模型35 圆——圆幂定理模型-解析版

圆 模型（三十五）——圆幂定理模型 知识点一：相交弦定理 ◎结论1：如图 ，⊙中，弦B、D 相交于点P，半径为r,则 P·BP ① ＝P·DP , P·BP ② ＝P·DP＝r2－P2 ①【证明】 如上右图 ∵∠＝∠D，∠P＝∠DPB △P∽△DPB ∴ ∴AP DP＝CP BP 即P·BP＝P·DP ② P 与⊙交于M 两点，r 为⊙ 的半径， P·BP＝P·DP＝MP·P＝（r＋P）（r－P）＝r²－P² 知识点二：切割线定理 ◎结论2：如图 ，PB 是⊙的一条割线，P 是⊙的一条切线，切点为，半径为r,则 ①P2＝PB·P，②P2＝PB·P＝P2－r2 【证明】① 连接B,,连接并延长交⊙于D，连接DB P ∵ 为⊙的切线 ∠DP ∴ ＝90° 即∠1＋∠2＝90° D ∵ 是⊙的直径 ∠BD ∴ ＝90° ∠2 ∴ ＋∠3＝90° ∠1 ∴ ＝∠3 ∠3 ∵ ＝∠4 ∠1 ∴ ＝∠4 △PB∽△P ∴ ∴PA PC ＝PB PA 即P²＝PBP ② P²＝PB·P ＝PM·P ＝（P－r）（P＋r） ＝P²－r² 知识点三：割线定理 ◎结论3：如图 ，PB、PD 是⊙的两条割线，半径为r,则 P·PB ① ＝P·PD, P·PB ② ＝P·PD＝P2－r2 【证明】 ∵∠B＝∠D，∠BP＝∠DP △PB∽△PD ∴ ∴PB PD＝PC PA P·PB ∴ ＝P·PD ＝PM·P ＝（P－r）（P＋r） ＝P²－r² 1．（2020·全国·九年级课时练习）如图，圆内一条弦D 与直径B 相交成30°角，且分直径成1m 和5m 两部分，则 这条弦的弦心距是_____． 【答】1m 【分析】首先过点作F D ⊥ 于点F，设弦D 与直径B 相交于点E，由分直径成1m 和5m 两部分，可求得直径，半径 的长，继而求得E 的长，又由圆内一条弦D 与直径B 相交成30°角，即可求得这条弦的弦心距． 【详解】解：过点作F D ⊥ 于点F，设弦D 与直径B 相交于点E， ∵分直径成1m 和5m 两部分， B ∴＝6m， ∴＝ B＝3m， E ∴＝﹣E＝2m， EF ∵∠ ＝30°， F ∴＝ E＝1（m）． 故答为：1m． 从两线交点处引出的共线，线段的乘积相等 【点睛】此题考查了垂径定理以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌 握数形结合思想的应用． 2．（2015·浙江宁波·九年级阶段练习）半圆的直径B=9，两弦B、D 相交于点E，弦D= ，且BD=7，则 DE=_______ 【答】3 ． 【详解】试题分析：根据圆周角定理得出的两组相等的对应角，易证得△EB DE ∽△ ，根据D、B 的长，即可求出两 个三角形的相似比；设BE=x，则DE=7-x，然后根据相似比表示出E、E 的长，连接B，首先在Rt BE △ 中，根据 勾股定理求得B 的表达式，然后在Rt B △ 中，由勾股定理求得x 的值，进而可求出DE 的长． 试题解析：∵∠D=∠，∠D= BD ∠ ， EB DE ∴△ ∽△ ； ∴ ； 设BE=x，则DE=7-x，E= x，E= （7-x）； 连接B，则∠B=90°； Rt BE △ 中，BE=x，E= x，则B= x； 在Rt B △ 中，=E+E= - x，B= x； 由勾股定理，得：B2=2+B2， 即：92=（ - x）2+（ x）2， 整理，得x2-14x+31=0， 解得：x1=7+3 （不合题意舍去），x2=7-3 则DE=7-x=3 ． 考点：1 圆周角定理；2 相似三角形的判定与性质． 3．（2018·四川资阳·九年级阶段练习）如图，已知B 为⊙的直径，弦D⊥B，垂足为 (1) 求证：B=2； (2) 若过的直线与弦D(不含端点)相交于点E，与⊙相交于点F，求证：E F=2； (3) 若过的直线与直线D 相交于点P，与⊙相交于点Q，判断P Q=2是否成立(不必证明) 【答】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）成立 【分析】（1）连接B，证明△∽△B 即可； （2）连接F，证△E F ∽△，根据射影定理即可证得； （3）由（1）（2）的结论可知，P•Q=2成立． 【详解】(1) 连结B，∵B 是⊙的直径，∴∠B=90° 而∠=∠B，∴△∽△B ∴ ， 即B=2 (2) 连结FB，易证△E∽△FB， ∴E F= B， ∴E F=2 (也可连结F，证△E∽△F) (3) 结论P Q=2成立 【点睛】本题考查相似三角形的性质，其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键． 1．（2022·内蒙古赤峰·九年级期末）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”， 也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙的两条弦B⊥D，则B、D 互为“十字弦”，B 是D 的“十字弦”，D 也是B 的“十字弦”． 【概念理解】 （1）若⊙的半径为5，一条弦B =8，则弦B 的“十字弦”D 的最大值为 ，最小值为 ． （2）如图2，若⊙的弦D 恰好是⊙的直径，弦B 与D 相交于，连接，若= 12，D =7， =9，求证︰B、D 互为“十 字弦”； 【问题解决】 （3）如图3，在⊙中，半径为 ，弦B 与D 相交于，B、D 互为“十字弦”且B=D， ，则D 的长度 ． 【答】（1）10，6；（2）证明见解析；（3）6． 【分析】（1）根据“十字弦”定义可得弦B 的“十字弦”D 为直径时最大，当D 过点或B 点时最小； （2）根据线段长度得出对应边成比例且有夹角相等，证明△∽△D，由其性质得出对应角相等，结合90°的圆周角证 出⊥D，根据“十字弦”定义可得； （3）过作E⊥B 于点E，作F⊥D 于点F，设D=x，由题意可得其它线段的长，在Rt△E 中，根据勾股定理列方程 得出x 的值，从而可求D 的长． 【详解】解：（1）当D 为直径时，D 最大，此时D=10， ∴弦B 的“十字弦”D 的最大值为10； 当D 过点时，D 长最小，即M 的长度，过点作⊥M，垂足为，作G⊥B，垂足为G，则四边形G 为矩形， = ∴G， ∵G⊥B，B=8， ∴G=4， =5 ∵ ， ∴由勾股定理得G=3， =3 ∴ ， ∵⊥M， ∴M=6， 即弦B 的“十字弦”D 的最小值是6． （2）证明：如图，连接D， =12 ∵ ， D=7， =9， ∴D=+D=16 ∴ ， ∴ = ∵∠∠， ∴△∽△D， = ∴∠∠D ∵D 是直径， ∴∠D=90°， =90° ∴∠ ， ∴⊥D， ∴B、D 互为“十字弦”． （3）如图，过作E⊥B 于点E，作F⊥D 于点F，连接，D，则四边形EF 是矩形，∴E=F，F=E， 设D=x， ∵ ，B=D， 则=5x，D=B=6x， ∴FD=E=3x， ∴E=F=3x-x=2x， ∵半径为 ， 在Rt△E 中，由勾股定理得， ， ∴ ， 解得，x=1， ∴D=6×1=6 【点睛】本题考查圆的相关性质，垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识， 准确做出辅助线是解答此题的关键． 1．（2017·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图， 中，弦 ， 相交于点 ， ， ， 则 的大小是( ) ． B． ． D． 【答】B 【详解】试题分析：∵∠D= =42° ∠ ，∴∠B= PD D=35° ∠ ∠ ﹣ ，故选B． 考点：圆周角定理． 2．（2019·四川·恩阳二中一模）圆内一条弦与直径相交成30°的角，且分直径1m 和5m 两段，则这条弦的长为___ __． 【答】4 【分析】根据垂径定理，过圆心作弦的垂线，构成直角三角形，然后利用30°的角所对的直角边是斜边的一半以及 勾股定理计算，求出弦长． 【详解】解：如图， B 是⊙的直径，D 是⊙的弦，B 与D 相交于E，∠DEB＝30°，E＝1m，EB＝5m， 过作⊥D 于，则＝D， 在Rt△E 中，E＝﹣E＝ ﹣1＝2， ∵∠DEB＝30°， ∴＝1， 在Rt△D 中，D＝B＝3， ∴D2＝D2﹣2＝9 1 ﹣＝8， ∴D＝2 ． D＝2D＝4 ． 故答是：4 m． 【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，然后过圆心作弦的垂线，由30°的角所对的直角边是斜边的 一半，得到弦心距的长，再用勾股定理可以求出弦长．