第16讲 三角形的概念及性质（练习）（原卷版）

第16 讲 三角形的概念及性质 目 录 题型01 三角形的稳定性 题型02 画三角形的高、中线、角平分线 题型03 等面积法求三角形的高 题型04 利用格求三角形的面积 题型05 与垂心性质有关的计算 题型06 根据三角形的中线求长度 题型07 根据三角形的中线求面积 题型08 与重心性质有关的计算 题型09 应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围 题型10 应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子 题型11 三角形内角和定理的证明 题型12 应用三角形内角和定理求角度 题型13 三角形内角和与平行线的综合应用 题型14 三角形内角和与角平分线的综合应用 题型15 三角形折叠中的角度问题 题型16 应用三角形内角和定理解决三角板问题 题型17 应用三角形内角和定理探究角的数量关系 题型18 三角形内角和定理与新定义问题综合 题型19 应用三角形外角的性质求角度 题型20 三角形的外角性质与角平分线的综合 题型21 三角形的外角性质与平行线的综合 题型22 应用三角形的外角性质解决折叠问题 题型23 三角形内角和定理与外角和定理综合 题型01 三角形的稳定性 1．（2020·山西·校联考模拟预测）下列图形中，没有利用三角形的稳定性的是（ ） ． B． ． D． 2．（2021·吉林长春·统考二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细 木条的数量至少为（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 题型02 画三角形的高、中线、角平分线 3．（2023·吉林长春·校联考二模）图①、图②、图③均是4×4 的正方形格，每个小正方形的顶点称为格 点，小正方形的边长为1，在给定的格中，按照要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中作△B 的中线BD． (2)在图②中作△B 的高BE． (3)在图③中作△B 的角平分线BF． 4．（2021·吉林·三模）图①、图②都是由边长为1 的小等边三角形构成的格，△B 为格点三角形．请仅用 无刻度的直尺在格中完成下列作图，不写作法 (1)在图①中，画出△B 中B 边上的中线M； (2)在图②中，画出△B 中边上的高B，并直接写出△B 的面积． 题型03 等面积法求三角形的高 5．在Rt △ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，AB=10，则AB边上的高的长度是（ ）． ．5 B．5.6 ．4.8 D．4.6 6．（2022·陕西西安·校考三模）如图，△ABC的顶点在正方形格的格点上，若每个小正方形的边长为1， 则BC边上的高为 ． 7．（2023 上·陕西延安·八年级校联考阶段练习）如图，△ABC在平面直角坐标系中，A，B，C三点在方 格线的交点上． (1)请在图中作出△ABC中AB边上的高． (2)求△ABC的面积． (3)点B到AC边所在直线的距离为16 5 ，求AC的长度． 题型04 利用格求三角形的面积 8．（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考三模）在正方形的格中，每个小正方形的边长为1 个单 位长度，△B 的三个顶点，B，都在格点（正方形格的交点称为格点）．现将△B 平移．使点平移到点D，点 E、F 分别是B、的对应点． (1)请在图中画出平移后的△DEF； (2)分别连接D，BE，则D 与BE 的数量关系为 ，位置关系为 ． (3)求△DEF 的面积． 9．（2023·上海杨浦·统考一模）新定义：由边长为1 的小正方形构成的格图形中，每个小正方形的顶点称 为格点．如图，已知在5×5的格图形中，△ABC的顶点、B、都在格点上．请按要求完成下列问题： (1)S△ABC=¿___________；sin∠ABC=¿___________； (2)请仅用无刻度的直尺在线段B 上求作一点P，使S△ACP=1 5 S△ABC．（不要求写作法，但保留作图痕迹， 写出结论） 题型05 与垂心性质有关的计算 10．（2020 下·江西赣州·九年级校考阶段练习）如图，已知锐角三角形ABC的顶点到垂心的距离等于它的 外接圆半径，则∠BAC的度数为（ ） ．30° B．45° ．60° D．75° 11．（2020·浙江杭州·九年级期末）如图，H 、O分别为△ABC的垂心、外心，∠BAC=45°，若 △ABC外接圆的半径为2，则AH=¿（ ） ．2❑ √3 B．2❑ √2 ．4 D．❑ √3+1 题型06 根据三角形的中线求长度 12．（2022·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，△B 中，B＝10，＝8，点D 是B 边上的中点，连接 D，若△D 的周长为20，则△BD 的周长是（ ） ．16 B．18 ．20 D．22 13．（2023·安徽·校联考一模）已知：△ABC中，AD是中线，点E在AD上，且CE=CD， ∠BAD=∠ACE．则CE AC 的值为（ ） ．2 3 B． ❑ √2 2 ． ❑ √5−1 2 D．3−❑ √5 2 14．（2020·浙江·模拟预测）在△ABC中，AB边上的中线CD=3, AB=6,BC+ AC=8，则△ABC的面 积为（ ） ．6 B．7 ．8 D．9 15．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，AD是△ABC的中线，若AB=6，AC=5，则△ABD与△ACD 的周长之差为 ． 16．（2022·安徽合肥·统考一模）如图，ΔB 中，D 是中线，点E 在D 上，且E＝D＝1，∠BD＝∠E，则的 长为 题型07 根据三角形的中线求面积 17．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）在Rt △ABC中，∠C=90°，分别以点B，C为圆心，大于1 2 BC长为 半径画弧，交于E，F两点，连接EF，交BC于点D，连接AD．AD=❑ √13，CD=2，则△ABD的面积 是（ ） ．2 B．3 ．❑ √13 D． ❑ √13 2 18．（2023·陕西西安·统考三模）如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6, AD⊥BC , AC边上中线BE 交AD于点O，则△BCE的面积为（ ） ．6 B．7 ．8 D．9 19．（2023·陕西榆林·校考二模）如图，AD，BE分别为△ABC的中线和高线，△ABD的面积为5， AC=4，则BE的长为（ ） ．5 B．3 ．4 D．6 20．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，已知△ABC的面积为10cm 2，BP为∠ABC的角平分线，AP垂 直BP于点P，则△PBC的面积为（ ） ．6cm 2 B．5cm 2 ．4 cm 2 D．3cm 2 题型08 与重心性质有关的计算 21．（2023·陕西西安·统考三模）在△ABC中，点O为△ABC的重心，连接AO并延长交BC边于点D， 若有AD=1 2 BC，则△ABC为（ ） ．等腰三角形 B．等边三角形 ．直角三角形 D．等腰直角三角形 22．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）在等腰△ABC中，AB=AC，D、E分别是BC， AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（ ） ．△ABC的重心处 B．AD的中点处 ．A点处 D．D点处 23．（2023·陕西榆林·统考二模）如图，点G 为△ABC的重心，连接G，G 并延长分别交B，B 于点E， F，连接EF，若AC=3.4，则EF 的长度为（ ） ．17 B．18 ．22 D．34 24．（2023·上海松江·统考二模）如图，点G 是△ABC的重心，四边形AEGD与△ABC面积的比值是 （ ） ．1 2 B．1 3 ．1 4 D．2 5 题型09 应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围 25．（2023·福建福州·校考二模）已知三角形两边长分别为3 和5，则第三边的长可能是（ ） ．2 B．6 ．8 D．9 26．（2023·河北廊坊·校考三模）如图，AB=3，AD=2，BC=1，CD=5，则线段BD的长度可能是 （ ） ．3.5 B．4 ．4.5 D．5 27．（2023·浙江杭州·校考二模）如图，在Rt △ABC中BC ⊥AC，CD⊥AB，AB=5，CD=3，则 AC的长的取值范围是（ ） ．AC<5 B．AC>3 ．3≤AC ≤5 D．3< AC<5 28．（2023·河北沧州·统考三模）有四根长度分别为2，4，5，x（x为正整数）的木棒，从中任取三根， 首尾顺次相接都能围成一个三角形，则围成的三角形的周长（ ） ．最小值是8 B．最小值是9 ．最大值是13 D．最大值是14 题型10 应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子 29．（2023·山东德州·统考二模）已知，b，是三角形的三条边，则|c−a−b|+|c+b−a|的化简结果为 （ ） ．0 B．2a+2b ．2b D．2a+2b−2c 30．（2023·河北沧州·统考模拟预测）若△ABC三条边长为a，b，c化简：|a−b−c|−|a+c−b|=¿ ． 31．（2022 上·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）已知，b，是三角形的三边长，化简： ¿a−b−c∨+¿b−c+a∨+¿c−a−b∨¿= ． 题型11 三角形内角和定理的证明 32．（2023·河北衡水·校联考二模）定理：三角形的内角和是180°． 已知：∠CED、∠C 、∠D是△CED的三个内角． 求证：∠C+∠D+∠CED＝180°． 有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示∠BEC；③上述证明得到的结论，只有在 锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ） 证明：如图，过点E 作直线AB ， 使得AB∥CD， ∴∠2＝∠D（*）， ∴∠1+∠@＝180°， ∴∠C+∠D+∠CED＝180° ． ．①② B．②③ ．②④ D．①③ 33．（2023·河北沧州·统考二模）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．下列 回答不正确的是（ ） 定理：三角形的内角和为180°． 已知：△ABC． 求证：∠A+∠B+∠ACB=180°． 证明：延长BC到点D，过点C作CE∥@， ∴∠A=¿◎（两直线平行，内错角相等）， ∠B=¿___▲______（_____※______）． ∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（平角 定义）， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代 换）． ．@代表AB B．◎代表∠ACD ．▲代表∠ECD D．※代表两直线平行，同位角相等 34．（2023·河南郑州·统考二模）下面是小颖同学要借助无刻度的直尺和圆规作图，来证明三角形内角和 等于180°这一命题，请你帮她补充完整． 题型12 应用三角形内角和定理求角度 35．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测）在△ABC中， ∠A=35°，∠B=55°，BC=5，则AB边的长是（ ） ． 5 cos55° B．5cos55° ．5 tan55° D．5sin55° 36．（2023·河北沧州·模拟预测）在△ABC中，数据如图所示，若∠1比∠B小2°，则∠2比∠C（ ） ．大2° B．小2° ．大4° D．小4° 37．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC=CD，∠BAC=40°，则∠D 的度数为 ． 38．（2022·福建福州·校考模拟预测）在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则AC : AB=¿ ． 题型13 三角形内角和与平行线的综合应用 39．（2023·湖北黄冈·三模）如图为两直线l 、m与△ABC相交的情形，其中l 、m分别与BC 、AB平行． 根据图中标示的角度，则∠B的度数为（ ） ．55° B．60° ．65° D．70° 40．（2023·河南安阳·统考二模）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，过点C的射线CE与AD平 行，若∠B=60°，∠ACB=30°，则∠ACE的度数为（ ） ．40° B．45° ．55° D．60° 41．（2021·宁夏银川·统考一模）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上， AD=AE=BE，∠D=102°，则∠BAC的大小是（ ） ．24° B．26° ．28° D．30° 题型14 三角形内角和与角平分线的综合应用 42．（2022·江苏无锡·校考一模）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则 ∠A=¿ ． 43．（2020·浙江绍兴·模拟预测）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高． (1)如图1，若∠B=40°，∠C=60°，请说明∠DAE的度数； (2)如图2（∠B<∠C），试说明∠DAE 、∠B 、∠C的数量关系． 44．（2022·浙江温州·统考一模）如图，△ABC的角平分线BD ,CE交于点F，AB=AC． (1)求证：△ABD≌△ACE． (2)当∠A=40°时，求∠BFC的度数． 题型15 三角形折叠中的角度问题 45．（2023·河南商丘·统考三模）如图，Rt △ABC中，∠C=90°，∠A=20°，点D 为B 的中点，点P 为上一个动点，将△APD沿DP 折叠得到△QPD，点的对应点为点Q，当PQ⊥AB时，∠ADP的度数 为 ． 46．（2023·山东菏泽·统考二模）如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点E处，∠1=56°， ∠ABC=70°，则∠2的度数为 ． 47．（2023·浙江湖州·统考一模）如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，D为AC边上 一点，沿BD将三角形进行折叠，使点A落在点E处，记BE与AC边的交点为F，若DE⊥AC，则CF的 长为 ． 48．（2022·江西赣州·统考二模）如图，在△ABC中，∠C =90°，∠B=30°，点P 是边AB上一点，点 D 是边AC上一点，将△ABC沿PD折叠，使点落在边BC上的A '处，若A ' P∥AC，则∠PDA '的度数 为 ． 题型16 应用三角形内角和定理解决三角板问题 49．（2023·河南南阳·统考二模）将一块含30°角的三角板和一把对边平行的直尺按如图所示的方式放置， 若∠1=70°，则∠2 的度数为（ ） ．70° B．75° ．80° D．85° 50．（2023·广东汕头·汕头市金禧中学校考一模）如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若∠1=35°， 则∠2的度数为（ ） ．55° B．45° ．35° D．30° 51．（2023·北京通州·统考一模）如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（ ） ．75° B．60° ．105° D．120° 52．（2023·湖北恩施·统考二模）将一副直角三角板按如图所示位置摆放(∠D=∠ECF=90°)，点C在 直角边BD上，点F在直角边AD上，若∠AFE=160°，则∠BCE=¿ ． 题型17 应用三角形内角和定理探究角的数量关系 53．（2021·广东清远·校考一模）如图，点D 是锐角∠AOB内一点，DE⊥OA于点E，点F 是线段OE的 一个动点，点G 是射线OB的一个动点，连接DF、FG、GD，当△DFG的周长最小时，∠FDG与 ∠AOB的数量关系式是 ． 54．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）（1）问题解决：如图1，△ABC中，BO、CO分别是∠ABC和 ∠ACB的平分线，O为BO、CO交点，若∠A=62°，求∠BOC的度数；（写出求解过程） （2）拓展与探究 ①如图1，△ABC中，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，O为BO、CO交点，则∠BOC与 ∠A的关系是______；（请直接写出你的结论） ②如图2，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，O为BO、CO交 点，则∠BOC与∠A的关系是______；（请直接写出你的结论） ③如图3，BO、CO分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，O为BO、CO交点， 则∠BOC与∠A的关系是______．（请直接写出你的结论） 55．（2018·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）在△B 中，B=，点D 是直线B 上的一点（不与B，重合），以D 为 一边在D 的右侧作△DE，使D=E，∠DE=∠B，连接E，设∠B=α，∠BE=β． (1)如图①，当点D 在线段B 上，如果α=60°，β=120°； 如图②，当点D 在线段B 上，如果α=90°，β=90°； 如图③，当点D 在线段B 上，如果α，β 之间有什么样的关系？请直接写出． (2)如图④，当点D 在射线B 上，（1）中结论是否成立？请说明理由； (3)如图⑤，当点D 在射线B 上，且在线段B 外，（1）中结论是否成立？若不成立，请直接写出你认为正 确的结论． 题型18 三角形内角和定理与新定义问题综合 56．（2021·江苏南京·统考二模）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有 不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形ABCD（如图），以下结论： ①∠BCD=∠A+∠B+∠D； ②若AB=AD ,BC=CD，则AC ⊥BD； ③若∠BCD=2∠A，则BC=CD； ④存在凹四边形ABCD，有AB=CD , AD=BC． 其中所有正确结论的序号是（ ） ．①② B．①②③ ．①②④ D．①③④ 57．（2023·广东阳江·统考三模）定义：△ABC中，∠A+2∠B=90°，则称△ABC为倍余三角形． (1)下列说法正确的是 ． ①倍余三角形一定是钝角三角形； ②等腰三角形不可能是倍余三角形． (2)如图1，△ABC内接于⊙O，点D在直径BC上(不与B，C重合)，满足AB=AD，求证：△ACD为倍 余三角形； (3)在（2）的条件下， ①如图1，连接AO，若△AOD也为倍余三角形，求∠C的度数； ②如图2，过点D作DE⊥BC交AC于点E，若△ABC面积为△ADE面积的7.5倍，求AD BC 的值． 58．（2022·江苏扬州·统考二模）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交 所成的锐角称为该三角形第三个内角的“好角”． (1)如图1，∠E 是△ABC中∠的“好角”，若∠A=α，则∠E=¿______；（用含α的代数式表示） (2)如图2，四边形BD 内接于⊙O，点D 是优弧B 的中点，直径BF ⊥弦，BF、D 的延长线于点G，延长 B 到点E．求证：∠BG 是△ABC中∠B 的“好角”． (3)如图3，△ABC内接于⊙O，∠BG 是△ABC中∠的“好角”，BG 过圆心交⊙O于