广东省广州市第十六中学2022-2023学年高二上学期期中检测数学试题

1 16 中2022 学年第一学期期中检测高二数学试题 命题人：李慧梅 审核人：蔡智雄 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．已知点    1, 3 , 1,3 3 A B  ，则直线AB 的倾斜角为（ ） A．2 3  B．6  C．3  D．5 6  2．已知直线 2 3 0 x y    与直线2 1 0 x my   平行，则它们之间的距离为（ ） A．3 10 2 B．10 C．3 5 2 D． 5 2 3．“ 4 3 m  ”是“直线 4 2 0 x my m     与圆 2 2 4 x y   相切”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．动点A 在圆 2 2 1 x y  上移动时，它与定点   3,0 B 连线的中点的轨迹方程是（ ） A． 2 2 3 2 0 x y x     B． 2 2 3 2 0 x y x     C． 2 2 3 2 0 x y y     D． 2 2 3 2 0 x y y     5． 如图， 在空间直角坐标系中有直三棱柱 1 1 1 ABC A B C  ,且 1 2 CA CC CB   ， 则直线 1 BC 与直线 1 AB 夹角的余弦值为（ ） A．3 5 B． 5 3 C．2 5 5 D． 5 5 6．已知从点  2,1  发出的一束光线，经x 轴反射后，反射光线恰好平分圆： 2 2 2 2 1 0 x y x y     的圆周， 则反射光线所在的直线方程为( ) A．3 2 1 0 x y   B．3 2 1 0 x y   C．2 3 1 0 x y   D．2 3 1 0 x y   7 PA PB PC  、 、 、 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60 ，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦 值是（ ） A．1 2 B． 2 2 C． 3 3 D． 6 3 8． 在Rt ABC  中， 90 , 1, 2 ACB AC BC      ，CD 是 ACB  的角平分线 （如图①） ． 若沿直线CD 将ABC  折成直二面角B CD A   （如图②） ．则折叠后 , A B 两点间的距离为（ ） 2 A． 2 B． 3 C．2 D．3 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项是符合 题目要求的。全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分。 9．已知向量   1,0,1 a  r ，   1,2, 3 b    ，   2, 4,6 c    ，则下列结论正确的是（ ） A．a b    B．b c ∥   C． , a c  为钝角 D．c 在a 方向上的投影向量为  4,0,4 10．已知直线1 l 的方程是 2 0, ax y b l    的方程是 0( 0, ) bx y a ab a b      ，则下列各示意图中，不正确 的是（ ） A． B． C． D． 11．瑞士著名数学家欧拉在1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被 后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作ABC  ， 4 AB AC   ，点 ( 1,3) B  ，点 (4, 2) C  ，且其 “欧拉线”与圆 2 2 2 :( 3) M x y r    相切，则下列结论正确的是（ ） A．ABC  的“欧拉线”方程为 1 y x   B．圆M 上点到直线 3 0 x y    的最大距离为3 2 C．若点( , ) x y 在圆M 上，则 2 2 x y  的最小值是3 2  D．圆 2 2 ( 1) ( ) 8 x a y a      与圆M 有公共点，则a 的取值范围是[1 2 2  ，1 2 2]  12．如图，棱长为1的正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D  中，M 为线段 1 AB 上的动点（含端点） ，则下列结论正确的 是（ ） 3 A．平面BCM 平面 1 A AM B．三棱锥 1 B MB C  体积最大值为1 6 C．当M 为 1 AB 中点时，直线 1 B D 与直线CM 所成的角的余弦值为 2 3 D．直线CM 与 1 A D 所成的角不可能是4  第II 卷（非选择题） 三、填空题：本小题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13．已知直线l 的方向向量   ,1,2 e m   ，平面的法向量   2, , 4 n n    ，若l   ，则2m n  ______． 14． 已知直线l 的倾斜角为45， 直线1 l 经过点   3,2 A ，  , 1 B a  ， 且直线1 l 与l 垂直， 直线2 1 : 2 0 l x by   与直线1 l 平行，则a b  _________． 15．两圆 2 2 3 0 x y x y      和 2 2 5 x y   的公共弦长等于___________. 16． 已知圆 2 2 : 5, , O x y A B   为圆O上的两个动点， 且 2, AB M  为弦AB 的中点，(2 2, ), (2 2, 2) C a D a  . 当 , A B 在圆O上运动时，始终有 CMD  为锐角，则实数a 的取值范围为__________． 四、解答题：共6 小题，共70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17． （10 分） 在平面直角坐标系xOy 中， 已知ABC  的三个顶点的坐标分别为   3,2 A  ，  4,3 B ，  1, 2 C  ． (1)在ABC  中，求BC 边上的高线所在的直线方程； (2)求ABC  的面积． 18． （12 分）如图，在平行六面体ABCD A B C D   中，AB＝4，AD＝3， 5 AA ，∠BAD＝90°， 60 BAA DAA      ，且点F 为BC与B C  的交点，点E 在线段AC上，有 2 AE EC  ． （1）求AC的长； （2）设EF    x AB    y AD    z AA ，求x，y，z 的值． 19．（12 分） 如图， 在多面体 1 1 1 ABC A B C  中， 四边形 1 1 ABB A 是正方形， CA 平面 1 1 ABB A ， 1 AC AB  ， 1 1 1 1 / / , 2 B C BC BC B C  （1）求证： 1 1 A B B C  （2）求A 到平面 1 BCC 的距离. 4 20．（12 分）一艘科考船在点O 处监测到北偏东30°方向40 海里处有一个小岛A，距离小岛10 海里范围 内可能存在暗礁．(1)若以点O 为原点，正东、正北方向分别为x 轴、y 轴正方向建立平面直角坐标系，写 出暗礁所在区域边界的⊙A 方程． (2)科考船先向东行驶了50 海里到达B 岛后，再以北偏西30°方向行驶的过程中，是否有触礁的风险？ 21． （12 分）在梯形ABCD中， / / AB CD ， 3 BAD    ， 2 2 4 AB AD CD    ，P 为AB 的中点，线段AC 与DP 交于O点 （图1） ． 将 ACD △ 沿AC 折起到 ACD △ 的位置， 使得二面角B AC D   为直二面角 （图2） ． (1)求证： / / BC 平面POD； (2)求二面角A BC D   的大小； (3)线段PD上是否存在点Q ，使得CQ 与平面BCD所成角的正弦值为 6 8 ？若存在，求出PQ PD的值；若不 存在，请说明理由． 22． （12 分）已知圆 2 2 : 1 O x y  与x 轴负半轴相交于点A ，与y 轴正半轴相交于点B . （1）若过点 1 3 , 2 2 C         的直线l 被圆O截得的弦长为 3 ，求直线l 的方程； （2）若在以B 为圆心半径为r 的圆上存在点P ，使得 2 PA PO  (O为坐标原点)，求r 的取值范围； （3）设     1 1 2 2 , , , M x y Q x y 是圆O上的两个动点，点M 关于原点的对称点为 1 M ，点M 关于x 轴的对称点 为 2 M ，如果直线 1 2 QM QM 、 与y 轴分别交于  0,m 和  0,n ，问m n  是否为定值？若是求出该定值；若不 是，请说明理由.