模型33 旋转——奔驰模型-原卷版

旋转 模型（三十三）——奔驰模型 ◎结论：如图 ,等边△B，P=3，PB=4，P=5， 则①∠PB=150º， ②S△B＝ ❑ √3 4 B2＝25 ❑ √3+36 4 关键：旋转可以让线段动起来 ①【证明】以P 为边向左侧作等边△PD，连接BD, △B,△DP ∵ 为等边三角形 ∠DB ∴ ＝60°-∠BP ,∠P＝60°-∠BP ∠DB ∴ ＝∠P 可得△DB △P ≌ DB ∴ ＝P＝5 DP² ∵ ＋BP²＝DB²， ∠DPB ∴ ＝90°，∠PB＝150° ②过B 作BQ⊥P 于Q, ∠PB ∵ ＝150° ∠BPQ ∴ ＝30°，BP＝4，BQ＝2 PQ ∴ ＝❑ √BP ²−BQ ²＝2❑ √3 B² ∴ ＝Q²＋BQ²＝25＋12❑ √3 ∴ ❑ √3 4 B²＝25 ❑ √3+36 4 各种旋法： 超酷炫又实用：S= ❑ √3 4 2 1．（2021·黑龙江佳木斯·九年级期中）如图，P 是等边三角形B 内一点，将△P 绕点顺时针旋转60°得到 △BQ，若P＝2，PB＝4， ，则四边形PBQ 的面积为（ ） ． B． ． D． 2．（2022·贵州毕节·八年级期末）如图，P 是等边三角形 内的一点，且 ，将 绕点B 顺时针旋转得到 ，连接 ，则以下结论中不正确是（ ） ． B． ． D． 3．（2022·广西桂林·八年级期末）如图，在等边三角形B 中，点P 是 内一点， ， ， ，则 的度数为（ ） ．160° B．155° ．150° D．145° 4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，等边三角形B 内一点P 到三角形三个顶点的距离P=3，PB=4， P=5，则∠PB 的大小是（ ） ．150° B．120° ．100° D．以上都不对 1．（2022·辽宁·丹东第九中学八年级期末）如图，点 是等边三角形 内的一点，且 ， ， ，则 的度数为______． 2．（2021·浙江温州·八年级期中）如图，点P 到等边三角形B 各顶点的距离分别是P＝2，PB＝15，P＝ 25．若将线段P 绕点顺时针旋转60°得到线段Q，连接BQ．则∠PB 的度数是______度． 3．（2022·广东顺德德胜学校八年级阶段练习）如图，等边三角形 内有一点P，分别连接 、 、 ，若 ， ， ． (1)则线段 、 、 构成的三角形是______三角形（填“钝角、直角、锐角”）； (2)将 绕点B 顺时针旋转60°，画出旋转后的 ，并由此求出 的度数； (3)求三角形 的面积． 1．（1）如图，在等边三角形 内有一点 ，且 ， ， ，冰墩墩同学作了如图 的辅助线，将 绕点 按逆时针方向旋转 、如图所示，连接 ，请你按照冰墩墩的方法求出 的度数． （2）如图，在正方形 内有一点 ，且 ， ， ，类比第（1）题的方法． 求 的度数； 与 的面积之和． （3）如图，在（2）的基础上请求出正方形 的面积． 2．如图，点 是等边三角形 外一点， ， ， ．将 绕点 逆时针旋转60° 后得到 ． (1)求证： 是直角三角形； (2)求 的面积．