九上专题04 相似三角形的四种基本模型（学生版）

专题04 相似三角形的四种基本模型 模型一、字型(8 字型) 例1．(基本模型)如图，已知D 是B 的中点，M 是D 的中点．求 的值． 例2．(培优)如图， 中，点D 在 边上，且 ． (1)求证： ； (2)点E 在 边上，连接 交 于点F，且 ， ，求 的度数． (3)在(2)的条件下，若 ， 的周长等于30，求 的长． 【变式训练1】如图，点是△B 边B 上一点，过点的直线分别交B，所在直线于点M，，且 ＝m， ＝． (1)若点是线段B 中点． ①求证：m+＝2； ②求m 的最大值； (2)若 ＝k(k≠0)求m，之间的关系(用含k 的代数式表示)． 【变式训练2】矩形BD 中，B＝8，D＝12．将矩形折叠，使点落在点P 处，折痕为DE． (1)如图①，若点P 恰好在边B 上，连接P，求 的值； (2)如图②，若E 是B 的中点，EP 的延长线交B 于点F，求BF 的长． 模型二、X(8)字型 X 字型(平行) 反X 字型(不平行) 例1．(基本模型)已知：如图，在△B 中，点D、E 分别在边B、上，DE B ∥，点F 在边B 上， B2=BF•B，F 与DE 相交于点G． (1)求证：DF•B=B•DG； (2)当点E 为中点时，求证：2DF•EG=F•DG． 例2．(培优)如图1，ΔB 中，B=，点D 在B 的延长线上，点E 在B 上，DE=D，点F 是DE 与的交点． (1)求证：∠BDE=∠D； (2)若DE=2DF，过点E 作EG//交B 于点G，求证：B=2G； (3)将“点D 在B 的延长线上，点E 在B 上”改为“点D 在B 上，点E 在B 的延长线上”， “点F 是DE 与的交点”改为“点F 是ED 的延长线与的交点”，其它条件不变，如图2． ①求证：B·BE=D·B； ②若DE=4DF，请直接写出SΔB:SΔDE 的值． 【变式训练1】 如图，正方形 的边长为 ，点 是射线 上的一个动点，连接 并延长，交射线 于点 ，将 沿直线 翻折，点 落在点 处． (1)当 时，如图，延长 ，交 于点 ， ① 的长为________； ②求证： ． (2)当点 恰好落在对角线 上时，如图 ，此时 的长为________； ________； (3)当 时，求 的正弦值． 【变式训练2】如图1，在矩形B 中，＝8，＝6，D，E 分别是B，B 上一点，D＝2，E＝ 3，E 与D 相交于点F． (1)求证：E⊥D； (2)如图2，点G 是D 的中点，延长G 交B 于，求的长． 【变式训练3】已知：矩形BD 中，B＝6，B＝8，点P 是线段D 上一点，连接P，点E 在 对角线上(不与点，重合)，∠PE＝∠B，PE 的延长线与B 交于点F． (1)如图1，当P＝2 时，求F 的长； (2)如图2，当PF⊥B 时，求P 的长； (3)当△PF 是等腰三角形时，求P 的长． 模型三、子母型 已知：∠ 1=∠2；结论：△D ∽△B D A C B 1 2 例1．(基本模型)如图，在△B 中，点D 在B 边上，点E 在边上，且D＝B，∠DE＝∠B． (1)求证：△ED D ∽△； (2)若E＝1，E＝3，求B 的长． 例2(培优)在Rt△B 中，∠B=90°，点D 为B 上一点． (1)如图1，若D⊥B，求证：2=D·B； (2)如图2，若=B，EF⊥D 交D 于，交于F，且 ，求 的值； (3)如图3，若=B，点在D 上，∠D=45°，=3D，则t∠的值为________． 【变式训练1】在矩形 中， ， ， 是 边上一点， 交 于点 ，过点 作 ，交射线 于点 ，交射线 于点 ． (1)如图 ，当点 与点 重合时，求 的长． (2)如图 ，当点 在线段 上时，设 ， ，求 与 之间的函数关系式，并 写出它的定义域． (3)连接 ，当 与 相似时，求线段 的长． 【变式训练2】如图，锐角△B 中，D，BE 分别是B，边上的高，垂足为D，E． (1)求证：△D BE ∽△ ； (2)若将点D，E 连接起来，则△ED 和△B 能相似吗？说说你的理由． 【变式训练3】已知正方形 的边长为4，点 在边 上，点 在边 上，且 ， 和 交于点 ． (1)如图，求证： ① ② (2)连接 并延长交 于点 ， ①若点 为 的中点(如图)，求 的长． ②若点 在 边上滑动(不与点 重合)，当 取得最小值时，求 的长． 模型四、旋转型 例1．(基本模型)在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点为 公共顶点， ．如图②，若△B 固定不动，把△DE 绕点逆时针旋转，使 D、E 与边B 的交点分别为M、点M 不与点B 重合，点不与点重合． 【探究】求证： ． 【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4． (1) 的值为______． (2)若 ，则M 的长为______． 例2．(培优)【问题发现】如图1，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝，D 为斜边B 上一点(不与点 B，重合)，将线段D 绕点顺时针旋转90°得到E，连接E，则线段BD 与E 的数量关系是___ ___，位置关系是______； 【探究证明】如图2，在Rt△B 和Rt△DE 中，∠B＝∠DE＝90°，B＝，D＝E，将△DE 绕点旋 转，当点，D，E 在同一条直线上时，BD 与E 具有怎样的位置关系，说明理由； 【拓展延伸】如图3，在Rt△BD 中，∠BD＝90°，B＝2D＝4，过点作⊥BD 于．将△D 绕点 顺时针旋转，点的对应点为点E．设旋转角∠E 为 (0°＜ ＜360°)，当，D，E 在同一条直 线上时，画出图形，并求出线段BE 的长度． 【变式训练1】如图，等腰三角形B 和等腰三角形DE，其中B＝，D＝E． (1)如图1，若∠B＝90°，当、D、E 共线时，D 的延长线F⊥B 交B 于点F，则∠E＝ ______； (2)如图2，连接D、BE，延长ED 交B 于点F，若点F 是B 的中点，∠B＝∠DE，证明： D⊥D； (3)如图3，延长D 到点M，连接BM，使得∠BM＋∠M＝180°，延长ED、BM 交于点，连接， 若∠B＝2∠D，请写出∠DM、∠DE 它们之间的数量关系，并写出证明过程． 【变式训练2】［问题发现］ (1)如图1，在Rt B △ 中， ， ，点 为 的中点，以 为一边作正方 形 ，点 与点 重合，已知 ．请直接写出线段 与 的数量关系； ［实验研究］ (2)在(1)的条件下，将正方形 绕点 旋转至如图2 所示的位置，连接 ， ， ． 请猜想线段 和 的数量关系，并证明你的结论； ［结论运用］ (3)在(1)(2)的条件下，若 的面积为8，当正方形 旋转到 ， ， 三点共线时， 请求出线段 的长． 模型五、一线三垂直型 E D C B A E D C B A E D C B A 例1．(模型探究)【感知】如图①，在四边形BD 中，点P 在边B 上(点P 不与点、B 重合)， ．易证 ．(不需要证明) 【探究】如图②，在四边形BD 中，点P 在边B 上(点P 不与点、B 重合)， ．若 ， ， ，求P 的长． 【拓展】如图③，在 中， ， ，点P 在边B 上(点P 不与点、B 重 合)，连结P，作 ，PE 与边B 交于点E，当 是等腰三角形时，直接写出 P 的长． 例2．(培优)问题提出 (1)如图1，在矩形 中， ，点E 为 的中点，点F 在 上，过点E 作 交 于点G．若 ，则 的面积为_________． 问题探究 (2)如图2，在矩形 中， ，点P 是 边上一动点，点Q 是 的 中点将． 沿着 折叠，点的对应点是 ，将 沿着 折叠，点D 的对应点 是 ．请问是否存在这样的点P，使得点P、 、 在同一条直线上？若存在，求出此时 的长度；若不存在，请说明理由． 问题解决 (3)某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形 中， ，点D 到 的距离为 ，且 ．若过点D 作 ，过点作 的垂线，交 于点E，交 的延长线于点，过点作 于 点F，连接 ．设 的长为 ，四边形 的面积为 ． ①根据题意求出y 与x 之间的函数关系式； ②在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米 造价60 元，请你帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用． 【变式训练1】问题提出： (1)如图①，矩形BD 中，D＝6．点E 为D 的中点．点F 在B 上，过点E 作EG B 交F 于点 G．若EG＝7．则S△EF＝ ． 问题探究： (2)如图②．已知矩形BD 纸片中．B＝9，D＝6，点P 是D 边上一动点．点Q 是B 的中点． 将△DP 沿着P 折叠，在纸片上点D 的对应点是 ，将△QP 沿着PQ 折叠．在纸片上点的对 应点是 ．请问是否存在这样的点P．使得点P、 、 在同一条直线上？若存在，求出 此时DP 的长度．若不存在，请说明理由． 问题解决： (3)某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务．部件要求：如图③，四边形 BD 中，B＝4 厘米，点到B 的距离为5 厘米，B⊥D．且B＝ D．在满足要求和保证质量 的前提下，仪器厂希望造价最低，已知这种金属材料每平方厘米造价50 元．请问这种四边 形金属部件每个的造价最低是多少元？( ≈173) 【变式训练2】如图，矩形BD 中，B＝1，B＝3，点E 是边B 上一个动点(不与点B、重合)， E 的垂线F 交D 的延长线于点F，点G 在线段EF 上，满足FG GE ∶ ＝1 2 ∶，设BE＝x． (1)求证： ； (2)当点G 在△DF 的内部时，用x 的代数式表示∠DG 的余切； (3)当∠FGD＝∠FE 时，求线段BE 的长． 【变式训练3】如图1 和图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为(0，4)，是x 轴上的一个 动点，M 是线段的中点．把线段M 以为旋转中心、按顺时针方向旋转90°得到B．过B 作x 轴的垂线、过点作y 轴的垂线，两直线交于点D，直线DB 交x 轴于点E．设点的横坐标为 m． (1)求证：△∽△BE； (2)若m=3，则点B 的坐标为 ；若m= 3 ﹣，则点B 的坐标为 ； (3)若m＞0，△BD 的面积为S，则m 为何值时，S=6？ (4)是否存在m，使得以B、、D 为顶点的三角形与△相似？若存在，求此时m 的值；若不存 在，请说明理由．