专题18.2 平行四边形的判定【九大题型】（原卷版）

专题182 平行四边形的判定【九大题型】 【人版】 【题型1 判断能否构成平行四边形】.....................................................................................................................1 【题型2 添加条件构成平行四边形】.....................................................................................................................2 【题型3 数图形中平行四边形的个数】................................................................................................................. 3 【题型4 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】..........................................................................................4 【题型5 证明四边形是平行四边形】.....................................................................................................................5 【题型6 全等三角形拼平行四边形问题】............................................................................................................. 6 【题型7 利用平行四边形的判定和性质求解】.....................................................................................................8 【题型8 利用平行四边形的判定和性质证明】.....................................................................................................9 【题型9 平行四边形的应用】...............................................................................................................................11 【知识点1 平行四边形的判定】 (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 (3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 (5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【题型1 判断能否构成平行四边形】 【例1】（2021 秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）如图，为了体验四边形的不稳定性，将 四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边 形ABCD为平行四边形；②对角线BD的长度不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边 形ABCD的周长不变，其中所有正确的结论是（ ） ．①② B．①④ ．①②④ D．①③④ 【变式1-1】（2022 春·北京西城·八年级校考期中）下列∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值中， 能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ） 1 ．1∶2∶3∶4 B．1∶4∶2∶3 ．1∶2∶2∶1 D．3∶2∶3∶2 【变式1-2】（2021 春·河南新乡·八年级新乡市第十中学校考期中）在四边形ABCD中，对 角线AC ,BD相交于点．给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD， AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定这个四边形是平 行四边形的条件有（ ） ．①②③ B．②③④ ．①②④ D．①③④ 【变式1-3】（2022 春·浙江舟山·八年级统考期末）如图，已知▱ABCD的一组邻边B， B，用尺规作图作▱ABCD，下列4 个作图中，作法与理论依据都正确的有几个（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【题型2 添加条件构成平行四边形】 【例2】（2022 春·山东枣庄·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角 线AC上的两点，如果添加一个条件使四边形BEDF是平行四边形，则添加的条件不能是 （ ） ．DE=BF B．AE=FC ．AF=CE D．∠1=∠2 【变式2-1】（2022 春·河南南阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D，E，F 分别 为边B，B，上的点，连接FD 并延长到点G，已知FG∥AB，则添加下列条件，可以使线 段G，DE 互相平分的是（ ） ．AD=EG B．DF=DG ．DE∥AC D．DG=AE 【变式2-2】（2022 春·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）若是四边形BD 的对角线和BD 的 1 交点，且B＝D，＝24m，则当＝_____m 时，四边形BD 是平行四边形． 【变式2-3】（2022 春·河南新乡·八年级统考期末）如图，在四边形BD 中，DE⊥AC， BF ⊥AC，垂足分别为点E，F． (1)请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形DEBF 为平行四边形，你添加的条 件是______． (2)添加了条件后，请证明四边形DEBF 为平行四边形． 【题型3 数图形中平行四边形的个数】 【例3】（2021 春·内蒙古包头·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中， EF ∥BC ，GH ∥AB ，EF与GH相交于点O，图中共有个平行四边形( ) ．4 个 B．5 个 ．8 个 D．9 个 【变式3-1】（2021 春·重庆·八年级期末）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的 规律组成，其中第①个图形中一共有10 个平行四边形，第②个图形中一共有14 个平行四 边形，第③个图形中一共有19 个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑥个图形中平 行四边形的个数为（ ） ．39 B．40 ．41 D．42 【变式3-2】（2021 春·浙江杭州·八年级期末）如图，点，B，在同一直线上，点D，E， F，G 在同一直线上，且AC // DG , AD // BE // CF , AF // BG．图中平行四边形有（ ） 个 1 ．4 B．5 ．3 D．6 【变式3-3】（2021 春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）如图，由25 个点构成的5×5 的 正方形点阵中，横、纵方向相邻的两点之间的距离都是1 个单位．定义：由点阵中的四个 点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边形．图中以，B 为顶点，面积为4 的阵点平行四 边形的个数为（ ） ．6 个 B．7 个 ．9 个 D．11 个 【题型4 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 【例4】（2020 春·四川广元·八年级统考期末）已知，B，三点的坐标分别是(3，3)，(8， 3)，(4，6)，若以，B，，D 四点为顶点的四边形是平行四边形，则D 点的坐标不可能是（ ） ．(−1，6) B．(9，6) ．(7，0) D．(0，−6) 【变式4-1】（2019 秋·江苏南通·八年级校考期末）以不在同一直线上的三个点为顶点作平 行四边形最多能作( ) ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 【变式4-2】（2022 春·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系内，以（3， 5），B（1，1），（4，1）三点为顶点画平行四边形． (1)可以画多少个平行四边形？ (2)写出每个平行四边形第四个顶点D 的坐标． 【变式4-3】（2020 春·山东济南·八年级统考期末）在平面直角坐标系xy 中，已知点(1， 1)，B(3，2)． 1 （1）如图1，在y 轴上是否存在－点P，使P＋PB 最小，若存在求出点P 的坐标；若不存 在，请说明理由． （2）如图2，点坐标为(4，1)，点D 由原点沿x 轴正方向以每秒1 个单位的速度运动，求 点D 运动几秒时，四边形BD 是平行四边形； （3）点P 在x 轴上，点Q 在y 轴上，且以、B、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，请直 接写出点P 以及对应的点Q 的坐标． 【题型5 证明四边形是平行四边形】 【例5】（2023 秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，在△ABC中，BC ＝AC，点E，F 分别是边AB，AC的中点，连接EF并延长，交△ABC外角∠ACD的平分线于点G．求 证：四边形AECG是平行四边形． 【变式5-1】（2022 春·湖北恩施·八年级统考期末）如图，BE 是△B 的中线，延长BE 到 D，使ED＝BE，连接D，D，补全图形．判断四边形BD 的形状，并证明你的结论． 【变式5-2】（2022 春·宁夏中卫·八年级校考期末）如图，△ABC是等边三角形，点D是 射线BC上的一个动点(点D不与点B，C重合)，△ADE是以AD为边的等边三角形，过点 E作BC的平行线，分别交射线AB，AC于点F，G，连接BE． 1 (1)求证：△AEB≌△ADC． (2)当点D在线段BC上时．探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并写出证明过程． 【变式5-3】（2022 春·江西九江·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F 分别是AD，BC边上的点，且DE=CF，连接BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为 N，连接MN，EF． (1)求证：四边形ABFE为平行四边形； (2)若AD=6cm，求MN的长． 【题型6 全等三角形拼平行四边形问题】 【例6】（2022 春·福建厦门·八年级统考期中）如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各 两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1 和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图 1、图2、图3 是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为 1． (1)请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要 把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平 行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图 3 的方格纸上． 要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合； ②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹． (2)请证明你在图1 所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）． 1 【变式6-1】（2021·全国·九年级专题练习）如图，有两块全等的含30°角的直角三角板， 将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（ ） ．1 种 B．2 种 ．3 种 D．4 种 【变式6-2】（2021·河南周口·三模）把三角形形状的纸片放在方框纸上，使其每一个顶点 都在格点上，如图1 所示（方格边长均为∠）．对这个三角形进剪切、拼接后，可以得到 一个平行四边形，如图2 中阴影部分所示． 剪切、拼接的方如下：如图2，取B 的中点M，连接M﹔剪下△M 后，拼接到△BE 位置，可 得到平行四边形EBM． 我们约定：剪切、拼接时，纸片的每一部分都要被用到，而且不得用所给纸片以外的纸片． (1)请你采用不同于图2 的剪切、拼接方，也得到一个平行四边形，在图3 中用阴影表示出 你得到的平行四边形，并补充已知和求证，写出证明过程． (2)对这个三角形进行剪切、拼接后，也可以得到一梯形．试在图4 中，用阴影表示出你得 到的梯形（不必说明剪切、拼接方，但必须保留作图痕迹）． 【变式6-3】（2020 秋·河北石家庄·九年级校考期中）如图所示，ΔABC的顶点在8×8的格 中的格点上． (1)画出ΔABC绕点逆时针旋转90 °得到的ΔA B1C1； (2)在图中确定格点D，并画出一个以、B、、D 为顶点的四边形，使其为中心对称图形． 1 【题型7 利用平行四边形的判定和性质求解】 【例7】（2022 秋·山东淄博·八年级校考期末）如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点 P作EF ∥BC，GH ∥AB，且CG=3 BG，S▱BEPG=1.5，则S▱AEPH=¿__． 【变式7-1】（2021 秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在Rt △ABC中， ∠ACB＝90°，分别以AB，AC为腰向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形 ACE，连接DE，CA的延长线交DE于点F，则与线段AF相等的是（ ） ．1 2 BC B．1 2 AB ．1 2 AC D．2 3 AB 【变式7-2】（2022 春·广东深圳·八年级校考期末）如图，BD 垂直平分，交于E，∠BD＝ ∠DF，F⊥，垂足为，F＝DF＝5，D＝6，则的长为__． 【变式7-3】（2022 秋·江苏·八年级期末）【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进 行自主合作探究．图①是一块边长为12m 的等边三角形学具，P是边AC上一个动点，由 点A 向点C 运动，速度为1cm/s，Q是边CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由 点B向CB延长线方向运动，连接PQ，交AB于点D，设点P运动的时间为t(s\)． 1 (1)【问题】填空：CP+CQ=¿ cm； (2)当∠DQB=30°时，求t的值； (3)【探究】如图②，过点P作PE⊥AB，垂足为E，在点P，点Q运动过程中，线段DE 的长度是否发生变化？若不变，请求出DE的长度；若变化，请说明理由． 【题型8 利用平行四边形的判定和性质证明】 【例8】（2022 春·吉林长春·八年级统考期末）如图，以▱ABCD的边AB、CD为边，作 等边△ABE和等边△CDF，连接DE，BF．求证：四边形BFDE是平行四边形． 【变式8-1】（2022 春·四川成都·八年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，BD=2 AB，点E为线段OC的中点． (1)求证：∠ABO=2∠ODE； (2)若F，G分别是OB，AD的中点． ①判断△EFG的形状并证明你的结论； ②当EF ⊥EG，且AB=2❑ √5时，求平行四边形ABCD的面积． 【变式8-2】（2022 春·四川成都·八年级统考期末）已知，在△ABC中，点M 是BC的中点， 点D 是线段AM上一点（不与点重合）．过点D 作AB的平行线，过点作AM的平行线， 两线交于点E，连结AE． 1 (1)如图1，当点D 与M 重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形； (2)如图2，当点D 不与M 重合时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立， 请说明理由； (3)图3，延长BD交AC于点，若BH ⊥AC，且BH=AM，求∠CAM的度数． 【变式8-3】（2022 春·江西吉安·八年级统考期末）如图，△ABC中，AB=AC=2， ∠B=30°，将△ABC绕顶点逆时针旋转得到△ADE．设旋转角度为α度(0°≤α<120° )， D 交B 于点F，DE 分别交B、于点G、．试探究以下问题： (1)当α=¿_______时，△ABF为直角三角形； (2)当△ADH且为等腰三角形时，求BF 的值； (3)连接BD，是否存在角α，使得四边形BD 为平行四边形?如果存在，直接写出α的大小： 如果不存在，请说明理由． 【题型9 平行四边形的应用】 【例9】（2022 春·八年级课时练习）如图，一块草地的中间有一条弯路，AC ∥BD， CE∥DF．请给出一种方，把道路改直，且草地的种植面积保持不变． 【变式9-1】（2022·全国·九年级专题练习）村庄和村庄B 位于一条小河的两侧，若河岸彼 此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使与B 之间的距离最短？ 1 【变式9-2】（2021 春·八年级课时练习）如图，田村有一口四边形的池塘，在它的四角、 B、、D 处均有一棵大桃树、田村准备开挖养鱼，想使池塘的面积扩大一倍，并要求扩建后 的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想?若能，画出图形，说明理由． 【变式9-3】（2021·江苏无锡·九年级专题练习）某市要在一块平行四边形BD 的空地上建 造一个四边形花，要求花所占面积是▱ABCD面积的一半，并且把四边形花的四个顶点作 为出入口，要求分别在▱ABCD中的四条边上，请你设计两种方： 方（一）：如图①所示，两个出入口E , F以确定，请在图①上画出符合要求的四边形花， 并简要说明画法； 方（二）：如图②所示，一个出入口M已确定，请在图②上画出符合要求的梯形花，并简 要说明画法 1