详解】过作D B ∥，过M 作M EF ∥ ， B EF ∵∥ ， B D M EF ∴∥∥ ∥ ， ∴α+ BD=180° ∠ ，∠DM= M ∠ ，∠MF=γ， BD=180°- ∴∠ α，∠DM= M= ∠ β-γ， ∴x= BD+ DM= ∠ ∠ 180°−α−γ+β， 故选：． 1 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力． 3．（2022·甘肃·北京师范大学庆阳实验学校七年级期中）如图，如果B∥D，那么∠B＋∠F ＋∠E＋∠D＝___°． 【答】540 【分析】过点E 作EM ∥CD，过点F 作FN ∥CD，再根据两直线平行，同旁内角互补即 可作答． 【详解】过点E 作EM ∥CD，过点F 作FN ∥CD，如图， ∵AB∥CD，EM ∥CD，FN ∥CD， ∴AB∥FN，EM ∥FN， ∴∠B+∠BF=180°，∠FEM+∠EF=180°，∠D+∠DEM=180°， ∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BF+∠EF， ∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BF+∠FEM+∠EF+∠D+∠DEM=540°， 故答为：540． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补．构造辅助线 EM ∥CD，FN ∥CD是解答本题的关键． 4．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示，AB/¿CD，∠ABE与∠CDE的角平分线相 较于点F，∠E=80°，求∠BFD的度数 1 【答】∠BFD=140° 【分析】先设∠ABE=2 x，∠CDE=2 y，由题意的∠ABF=∠FBE=x， ∠EDF=∠CDF= y，题意得到x+ y=140°；由侧M 图ABFDC知， ∠BFD=∠ABF+∠CDF=x+ y=140° 【详解】设∠ABE=2 x，∠CDE=2 y， ∵∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F， ∴∠ABF=∠FBE=x，∠EDF=∠CDF= y， 由笔尖图ABEDC知，∠ABE+∠E+∠CDE=360°， 即2 x+80°+2 y=360°，x+ y=140°， 由侧M 图ABFDC知，∠BFD=∠ABF+∠CDF=x+ y=140° 【点睛】本题考查平行线的性质和角平分线，解题的关键是设∠ABE=2 x， ∠CDE=2 y， 并由题意得到x，y 的关系式 5．（2022·全国·七年级专题练习）已知如图所示，AB/¿CD，∠ABE=3∠DCE， ∠DCE=28°，求∠E的度数 【答】56° 【分析】由平行线的性质可知∠ABF=∠DFE，由三角形邻补角可得 ∠E=∠ABE−∠DCE，带入题干信息即可得出答 【详解】由平行线的性质可知∠ABF=∠DFE，由三角形邻补角以及鸟嘴图DEFB 知 ∠E=∠ABE−∠DCE=3×28°−28°=56° 【点睛】本题考查平行线的性质，知道同位角相等时解题的关键 6．（2022·全国·七年级）(1)问题情景：如图1，B//D，∠PB=130°，∠PD=120°，求∠P 的度 数． 小明想到一种方法，但是没有解答完： 如图2，过P 作PE//B，∴∠PE+∠PB=180°， 1 ∴∠PE=180°-∠PB=180°-130°=50° ∵B//D，∴PE//D． …… 请你帮助小明完成剩余的解答． (2)问题迁移：请你依据小明的解题思路，解答下面的问题： 如图3，D//B，当点P 在、B 两点之间时，∠DP= α ∠，∠BP= β ∠，则∠PD，∠α，∠β 之间有 何数量关系？请说明理由． 【答】(1) 110°，见解析；(2) ∠PD= α+ β ∠ ∠，理由见解析 【分析】(1)过P 作PE∥B，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠P=50°+60°=110° (2)过P 作PE∥D 交D 于E 点，推出D∥PE∥B，根据平行线性质得到∠α=∠DPE，∠β=∠PE， 即可得出答 【详解】解：(1)剩余过程：∠PE+∠PD=180°， ∴∠PE=180°-120°=60° ∠P=50°+60°=110°； (2)∠PD= α+ β ∠ ∠，理由如下： 如下图，过P 作PE∥D 交D 于点E， 1 ∵D∥B ∴D∥PE∥B， α= ∴∠ ∠DPE，∠β=∠PE ∴∠PD=∠DPE+∠PE= α+ β ∠ ∠ 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考察学生的推理能力，解决问题的 关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角 7．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，四边形MNBD为一张长方形纸片． （1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE 、∠AEC 、∠ECD），则 ∠BAE+∠AEC+∠ECD=¿__________°． （2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（ ∠BAE 、∠AEF 、∠EFC 、∠FCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=¿ __________°． （3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（ ∠BAE 、∠AEF 、∠EFG 、∠FGC 、∠GCD），则 ∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=¿___________°． （4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出(n+1)个角，那么这(n+1) 个角的和是____________°． 【答】（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n． 【分析】（1）过点E 作E B ∥，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于 180°的2 倍； （2）分别过E、F 分别作B 的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的 和等于180°的三倍； （3）分别过E、F、G 分别作B 的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角 的和等于180°的三倍； （4）根据前三问个的剪法，剪刀，剪出+1 个角，那么这+1 个角的和是180 度． 【详解】（1）过E 作E B ∥（如图②）． ∵原四边形是长方形， B D ∴∥， 又∵E B ∥， D E ∴∥（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 1 E B ∵∥， + 1=180° ∴∠∠ （两直线平行，同旁内角互补）． D E ∵∥， 2+ =180° ∴∠ ∠ （两直线平行，同旁内角互补）． + 1+ 2+ =360° ∴∠∠ ∠ ∠ ， 又∵∠1+ 2= E ∠ ∠， BE+ E+ ED=360° ∴∠ ∠ ∠ ； （2）分别过E、F 分别作B 的平行线，如图③所示， 用上面的方法可得∠BE+ EF+ EF+ FD=540° ∠ ∠ ∠ ； （3）分别过E、F、G 分别作B 的平行线，如图④所示， 用上面的方法可得∠BE+ EF+ EFG+ FG+ GD=720° ∠ ∠ ∠ ∠ ； （4）由此可得一般规律：剪刀，剪出+1 个角，那么这+1 个角的和是180 度． 故答为：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是 解本题的关键，总结规律求解是本题的难点． 8．（2022·安徽合肥·七年级期末）问题情景：如图1，B∥D，∠PB＝140°，∠PD＝135°，求 ∠P 的度数． （1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∠P＝85°，请补全她的推理依据． 如图2，过点P 作PE∥B， 因为B∥D，所以PE∥D．（ ） 所以∠+∠PE＝180°，∠+∠PE＝180°．（ ） 1 因为∠PB＝140°，∠PD＝135°，所以∠PE＝40°，∠PE＝45°， ∠P＝∠PE+∠PE＝85°． 问题迁移： （2）如图3，D∥B，当点P 在、B 两点之间运动时，∠DP＝∠α，∠BP＝∠β，求∠PD 与 ∠α、∠β 之间有什么数量关系？请说明理由． （3）在（2）的条件下，如果点P 在、B 两点外侧运动时（点P 与点、B、三点不重合）， 请直接写出∠PD 与∠α、∠β 之间的数量关系． 【答】（1）平行于同一条直线的两条直线平行（或平行公理推论），两直线平行，同旁内 角互补；（2）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（3）∠CPD=∠β−∠α或 ∠CPD=∠α−∠β 【分析】（1）根据平行线的判定与性质填写即可； （2）过P 作PE∥D 交D 于E，推出D∥PE∥B，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE， ∠β=∠PE，即可得出答； （3）画出图形（分两种情况①点P 在B 的延长线上，②点P 在B 的延长线上），根据平行 线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠PE，即可得出答． 【详解】解：（1）如图2，过点P 作PE∥B， 因为B∥D，所以PE∥D．（平行于同一条直线的两条直线平行） 所以∠+∠PE＝180°，∠+∠PE＝180°．（两直线平行同旁内角互补） 因为∠PB＝140°，∠PD＝135°， 所以∠PE＝40°，∠PE＝45°， ∠P＝∠PE+∠PE＝85°． 故答为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补； （2）∠PD=∠α+∠β，理由如下： 1 如图3 所示，过P 作PE∥D 交D 于E， ∵D∥B， ∴D∥PE∥B， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠PE， ∴∠PD=∠DPE+∠PE=∠α+∠β； （3）当P 在B 延长线时，如图4 所示： 过P 作PE∥D 交D 于E， 同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠PE， ∴∠PD=∠β-∠α； 当P 在B 延长线时，如图5 所示： 同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠PE， ∴∠PD=∠α-∠β． 1 综上所述，∠PD 与∠α、∠β 之间的数量关系为：∠PD=∠β-∠α 或∠PD=∠α-∠β． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定定理，正确作出辅助线是解答此题的关键． 【模型2 “猪蹄”模型】 9．（2022·全国·七年级）如图所示，直角三角板的60°角压在一组平行线上，AB∥CD， ∠ABE=40°，则∠EDC=¿______度． 【答】20 【分析】如图（见详解），过点E 作EF ∥AB， 先证明AB∥EF ∥CD，再由平行线的性 质定理得到∠ABE=∠BEF=40°，∠EDC=∠≝¿，结合已知条件∠BED=60°即可 得到． 【详解】解：由题意可得：∠BED=60°． 如图，过点E 作EF ∥AB， 又∵AB∥CD， ∴AB∥EF ∥CD， ∴∠ABE=∠BEF=40°，∠EDC=∠≝¿， ∵∠BED=60°， ∴∠≝+∠BEF=60°， ∴∠≝¿20°， 即：∠EDC=20°． 故答为：20． 1 【点睛】本题重点考查了平行线的性质定理的运用．从“基本图形”的角度看，本题可以 看作是“M”型的简单运用．解法不唯一，也可延长BE 交D 于点G，结合三角形的外角定 理来解决；或连结BD，结合三角形内角和定理来解决． 10．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图： (1)如图1，AB∥CD，∠ABE=45°，∠CDE=21°，直接写出∠BED的度数． (2)如图2，AB∥CD，点E为直线AB，CD间的一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE， 写出∠BED与∠F之间的关系并说明理由． (3)如图3，AB与CD相交于点G，点E为∠BGD内一点，BF平分∠ABE，DF平分 ∠CDE，若∠BGD=60°，∠BFD=95°，直接写出∠BED的度数． 【答】(1)∠BED=66°； (2)∠BED=2∠F，见解析； (3)∠BED 的度数为130°． 【分析】（1）首先作EF∥B，根据直线B∥D，可得EF∥D，所以∠BE= 1=45° ∠ ， ∠DE= 2=21° ∠ ，据此推得∠BED= 1+ 2=66° ∠ ∠ ； （2）首先作EG∥B，延长DE 交BF 于点，利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可 得到∠BED=2∠F； （3）延长DF 交B 于点，延长GE 到，利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到 ∠BED 的度数为130°． （1） 解：（1）如图，作EF∥B， 1 ， ∵直线B∥D， ∴EF∥D， ∴∠BE= 1=45° ∠ ，∠DE= 2=21° ∠ ， ∴∠BED= 1+ 2=66° ∠ ∠ ； （2） 解：∠BED=2∠F， 理由是：过点E 作EG∥B，延长DE 交BF 于点， ∵B∥D，∴B∥D∥EG， ∴∠5=∠1+∠2，∠6=∠3+∠4， 又∵BF 平分∠BE，DF 平分∠DE， ∴∠2=∠1，∠3=∠4，则∠5=2∠2，∠6=2∠3， ∴∠BED=2(∠2+∠3) ， 又∠F+∠3=∠BD，∠BD+∠2=∠BED， ∴∠3+∠2+∠F=∠BED， 综上∠BED=∠F+12∠BED，即∠BED=2∠F； （3） 解：延长DF 交B 于点，延长GE 到， 1 ∵∠BGD=60°， ∴∠3=∠1+∠BGD=∠1+60°，∠BFD=∠2+ 3= ∠ ∠2+∠1+60°=95°， ∴∠2+∠1=35°，即2(∠2+∠1) =70°， ∵BF 平分∠BE，DF 平分∠DE， ∴∠BE=2∠2，∠DE=2 1 ∠， ∴∠BE=∠BE +∠BGE=2∠2+∠BGE，∠DE=∠DE+∠DGE=2 1 ∠+∠DGE， ∴∠BED=∠BE+∠DE=2(∠2+∠1)+( ∠BGE+∠DGE)=70°+60°=130°， ∴∠BED 的度数为130°． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角性质等知识，掌握平行线的判定 和性质，正确添加辅助线是解题关键． 11．（2022·江苏常州·七年级期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F 分别在直 线B，D 上． (1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，试猜想∠P=¿______°； (2)探究：在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展：将图①变为图②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数． 【答】(1)80° (2)∠P=360°−∠1−∠2；证明见详解 (3)140° 【分析】（1）过点P作MN ∥AB，利用平行的性质就可以求角度，解决此问； （2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问； （3）分别过点P、点G作MN ∥AB、KR∥AB，然后利用平行线的性质求位置角的数量 1 关系即可． （1） 解：如图过点P作MN ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥MN ∥CD． ∴∠1+∠EPN=180°， ∠2+∠FPN=180°． ∵∠1=130°，∠2=150°， ∴∠1+∠2+∠EPN +∠FPN=360° ∴∠EPN +FPN=360°−130°−150°=80°． ∵∠P=∠EPN +∠FPN， ∴∠P=80°． 故答为：80°； （2） 解：∠P=360°−∠1−∠2，理由如下： 如图过点P作MN ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥MN ∥CD． ∴∠1+∠EPN=180°， ∠2+∠FPN=180°． ∴∠1+∠2+∠EPN +∠FPN=360° ∵∠EPN +∠FPN=∠P， ∠P=360°−∠1−∠2． （3） 1 如图分别过点P、点G作MN ∥AB、KR∥AB ∵AB∥CD， ∴AB∥MN ∥KR∥CD． ∴∠1+∠EPN=180°， ∠NPG+∠PGR=180°， ∠RGF+∠2=180°． ∴∠1+∠EPN +∠NPG+∠PGR+RGF+∠2=540° ∵∠EPG=∠EPN +∠NPG=75°， ∠PGR+∠RGF=∠PGF， ∠1+∠2=325°， ∴∠PGF+∠1+∠2+∠EPG=540° ∴∠PGF=540°−325°−75°=140° 故答为：140°． 【点睛】本题考查了平行线的性质定理，准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关 键． 12．（2022·山东聊城·七年级阶段练习）已知直线B//D，EF 是截线，点M 在直线B、D 之 间． (1)如图1，连接GM，M．求证：∠M＝∠GM＋∠M； (2)如图2，在∠G 的角平分线上取两点M、Q，使得∠GM＝∠GQ．试判断∠M 与∠GQ 之间 的数量关系，并说明理由． 【答】(1)证明见详解 (2)∠GQH=180°−∠M；理由见详解 【分析】（1）过点M作MN ∥AB，由AB∥CD，可知MN ∥AB∥CD．由此可知： 1 ∠AGM=∠GMN，∠CHM=∠HMN，故 ∠AGM +∠CHM=∠GMN +∠HMN =∠M； （2）由（1）可知∠AGM +∠CHM =∠M．再由∠CHM=∠GHM，∠GM＝∠GQ， 可知 ：∠M=∠HGQ+∠GHM，利用三角形内角和是180°，可得 ∠GQH=180°−∠M． （1） 解：如图：过点M作MN ∥AB， ∴MN ∥AB∥CD， ∴∠AGM=∠GMN，∠CHM=∠HMN， ∵∠M=∠GMN +∠HMN， ∴∠M =∠AGM +∠CHM． （2） 解：∠GQH=180°−∠M，理由如下： 如图：过点M作MN ∥AB， 由（1）知∠M =∠AGM +∠CHM， ∵HM平分∠GHC， ∴∠CHM=∠GHM， ∵∠GM＝∠GQ， ∴∠M=∠HGQ+∠GHM， ∵∠HGQ+∠GHM +∠GQH=180°， ∴∠GQH=180°−∠M． 【点睛】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，正确的作出辅助线是解决本 题的关键，同时这也