模型34 旋转——费马点模型-原卷版

旋转 模型（三十四）——费马点模型 费马点：到一个三角形三个顶点距离之和最小的点，称为三角形的费马点 当P+PB+P 取最小值时，点P 叫三角形的费马点 ◎结论：如图,△B 的三个内角均不大于120°，点P 在形内， 当∠BP＝∠P＝∠P＝120 时，P+PB+P 的值最小 【证明】如图，将△BP 绕点B 逆时针旋转 60°，得到△1BP1， 连接 PP1，则△BPP1是等边三角形，所以 PB=PP1 由旋转的性质可得P+PB+P ＝ P11+PP1+P≥1, ∴当1、P1、P、四点共线时，P+PB+P 的值最小， △BPP ∵ 1是等边三角形，∠BPP1＝60º， ∠BP ∴ ＝120º， ∠PB ∵ ＝∠1P1B，∠BP1P＝60º， ∠PB ∴ ＝180º－60º＝120º 则∠P＝360º－120º－120º＝120º， 故∠BP＝∠P＝∠P＝120º 费马点作法： 分别以、B、B 为边作等边△D、△BE、△BF,连接F,BD,E, 由手拉手可得△E △DB ≌ ，△BE △FB, ≌ E ∴＝BD，E＝F， E ∴＝BD＝F 旋转角：∠BPE＝∠EP＝∠PD＝60° 1．（2021·四川·成都实外九年级阶段练习）如图，在 中， ，P 是 内一点， 求 的最小值为______． 有等边，求长度，不好求，作等边 2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，四边形 是菱形， B=6，且∠B=60° ，M 是菱形内任一点，连接 M，BM，M，则M+BM+M 的最小值为________． 1．（2022·福建三明·八年级期中）【问题背景】17 世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马， 提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”． 如图，点 是 内的一点，将 绕点 逆时针旋转60°到 ，则可以构造出等边 ，得 ， ，所以 的值转化为 的值，当 ， ， ， 四点共线时，线段 的长为所求的最小值，即点 为 的“费马点”． (1)【拓展应用】 如图1，点 是等边 内的一点，连接 ， ， ，将 绕点 逆时针旋转60°得到 ． ①若 ，则点 与点 之间的距离是______； ②当 ， ， 时，求 的大小； (2)如图2，点 是 内的一点，且 ， ， ，求 的最小值． 2．（2021·江苏·苏州工业区星湾学校八年级期中）背景资料：在已知 所在平面上求一点P，使它到三角形的 三个顶点的距离之和最小这个问题是法国数学家费马1640 年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被 人们称为“费马点”．如图1，当 三个内角均小于120°时，费马点P 在 内部，当 时，则 取得最小值． (1)如图2，等边 内有一点P，若点P 到顶点、B、的距离分别为3，4，5，求 的度数，为了解决本题， 我们可以将 绕顶点旋转到 处，此时 这样就可以利用旋转变换，将三条线段 、 、 转化到一个三角形中，从而求出 _______； 知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并 连接等边三角形的顶点与 的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． (2)如图3， 三个内角均小于120°，在 外侧作等边三角形 ，连接 ，求证： 过 的费 马点． (3)如图4，在 中， ， ， ，点P 为 的费马点，连接 、 、 ，求 的值． (4)如图5，在正方形 中，点E 为内部任意一点，连接 、 、 ，且边长 ；求 的 最小值． 3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，△B 中，∠B＝45°，B＝6，＝4，P 为平面内一点，求 最小值 1．如图，在平面直角坐标系xy 中，点B 的坐标为(0，2)，点 在轴的正半轴上， ，E 为 △BD 的中线，过B、 两点的抛物线 与轴相交于 、 两点（ 在 的左侧） （1）求抛物线的解析式； （2）等边△ 的顶点M、在线段E 上，求E 及 的长； （3）点 为△ 内的一个动点，设 ，请直接写出 的最小值,以及 取得最小值时，线段 的长 2．（2022·广东广州·一模）如图，在Rt△B 中，∠B=90°，B=，点P 是B 边上一动点，作PD⊥B 于点D，线段D 上 存在一点Q，当Q+QB+Q 的值取得最小值，且Q=2 时，则PD=________．