专题5.1 平行线的判定【九大题型】（解析版）

专题51 平行线的判定【九大题型】 【人版】 【题型1 对顶角的识别及其性质】.........................................................................................................................1 【题型2 平行、垂直】............................................................................................................................................. 5 【题型3 平行公理及其推论】.................................................................................................................................8 【题型4 同位角相等，两直线平行】...................................................................................................................11 【题型5 内错角相等，两直线平行】...................................................................................................................13 【题型6 同旁内角互补，两直线平行】............................................................................................................... 16 【题型7 平行线的判定方法的综合运用】........................................................................................................... 19 【题型8 角平分线与平行线的判定综合运用】...................................................................................................22 【题型9 平行线判定的实际应用】.......................................................................................................................26 【题型1 对顶角的识别及其性质】 【例1】（2022·内蒙古呼伦贝尔·七年级期中）下列各图中，∠1 与∠2 是对顶角的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据对顶角的概念逐一判断即可． 【详解】解：、∠1 与∠2 的顶点不相同，故不是对顶角，此选项不符合题意； B、∠1 与∠2 的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意； 、∠1 与∠2 是对顶角，故此选项符合题意； D、∠1 与∠2 的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查的是对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个 1 角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角,解题关键是熟练掌握定 义，正确判断． 【变式1-1】（2022·广东·揭西县阳夏华侨中学七年级期末）已知：如图，直线B、D 相交 于点，E 平分∠，∠E＝2 5∠B． (1)图中的对顶角有 对，它们是 ． (2)图中互补的角有 对，它们是 ． (3)求∠ED 的度数． 【答】(1)两；∠和∠BD，∠B 和∠D (2)八；∠和∠B，∠和∠D，∠BD 和∠D，∠BD 和∠B，∠E 和∠BE，∠E 和∠ED，∠E 和∠EB， ∠E 和∠ED (3)140° 【分析】（1）根据对顶角的定义，判断即可； （2）根据补角的定义进行判断即可； （3）根据E 平分∠，得出∠E＝∠E，设∠B＝x，则∠E＝∠E＝2 5x，列出关于x 的方程，解方 程即可得出∠B 的度数，再求出∠DE 的度数，即可得出结果． （1） 解：图中的对顶角有：∠和∠BD，∠B 和∠D． 故答为：两；∠和∠BD，∠B 和∠D． （2） 图中互补的角有：∠和∠B，∠和∠D，∠BD 和∠D，∠BD 和∠B，∠E 和∠BE，∠E 和∠ED， ∵E 平分∠， ∴∠E=∠E， ∵∠E+∠BE=180°， ∴∠E+∠BE=180°， ∴∠E 和∠EB 互补， ∵∠E+∠ED=180°， 1 ∴∠E+∠ED=180°， ∴∠E 和∠ED 互补． 故答为：八；∠和∠B，∠和∠D，∠BD 和∠D，∠BD 和∠B，∠E 和∠BE，∠E 和∠ED，∠E 和 ∠EB，∠E 和∠ED． （3） ∵E 平分∠， ∴∠E＝∠E， 设∠B＝x，则∠E＝∠E＝2 5x，由平角定义得， 2 5x+2 5x+x＝180°， 解得：x＝100° ∴∠E＝∠E＝1 2（180° 100° ﹣ ）＝40°， ∴∠DE＝100°+40°＝140°， 答：∠ED 的度数为140°． 【点睛】本题主要考查了对顶角的定义、补角的定义、角平分线的定义，熟练掌握相关定 义，根据题意求出∠B 的度数，是解题的关键． 【变式1-2】（2021·山东·济南市钢城区实验学校期末）如图，直线B，D 相交于点， OE⊥CD，F 平分∠AOD，若∠AOD=50°求∠EOF的度数 【答】65° 【分析】根据角平分线的定义可得∠FD=∠F=1 2 ∠D=25°，根据垂线的性质可得∠ED=90°， 再进行解答即可． 【详解】解：∵F 平分∠D，∠D=50°， ∴∠FD=∠F=1 2 ∠D=25°， ∵E⊥D， ∴∠ED=90°， 1 ∴∠EF=∠ED-∠FD=90°-25°=65°． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质和角平分线的定义，熟练掌握相关的性质是解答本题 的关键． 【变式1-3】（2022·辽宁·鞍山市第二中学七年级阶段练习）直线AB，CD相交于点O， OE平分∠BOD，OF平分∠COE． (1)若∠AOC=76°，∠BOF=¿______度． (2)若∠BOF=36°，∠AOC的度数是多少？ 【答】(1)33 (2)∠的度数是72° 【分析】（1）根据对顶角、邻补角、角平分线的定义，求出∠EF 和∠EB 的度数，再根据 角的和差即可得∠BF 的度数； （2）根据对顶角、邻补角、角平分线的定义，先用∠BE 的等式表示∠，再根据角分线的定 义，列出等式即可求得结果． （1） ∵∠AOC=76°， ∴∠BOD=∠AOC=76°， ∵OE平分∠BOD， ∴∠BOE=∠DOE=38°， ∵∠COE+∠DOE=180°， ∴∠COE=180°−∠DOE=142°， ∵OF平分∠COE， ∴∠EOF=∠COF=71°， ∵∠BOF+∠BOE=∠EOF， ∴∠BOF=∠EOF−∠BOE ¿71°−38° ¿33° 故答为：33； （2） 1 设∠AOC=x°， ∴∠BOD=∠AOC=x°， ∵OE平分∠BOD， ∴∠BOE=∠DOE=1 2 x°， ∵∠COE+∠DOE=180°， ∴∠COE=180°−∠DOE=180°−1 2 x°， ∵OF平分∠COE， ∴∠EOF=∠COF=1 2(180°−1 2 x°)°， ∵∠BOF+∠BOE=∠EOF，∠BOF=36° ∴36°+ 1 2 x°=1 2(180°−1 2 x°)°， ∴x=72°． 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、角平分线的定义，解题关键是观察图形分清楚哪两 个角相等，哪些角相加得180 度． 【题型2 平行、垂直】 【例2】（2022·福建·厦门双十中学海沧附属学校七年级期末）如图，点在直线l1上，点 B，在直线l2上，B⊥l2，⊥l1，B＝4，B＝3，则下列说法正确的是（ ） ．点到直线l2的距离等于4 B．点到直线l1的距离等于4 ．点到B 的距离等于4 D．点B 到的距离等于3 【答】 【分析】根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，即可得到 答． 【详解】解：点到直线l2的距离为B 的长，等于4，故正确； 点到直线l1的距离为的长，大于4，故B 错误； 点到B 的距离为B 的长，等于3，故错误； 1 同理，点B 到的距离也不是3，故D 错误， 故选： 【点睛】本题考查点到直线的距离，掌握定义是解题的关键． 【变式2-1】（2022·广西·钦州市第四中学七年级阶段练习）下列说法正确的是（ ） ．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b∥c，则a∥c B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c ．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b⊥c，则a∥c D．在同一平面内，a，b，c是直线，且，a∥b,b∥c则a⊥c 【答】 【分析】根据平行线的性质分析判断即可． 【详解】．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b∥c，则a∥c，故选项正确，符合 题意． B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a // c，故选项错误，不符合题 意． ．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b⊥c，则a⊥c，故选项错误，不符合题意． D．在同一平面内，a，b，c是直线，且，a∥b,b∥c则a // c，故选项错误，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确分析判断是解题的关键． 【变式2-2】（2022·吉林·公主岭市陶家中学七年级阶段练习）如图，因为AB⊥l， BC ⊥l，B为垂足，所以AB和BC重合，其理由是（ ） ．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ．垂直同一条直线的两条直线平行 D．垂线段最短 【答】B 【分析】利用“平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，逐一分析，排除 错误答即可． 【详解】解：点、可以确定一条直线，但不可以确定三点B、、都在直线l 的垂线上，故本 1 选项错误； B 直线B、B 都经过一个点B，且都垂直于直线l，故本选项正确； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误； D 此题没涉及到线段的长度，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了垂直的定义、两点确定一条直线、垂线段最短，熟练掌握和运用各定 义和性质是解决本题的关键 【变式2-3】（2022·江苏·九年级）如图，点、点B 是直线l 上两点，B＝10，点M 在直线l 外，MB＝6，M＝8，∠MB＝90°，若点P 为直线l 上一动点，连接MP，则线段MP 的最小 值是____． 【答】48 【分析】根据垂线段最短可知：当MP⊥B 时，MP 有最小值，利用三角形的面积可列式计 算求解MP 的最小值． 【详解】解：当MP⊥B 时，MP 有最小值， ∵B＝10，MB＝6，M＝8，∠MB＝90°， ∴B•MP＝M•BM， 即10MP＝6×8， 解得MP＝48． 故答为：48． 【点睛】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到MP 最小时的P 点位置是解题的 关键． 【知识点 平行线的判定】 1 平行公理及其推论 ①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 ②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 2 平行线的判定方法 ①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（同位角相等，两 直线平行） ②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 （内错角相等，两 1 直线平行 ③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行（同旁内角互补，两 直线平行） 【题型3 平行公理及其推论】 【例3】（2022·江西上饶·七年级期中）同一平面内的四条直线若满足a⊥b，b⊥c， c⊥d，则下列式子成立的是（ ） ．a∥d B．b⊥d ．a⊥d D．b∥c 【答】 【分析】根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，可证a∥c，再结合c⊥d， 可证a⊥d． 【详解】解：∵a⊥b，b⊥c， ∴a∥c， ∵c⊥d， ∴a⊥d， 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行线及垂线的性质，解题的关键是掌握同一平面内，垂直于同 一条直线的两条直线平行． 【变式3-1】（2022·河南漯河·七年级期末）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘B 的垂线 和b，得到∥b，理由是（ ） ．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答】B 【分析】三条直线B、、b 位于同一平面内，且直线与直线b 都垂直于B，即可根据在同一 平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行的性质来判断出∥b． 【详解】∵直线B、、b 位于同一平面内，且B⊥、B⊥b ∴∥b（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行） 故答为B． 1 【点睛】本题考查了平行线判定的性质，根据已知题目反应出两条直线是同一平面内，且 同时垂直于一条直线是本题的关键． 【变式3-2】（2022·湖北武汉·七年级期中）下列命题：①内错角相等；②两个锐角的和是 钝角；③ ， b ， 是同一平面内的三条直线，若//b，b// ，则// ；④ ， b ， 是同一平面 内的三条直线，若  b ， b  ，则  ； 其中真命题的个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】根据平行线性质可判断①，根据两锐角的大小求和可判断②，根据平行公理推论 可判断③，根据垂直定义得出∠1= 2=90° ∠ ，然后利用同位角相等，两直线平行的判定可判 断④． 【详解】解：①两直线平行，内错角相等，故①不正确； ②两个锐角的和可以是锐角，直角，钝角，故②不正确； ③ ， b ， 是同一平面内的三条直线，若//b，b// ，则// ，故③正确； ④ ， b ， 是同一平面内的三条直线，如图 ∵  b ， b  ， 1=90° ∴∠ ，∠2=90°， 1= 2 ∴∠ ∠ ∴ ∥ ，故④不正确； ∴真命题只有1 个． 故选． 【点睛】本题考查平行线的性质与判定，两锐角和的大小，掌握平行线的性质与判定，锐 角定义是解题关键． 【变式3-3】（2022·四川·甘孜藏族自治州育局七年级期末）如图， AB∥CD， 如果 ∠1=∠2， 那么EF与AB平行吗？ 说说你的理由． 解：因为∠1=∠2， 所以____________∥___________．（ ） 又因为AB∥CD， 所以AB∥EF． （ ） 1 【答】D∥EF；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行 【分析】根据平行线的判定定理完成填空即可求解． 【详解】解：因为∠1=∠2， 所以D∥EF．（内错角相等，两直线平行） 又因为AB∥CD， 所以AB∥EF．（平行于同一直线的两条直线平行） 【点睛】本题考查了平行线的判定，平行公理，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【题型4 同位角相等，两直线平行】 【例4】（2022·甘肃·陇南育才学校七年级期末）如图，AB⊥MN，垂足为B， CD⊥MN，垂足为D，∠1＝∠2．在下面括号中填上理由． 因为AB⊥MN，CD⊥MN， 所以∠ABM＝∠CDM＝90°． 又因为∠1＝∠2( )， 所以∠ABM−∠1＝∠CDM−∠2( )， 即∠EBM＝∠FDM． 所以EB∥FD( ) 【答】 已知 等量减等量，差相等 同位角相等，两直线平行 【分析】根据垂线的定义，得出∠ABM＝∠CDM＝90°，再根据角的等量关系，得出 ∠EBM＝∠FDM，然后再根据同位角相等，两直线平行，得出EB∥FD，最后根据解 题过程的理由填写即可． 【详解】因为AB⊥MN，CD⊥MN， 所以∠ABM＝∠CDM＝90°． 又因为∠1＝∠2（已知）， 1 所以∠ABM−∠1＝∠CDM−∠2（等量减等量，差相等）， 即∠EBM＝∠FDM． 所以EB∥FD（同位角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查了垂线的定义、平行线的判定，解本题的关键在熟练掌握平行线的判定 定理． 【变式4-1】（2022·湖北·蕲春县向桥乡白水中学七年级阶段练习）如图，过直线外一点画 已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是______． 【答】同位角相等，两直线平行 【分析】作图时保持∠1= 2 ∠，根据同位角相等，两直线平行即可画出已知直线的平行线． 【详解】解：过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是：同 位角相等，两直线平行． 故答为：同位角相等，两直线平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行公理，解决本题的关键是掌握平行线 的判定和性质． 【变式4-2】（2022·山东泰安·七年级期末）如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°， ∠2=∠3．请说明线段BE 与DF 的位置关系？为什么？ 【答】BE∥DF，见解析 【分析】由已知推出∠3+ 4=90° ∠ ，利用∠1+∠2=90°，∠2=∠3，得到∠1= 4 ∠，即可 得到结论BE∥DF． 【详解】解：BE∥DF， ∵AB⊥BC， ∴∠B=90°， 3+ 4=90° ∴∠ ∠ ， 1 ∵∠1+∠2=90°，∠2=∠3， 1= 4 ∴∠ ∠， ∴BE∥DF． 【点睛】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理并熟练应用是解题的关键． 【变式4-3】（2022·北京东城·七年级期末）如图，直线l与直线AB，CD分别交于点E，F， ∠1是它的补角的3 倍，∠1−∠2=90°．判断AB与CD的位置关系，并说明理由． 【答】AB∥CD；理由见解析 【分析】先根据补角的定义求出∠1的度数，然后求出∠FE 和∠2 的度数，最后根据平行线 的判定进行解答即可． 【详解】解：AB∥CD；理由如下： ∵∠1是它的补角的3 倍， ∴设∠1=α，则∠1的补角为1 3 α， ∴α+ 1 3 α=180°， 解得：α=135°， ∴∠1=135°， ∴∠CFE=180°−∠1=45°， ∵∠1−∠2=90°， ∴