第16讲 三角形的概念及性质（练习）（解析版）

第16 讲 三角形的概念及性质 目 录 题型01 三角形的稳定性 题型02 画三角形的高、中线、角平分线 题型03 等面积法求三角形的高 题型04 利用格求三角形的面积 题型05 与垂心性质有关的计算 题型06 根据三角形的中线求长度 题型07 根据三角形的中线求面积 题型08 与重心性质有关的计算 题型09 应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围 题型10 应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子 题型11 三角形内角和定理的证明 题型12 应用三角形内角和定理求角度 题型13 三角形内角和与平行线的综合应用 题型14 三角形内角和与角平分线的综合应用 题型15 三角形折叠中的角度问题 题型16 应用三角形内角和定理解决三角板问题 题型17 应用三角形内角和定理探究角的数量关系 题型18 三角形内角和定理与新定义问题综合 题型19 应用三角形外角的性质求角度 题型20 三角形的外角性质与角平分线的综合 题型21 三角形的外角性质与平行线的综合 题型22 应用三角形的外角性质解决折叠问题 题型23 三角形内角和定理与外角和定理综合 题型01 三角形的稳定性 1．（2020·山西·校联考模拟预测）下列图形中，没有利用三角形的稳定性的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：选项中闸门上没有三角形，其余、B、D 选项中都含有三角形， 由三角形的稳定性可知，选项中没有利用三角形的稳定性， 故选：． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键． 2．（2021·吉林长春·统考二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细 木条的数量至少为（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【答】B 【分析】根据三角形的稳定性及多边形对角线的条数即可得答． 【详解】∵三角形具有稳定性， ∴要使五边形不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线， ∵过五边形的一个顶点可作对角线的条数为5-3=2（条）， ∴要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为2 条， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的稳定性及多边形的对角线，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 题型02 画三角形的高、中线、角平分线 3．（2023·吉林长春·校联考二模）图①、图②、图③均是4×4 的正方形格，每个小正方形的顶点称为格 点，小正方形的边长为1，在给定的格中，按照要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中作△B 的中线BD． (2)在图②中作△B 的高BE． (3)在图③中作△B 的角平分线BF． 【答】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）找出对角线为AC的矩形，连接另一条对称线，两条对角线的交点就是D，连接BD即可； （2）找出与线段AC相等的线段BT，AC与BT交于点E，连接BE即可； （3）延长BC到H，使CH的长为小方格的正方形的边长，则AB=BH=5，连接AH交外围大正方形的边 于点W ，则W 是线段AH的中点，连接BW 即可． 【详解】（1）如图①中，线段BD 即为所求； （2）如图②中，线段BE 即为所求； （3）如图③中，线段BF 即为所求． 【点睛】本题考查了用格作图，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性 质，正方形的性质，熟练运用这些知识是解题的关键． 4．（2021·吉林·三模）图①、图②都是由边长为1 的小等边三角形构成的格，△B 为格点三角形．请仅用 无刻度的直尺在格中完成下列作图，不写作法 (1)在图①中，画出△B 中B 边上的中线M； (2)在图②中，画出△B 中边上的高B，并直接写出△B 的面积． 【答】(1)见解析 (2)图见解析，3 ❑ √3 2 【分析】（1）连接DE，交B 与点M，由菱形的判定与性质可知M 是B 的中点，根据三角形中线的定义即 可得到结论； （2）连接PQ，交于点，由菱形的判定与性质可知是的中点，根据等边三角形的性质，即可知BN ⊥AO， 即可得出结论． 【详解】（1）如图，线段M 即为所求； （2）如图，线段B 即为所求． 如图可知△ABO为边长是3 的等边三角形，为的中点． ∴BN= ❑ √3 2 AO=3 ❑ √3 2 ． ∴S△ABC=1 2 AC ⋅BN=1 2 ×2× 3 ❑ √3 2 =3 ❑ √3 2 ． 【点睛】本题考查了作图-应用与设计，等边三角形的性质，菱形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所 学知识解决问题，属于中考常考题型． 题型03 等面积法求三角形的高 5．在Rt △ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，AB=10，则AB边上的高的长度是（ ）． ．5 B．5.6 ．4.8 D．4.6 【答】 【分析】本题主要考查了三角形面积及三角形的高．过点C作CD⊥AB于点D，根据三角形的面积公式求 得CD即可． 【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D， ∵S△ABC=1 2 × AC ×BC=1 2 × AB×CD， ∴1 2 ×8×6=1 2 ×10×CD， ∴CD=24 5 =4.8， 故AB边上的高长为4.8． 故选：． 6．（2022·陕西西安·校考三模）如图，△ABC的顶点在正方形格的格点上，若每个小正方形的边长为1， 则BC边上的高为 ． 【答】2❑ √5 【分析】设B 边上的高为，先根据△B 的面积等于其所在的正方形面积减去周围三个三角形的面积求出△B 的面积，根据勾股定理求出B 的长，再根据三角形面积公式即可求出． 【详解】解：设B 边上的高为， 由题意得S△ABC=4×4−1 2 ×3×4−1 2 ×1×2−1 2 ×2×4=5， ∵BC= ❑ √1 2+2 2=❑ √5，1 2 BC ⋅h=5， ∴h= 10 BC =2❑ √5， 故答为：2❑ √5． 【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，勾股定理与格问题，正确求出△B 的面积是解题的关键． 7．（2023 上·陕西延安·八年级校联考阶段练习）如图，△ABC在平面直角坐标系中，A，B，C三点在方 格线的交点上． (1)请在图中作出△ABC中AB边上的高． (2)求△ABC的面积． (3)点B到AC边所在直线的距离为16 5 ，求AC的长度． 【答】(1)见解析 (2)8 (3)AC=5 【分析】（1）根据高线的定义结合格特点作图即可； （2）利用三角形的面积公式计算即可； （3）根据三角形的面积公式列式计算即可． 【详解】（1）解：如图，AB边上的高CD即为所作； （2）如图，S△ABC=1 2 AB⋅CD=1 2 ×4×4=8； （3）∵点B到AC边所在直线的距离为16 5 ， ∴S△ABC=1 2 AC × 16 5 =8， ∴AC=5． 【点睛】本题考查了三角形的高线，三角形的面积计算，熟练掌握格特点是解题的关键． 题型04 利用格求三角形的面积 8．（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考三模）在正方形的格中，每个小正方形的边长为1 个单 位长度，△B 的三个顶点，B，都在格点（正方形格的交点称为格点）．现将△B 平移．使点平移到点D，点 E、F 分别是B、的对应点． (1)请在图中画出平移后的△DEF； (2)分别连接D，BE，则D 与BE 的数量关系为 ，位置关系为 ． (3)求△DEF 的面积． 【答】(1)见解析 (2)AD=BE，AD∥BE (3)7 【分析】（1）利用平移变换的性质作出B，的对应点E，F 即可； （2）根据平移变换的性质解决问题即可； （3）利用利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵点平移到点D， ∴△B 先向右平移6 个单位，再向下平移2 个单位得到△DEF， 如图，△DEF 即为所求； （2）解：∵△B 先向右平移6 个单位，再向下平移2 个单位得到△DEF， ∴点到点D 与点B 到点E 的平移方向和平移距离相同， ∴D∥BE，D=BE； 故答为： D=BE，AD∥BE； （3）解：S Δ≝¿=4×4−2×4× 1 2−2×3× 1 2−1×4× 1 2=7¿． 【点睛】本题考查作图—平移变换，平移的性质，格三角形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的性 质． 9．（2023·上海杨浦·统考一模）新定义：由边长为1 的小正方形构成的格图形中，每个小正方形的顶点称 为格点．如图，已知在5×5的格图形中，△ABC的顶点、B、都在格点上．请按要求完成下列问题： (1)S△ABC=¿___________；sin∠ABC=¿___________； (2)请仅用无刻度的直尺在线段B 上求作一点P，使S△ACP=1 5 S△ABC．（不要求写作法，但保留作图痕迹， 写出结论） 【答】(1)4，4 5 (2)作图见解析 【分析】（1）由正方形面积减去三个小三角形面积即可求出S△ABC；过点作AD⊥BC于点D．根据勾股 定理可求出AB=BC=❑ √10．再根据三角形面积公式可求出AD= 4 ❑ √10 5 ，最后由正弦的定义求解即可； （2）如图，取格点M 和，连接MN交AB于点P，连接AM 、BN，则AM ∥BN，即可证 △AMP∽△BNP，得出AP BP = AM BN = 1 4 ．再根据△ACP和△BCP同高，即得出S△ACP:S△BCP= 1 4 ，进 而得出S△ACP=1 5 S△ABC，即说明点P 即为所作． 【详解】（1）S△ABC=3×3−1 2 ×3×1−1 2 ×3×1−1 2 ×2×2 ¿9−3 2−3 2−2 ¿4； 如图，过点作AD⊥BC于点D． 由图可知AB=BC= ❑ √1 2+3 2=❑ √10． ∵S△ABC=1 2 AD⋅BC=4， ∴1 2 AD×❑ √10=4 ∴AD= 4 ❑ √10 5 ， ∴sin∠ABC= AD AB = 4 ❑ √10 5 ❑ √10 = 4 5 ． 故答为：4，4 5 ； （2）如图，点P 即为所作． 【点睛】本题考查利用格求三角形的面积，求角的正弦值，三角形相似的判定和性质等知识．利用数形结 合的思想是解题关键． 题型05 与垂心性质有关的计算 10．（2020 下·江西赣州·九年级校考阶段练习）如图，已知锐角三角形ABC的顶点到垂心的距离等于它的 外接圆半径，则∠BAC的度数为（ ） ．30° B．45° ．60° D．75° 【答】 【分析】利用直径所对的圆周角的性质和垂心的性质判断出AH ∥CD，CH ∥AD，进而判断出CD= R， 再判断出△COD是等边三角形，即可得出结论． 【详解】解：如图，设△ABC的外接圆的半径为R， 连接BO，并延长BO交圆于点D，连接OC，AD，CD，CH， ∵点是△ABC的外心， ∴BD是⊙O的直径， ∴∠BCD=90°， ∴CD⊥BC， ∵是△ABC的垂心， ∴AH ⊥BC， ∴AH ∥CD， 同理：CH ∥AD， ∴四边形AHCD是平行四边形， ∴CD= AH = R， ∵点是△ABC的外接圆的圆心， ∴OC =OD= R， ∴OC =OD=CD= R， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠BDC =60°， ∴∠BAC = ∠BDC =60°， 故选：． 【点睛】此题主要考查了三角形的外心和垂心，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，判 断出CD= R是解本题的关键． 11．（2020·浙江杭州·九年级期末）如图，H 、O分别为△ABC的垂心、外心，∠BAC=45°，若 △ABC外接圆的半径为2，则AH=¿（ ） ．2❑ √3 B．2❑ √2 ．4 D．❑ √3+1 【答】B 【分析】连接B 并延长交⊙O于点D，连接，D，D，由圆周角定理的推论，可得D B ⊥，D B ⊥，由三角形 的垂心的定义得⊥B，⊥B，从而得四边形D 是平行四边形，结合∠BAC=45°，△ABC外接圆的半径为 2，即可求解． 【详解】连接B 并延长交⊙O于点D，连接，D，D． ∵点是△ABC的外心， BD ∴ 是⊙O的直径， D B ∴⊥，D B ⊥， 又∵点是△ABC的垂心， B ∴⊥，⊥B， D ∴∥，∥D， ∴四边形D 是平行四边形， =D ∴ ， ∵∠BAC=45°，△ABC外接圆的半径为2， BD= B=45° ∴∠ ∠ ，BD=4， =D=BD ∴ ÷❑ √2=4÷❑ √2=2❑ √2． 故选B． 【点睛】本题主要考查三角形外心与垂心的定义，圆周角定理及其推论，平行四边形的判定和性质定理， 掌握三角形外心与垂心的定义，添加合适的辅助线，构造平行四边形和等腰直角三角形，是解题的关键． 题型06 根据三角形的中线求长度 12．（2022·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，△B 中，B＝10，＝8，点D 是B 边上的中点，连接 D，若△D 的周长为20，则△BD 的周长是（ ） ．16 B．18 ．20 D．22 【答】D 【分析】利用三角形的周长公式先求解AD+CD=12,再证明BD=CD ,再利用周长公式进行计算即可． 【详解】解：∵ ＝8，△D 的周长为20， ∴AD+CD=20−8=12, ∵ 点D 是B 边上的中点， ∴BD=CD , ∵ B＝10， ∴△ABD的周长为：AB+BD+ AD=10+ AD+CD=10+12=22． 故选：D 【点睛】本题考查的是三角形的周长的计算，三角形的边的中点的应用，掌握“三角形的周长公式及中点 的含义”是解本题的关键． 13．（2023·安徽·校联考一模）已知：△ABC中，AD是中线，点E在AD上，且CE=CD， ∠BAD=∠ACE．则CE AC 的值为（ ） ．2 3 B． ❑ √2 2 ． ❑ √5−1 2 D．3−❑ √5 2 【答】B 【分析】根据已知得出△ADB∽△CEA，则∠B=∠CAE，进而证明△BAC ∽△ADC，得出 AC=❑ √2CD，即可求解． 【详解】解：∵△ABC中，AD是中线， ∴BD=CD， ∵CE=CD， ∴∠CED=∠CDE，BD=CE， ∴∠ADB=∠CEA， 又∵∠BAD=∠ACE， ∴△ADB∽△CEA， ∴∠B=∠CAE， ∵∠BCA=∠ACD， ∴△BAC ∽△ADC， ∴BC AC = AC CD ， ∴A C 2=BC ×CD=2C D 2， 即AC=❑ √2CD， ∴ CE AC =CD AC = BC ❑ √2CD = ❑ √2 2 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形中线的性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形 的性质与判定是解题的关键． 14．（2020·浙江·模拟预测）在△ABC中，AB边上的中线CD=3, AB=6,BC+ AC=8，则△ABC的面 积为（ ） ．6 B．7 ．8 D．9 【答】B 【分析】本题考查三角形的中线定义，根据条件先确定B 为直角三角形，再根据勾股定理求得 2 AC ·BC=28 ，最后根据❑ΔABC=1 2 AC ⋅BC求解即可 【详解】解：如图，在△ABC中，AB边上的中线， D=3 ∵ ，B= 6， D=3 ∴ ，B= 6， D= D= DB ∴ ， ∴∠1=∠2，∠3=∠4 ， ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ∴∠1+∠3=90°， ∴△ABC是直角三角形， ∴A C 2+BC 2=A B 2=36， 又∵AC+BC=8， ∴A C 2+2 AC ⋅BC+BC 2=64， ∴2 AC ⋅BC=64−( A C 2+BC 2)=64−36=28， 又∵❑ΔABC=1 2 AC ⋅BC， ∴SΔABC=1 2 × 28 2 =7， 故选B 【点睛】本题考查三角形中位线的应用，熟练运用三角形的中线定义以及综合分析、解答问题的能力，关 键要懂得：在一个三角形中，如果获知一条边上的中线等于这一边的一半，那么就可考虑它是一个直角三 角形，通过等腰三角形的性质和内角和定理来证明一个三是直角三角形 15．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，AD是△ABC的中线，若AB=6，AC=5，则△ABD与△ACD 的周长之差为 ． 【答】1 【分析】利用三角形的中线的定义可知BD=CD，所以两个三角形的周长差即为AB−AC． 【详解】解：∵C △ABD=AB+BD+ AD，C △ACD=AC+CD+ AD， ∴C △ABD−C △ACD=AB+BD+ AD−AC−CD−AD=AB+BD−AC−CD． 又∵AD是△ABC中线， ∴BD=CD， ∵AB=6，AC=5， ∴C △ABD−C △ACD=AB−AC=6−5=1． 故答为：1． 【点睛】本题考查三角形中线的定义：三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段． 16．（2022·安徽合肥·统考一模）如图，ΔB 中，D 是中线，点E 在D 上，且E＝D＝1，∠BD＝∠E，则的 长为 【答】❑ √2 【分析】先根据中线的定义和已知求得B 的长，然后利用等边对等角证得∠CDE=∠CED，进而得到 ∠AEC=∠BDA，证得Δ ABD∽ΔCAE，由此再证得Δ ABC ∽Δ DAC，利用相似三角形的对应边成 比例即可求得的长． 【详解】解：∵ΔB 中，D 是中线，D＝1， ∴BC=2CD=2， ∵E＝D， ∴∠CDE=∠CED， ∵∠AEC+∠CED=180°，∠BDA+∠CDE=180°， ∴∠AEC=∠BDA， 又∵∠BD＝∠E， ∴Δ ABD∽ΔCAE， ∴∠CAE=∠B， 又∵∠ACB=∠DCA， ∴Δ ABC ∽Δ DAC， ∴AC CD = BC AC ， 即A C 2=BC ·CD， ∵BC=2，D＝1， ∴A C 2=BC ·CD=2， ∴AC=❑ √2， 故答为：❑ √2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，能发现Δ ABC ∽Δ DAC是解题的关键． 题型07 根据三角形的中线求面积 17．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）在Rt △ABC中，∠C=90°，分别以点B，C为圆心，大于1 2 BC长为 半径画弧，交于E，F两点，连接EF，交BC于点D，连接AD．AD=❑ √13，CD=2，则△ABD的面积 是（ ） ．2 B．3 ．❑ √13 D． ❑ √13 2 【答】B 【分析】由题意可得ED为BC的垂直平分线，故可得S△ABD=S△ACD，利用勾股定理求得AC的长，即可算 出S△ACD． 【详解】解：由题意可得ED为BC的垂直平分线， ∴BD=CD， ∴AD是Rt △ABC的中线， ∴S△ABD=S△ACD， 根据勾股定理，可得AC= ❑ √A D 2−C D 2=3， ∴S△ABD=S△ACD=1 2 CD⋅