第16讲 三角形的概念及性质（讲义）（解析版）

第16 讲 三角形的概念及性质 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 三角形的相关概念 题型01 三角形的分类 题型02 三角形个数的规律探究问题 题型03 三角形的稳定性 考点二 三角形的重要线段 题型01 画三角形的高、中线、角平分线 题型02 已知三角形的高、中线、角平分线，判断式子正误 题型03 等面积法求三角形的高 题型04 利用格求三角形的面积 题型05 与垂心性质有关的计算 题型06 根据三角形的中线求长度 题型07 根据三角形的中线求面积 题型08 判断重心位置 题型09 与重心性质有关的计算 考点三 三角形的性质 题型01 应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围 题型02 应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子 题型03 应用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题 题型04 三角形内角和定理的证明 题型05 应用三角形内角和定理求角度 题型06 三角形内角和与平行线的综合应用 题型07 三角形内角和与角平分线的综合应用 题型08 三角形折叠中的角度问题 题型09 应用三角形内角和定理解决三角板问题 题型10 应用三角形内角和定理探究角的数量关系 题型11 三角形内角和定理与新定义问题综合 题型12 应用三角形外角的性质求角度 题型13 三角形的外角性质与角平分线的综合 题型14 三角形的外角性质与平行线的综合 题型15 应用三角形的外角性质解决折叠问题 题型16 三角形内角和定理与外角和定理综合 考点要求 新课标要求 命题预测 三角形的相关 概念  理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平 分线等概念，了解三角形的稳定性 在初中几何数学中，三角形的基础 知识是解决后续很多几何问题的基础所 以，在中考中，与其它几何图形结合考 察的几率比较大，特别是全等三角形的 性质和判定的综合应用考生在复习该考 点时，不仅要熟悉掌握其本身的性质和 应用，还要注重转化思想在题目中的应 用，同步联想，其他几何图形在什么情 况下会转化成该考点的知识考察 三角形的重要 线段 三角形的性质  探索并证明三角形的内角和定理掌握它的推论:三 角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和  证明三角形的任意两边之和大于第三边 考点一 三角形的相关概念 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形 三角形的表示：用符号“Δ”表示，顶点是、B、的三角形记作“ΔB”，读作“三角形B” 三角形的分类： 1）三角形按边分类：三角形{ 三边都不相等的三角形 等腰三角形{ 等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 2）三角形按角分类：三角形{ 直角三角形 斜三角形{ 锐角三角形 钝角三角形 三角形的稳定性: 三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了 题型01 三角形的分类 【例1】（2022·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）如图，一只手盖住了一个三角形的部分 图形，则这个三角形不可能是（ ） ．钝角三角形 B．直角三角形 ．等腰三角形 D．等边三角形 【答】D 【分析】根据三角形的内角和定理和三角形的分类判断即可 【详解】解：、当另外两角为50°和100°时，该三角形为钝角三角形，故此选项不符合题意； B、当另外两角为90°和60°时，该三角形为直角三角形，故此选项不符合题意； 、当另外两角为30°和120°时，该三角形为等腰三角形，故此选项不符合题意； D、等边三角形的每一个内角均为60°，由图可知该三角形有一个内角为30°，故不可能为等边三角形，符 合题意 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理和三角形的分类，会应用三角形的内角和定理和三角形的分类求解 是解答的关键 【变式1-1】（2020·河北保定·统考一模）如图，一个三角形只剩下一个角，这个三角形为( ) ．锐角三角形 B．钝角三角形 ．直角三角形 D．以上都有可能 【答】B 【分析】三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是 1 三角形的表示方法中“Δ”代表“三角形”,后边的字母为三角形的三个顶点,字母的顺序可以自由安 排 即 ∆B, ∆B 等均为同一个三角形 2 等腰三角形中至少有两边相等,而等边三角形中三边都相等,所以等边三角形是特殊的等腰三角形 3 四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多 边形就具有稳定性了 直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【详解】从题中可知，只能看到一个角是钝角． 所以这个三角形为钝角三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的分类的灵活应用． 【变式1-2】（2020·吉林长春·统考中考真题）图①、图②、图③均是3×3的正方形格，每个小正方形的 边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的格中， 按下列要求以AB为边画△ABC． 要求： （1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形； （2）三个图中所画的三角形的面积均不相等； （3）点C在格点上． 【答】见详解（答不唯一） 【分析】因为点在格点上，故可将直尺的一角与线段B 点重合，直尺边长所在直线经过3×3正方形格左上 角第一个格点，继而以点为旋转中心，逆时针旋转直尺，当直尺边长所在直线与正方形格点相交时，确定 点的可能位置，顺次连接、B、三点，按照题目要求排除不符合条件的点，作图完毕后可根据三角形面积 公式判断其面积是否相等． 【详解】经计算可得下图中：图①面积为1 2；图②面积为1；图③面积为3 2，面积不等符合题目要求 （2），且符合题目要求（1）以及要求（3）． 故本题答如下： 【点睛】本题考查三角形的分类及其作图，难度较低，按照题目要求作图即可． 【变式1-3】（2021·浙江宁波·统考一模）如图，在8×4的正方形格中，按△ABC的形状要求，分别找出 格点，且使BC=5，并且直接写出对应三角形的面积． 【答】见解析；S=10；S=25 2 ；S=12 【分析】根据全等三角形的性质，勾股定理，角的分类去求解即可 【详解】解：钝角三角形时，如图， ∵B⊥BD，B=5， ∴△B 是钝角三角形， 根据平行线间的距离处处相等，得B 边上高为BD=4, ∴S=1 2 BC ×BD= 1 2 ×4×5=10； 直角三角形时，如图， 取格点F 使得BF=4，F=3， 根据勾股定理，得B=❑ √3 2+4 2=5， ∵E=BF=4，EB=F=3，∠EB=∠BF=90°， ∴△EB≌△BF， ∴∠EB=∠FB， ∵∠EB+∠EB=90°， ∴∠FB+∠EB=90°， ∴∠B =90°， ∴△B 是直角三角形， 根据勾股定理，得B=❑ √3 2+4 2=5， ∴S=1 2 BA ×BC = 1 2 ×5×5 ¿ 25 2 ； 锐角三角形时，如图，取格点M 使得BM=3，M=4， 根据勾股定理，得B=❑ √3 2+4 2=5， 根据直角三角形时的作图，知道∠B=90°， ∴∠B＜∠B， ∴∠B＜90° ∵B=B， ∴△B 是等腰三角形， = ∠∠＜90°， ∴△B 是锐角三角形， ∴S=1 2 ×4×6=12； 【点睛】本题考查了格上的作图，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质和判定，平行线间的 距离处处相等，根据题意，运用所学构造符合题意的格点线段是解题的关键． 题型02 三角形个数的规律探究问题 【例2】（2023·浙江杭州·模拟预测）若一个三角形的任意两条边都不相等，则称之为“不规则三角形”． 顶点在一个正方体顶点上的所有三角形中，这样的“不规则三角形”的个数为（ ） ．8 B．18 ．24 D．36 【答】 【分析】根据立方体的八个顶点之间线段长度仅有三种可能，分别得出所求的不规则三角形的个数． 【详解】解：如图示： 设立方体的边长为a，则在立方体的八个顶点之间线段长度仅有三种可能： 边长为a，面对角线为❑ √2a，体对角线为❑ √3a．立方体有四条体对角线，先考虑其中的一条如A C1，第三 个顶点可以是 B、C、D、A1、B1、 D1中之一， 有6 个不规则三角形．因此所求的不规则三角形的个数是6×4=24． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的性质以及立体图形的性质，得出立方体的八个顶点之间线段长度仅有三 种可能是解决问题的关键． 【变式2-1】（2020·江西南昌·模拟预测）由18 根完全相同的火柴棒摆成的图形如图所示，如果去掉其中 的3 根，那么就可以剩下7 个三角形．以下去掉3 根的方法正确的是（ ） ．DE ,GH , MI B．GF , EF , MF ．GD , EI , MH D．AD , AG ,GD 【答】 【分析】按照选项依次分析即可求解． 【详解】解：．去掉DE ,GH , MI，如图： 图中共有6 个三角形，该项不符合题意； B．去掉GF , EF , MF，如图： 图中共有4 个三角形，该项不符合题意； ．去掉GD , EI , MH，如图： 图中共有7 个三角形，该项符合题意； D．去掉AD , AG ,GD，如图： 图中共有9 个三角形，该项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查三角形计数，掌握三角形的定义是解题的关键． 【变式2-2】阅读下列材料并填空．平面上有个点（≥2）且任意三个点不在同一条直线上，过这些点作直 线，一共能作出多少条不同的直线？ （1）分析：当仅有两个点时，可连成1 条直线；当有3 个点时，可连成3 条直线；当有4 个点时，可连成 6 条直线；当有5 个点时，可连成10 条直线… … （2）归纳：考察点的个数和可连成直线的条数S 发现：如下表 点的个数 可作出直线条数 2 1=S2= 2×1 2 3 3=S3= 3×2 2 4 6=S4= 4×3 2 5 10=S5= 5×4 2 …… …… Sn= n× (n−1) 2 (3)推理：平面上有个点，两点确定一条直线．取第一个点有种取法，取第二个点B 有（－1）种取法，所 以一共可连成(-1)条直线，但B 与B 是同一条直线，故应除以2；即Sn= n× (n−1) 2 （4）结论：Sn= n× (n−1) 2 试探究以下几个问题：平面上有个点（≥3），任意三个点不在同一条直线上，过任意三个点作三角形， 一共能作出多少不同的三角形？ （1）分析： 当仅有3 个点时，可作出 个三角形； 当仅有4 个点时，可作出 个三角形； 当仅有5 个点时，可作出 个三角形； …… （2）归纳：考察点的个数和可作出的三角形的个数S，发现：（填下表） 点的个数 可连成三角形个数 3 4 5 …… (3)推理： （4）结论： 【答】（1）1，4，10 （2） 点的个数 可构成三角形个数 3 1=S3= 3×2×1 6 4 4=S4= 4×3×2 6 5 10=S5= 5×4×3 6 Sn= n× (n−1)× (n−2) 6 （3）见解析（4）结论：S= n \(n-1\)\(n-2\) 6 ． 【分析】（1）根据给的点数一一查出三角形即可； （2）根据引例学习，仿照引例解法，先定点，再定形的方法，3 个点先取第一个点，三点任意一个有3 种， 第二个点从剩下的两点任取一个有2 种，第三个点只有1 种，三角形有3×2×1 个，会出现重复现象△B， △B，△B，△B，△B，△B，都是同一种三角形，由此得出S3= 3×2×1 6 =1，根据此法可得出4、 5、 、个点的结论； … （3）平面上有个点，过不在同一条直线上的三个点可以确定一个三角形，取第一个点有种方法，取第二 个点有（-1）种取法，取第三个点（-2）种取法，所以一共可以作（-1）（-2）个三角形，但同一个三角形 重复6 次，再除以6 即可； （4）根据（3）即可得出结论． 【详解】解：（1）当仅有3 个点时，三点分别为、B、、可作1 个三角形△B； 当有4 个点时，四点分别为、B、、D 可作4 个三角形△B，△BD，△D，△BD； 当有5 个点时五点分别为、B、、D、E，可作10 个三角形△B，△BD，△BE，△D，△E，△DE，△BD， △BE；△BDE，△DE． 故答为1,4,10． （2）填表如下： 点的个数 可构成三角形个数 3 1=S3= 3×2×1 6 4 4=S4= 4×3×2 6 5 10=S5= 5×4×3 6 Sn= n× (n−1)× (n−2) 6 （3）推理：平面上有个点，过不在同一条直线上的三个点可以确定一个三角形，取第一个点有种方法， 取第二个点有（-1）种取法，取第三个点（-2）种取法， 所以一共可以作（-1）（-2）个三角形，但同一个三角形重复6 次， 故应除以6， 即S= n \(n-1\)\(n-2\) 6 ． （4）结论：S= n \(n-1\)\(n-2\) 6 ． 【点睛】本题考查图形规律探索，阅读理解，仔细阅读，抓住点与线的规律，拓展点与三角形的规律，是 学习的质的飞跃，本题难度不大，是培养逻辑思维的好题． 【变式2-3】（2022·吉林长春·校考模拟预测）一个圆周上有12个点：A1，A2，A3，…，A11，A12．以 它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问：有多少种连 法？ 【答】55 【分析】利用递推的方法，根据三角形的定义，结合图表依次推出圆上有3 个点，6 个点，9 个点和12 个 点连成三角形的种数，进而得出结论． 【详解】解：（1）如果圆上只有3 个点，那么只有一种连法； （2）如果圆上有6 个点，除A1所在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只能在A1在三角形的一条边所 对应的圆弧上，表1 给出这时有可能的连法有3 种． （3）如果圆上有9 个点，考虑A1所在的三角形．此时，其余的6 个点可能分布在： ①1所在三角形的一个边所对的弧上；②也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧 上； 在表2 中用“+¿”号表示它们分布在不同的边所对的弧；如果是情形①，则由（2）， 这六个点有三种连法；如果是情形②，则由①，每三个点都只能有一种连法；共有12 种连法． （4）最后考虑圆周上有12 个点．同样考虑A1所在三角形，剩下9 个点的分布有三种可能： ①9 个点都在同一段弧上； ②有6 个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上； ③每三个点在A1所在三角形的一条边对应的弧上．得到表3； 共有12×3+3×6+1=55种． 所以共有55 种不同的连法． 【点睛】本题主要考查了计数方法，利用递推的方法，依次推出圆上有3 个点，6 个点，9 个点和12 个点 连成三角形的种数，即采用了化难为易的方法解答，要注意各个三角形的边都不相交这个要求． 题型03 三角形的稳定性 【例3】（2023·山西运城·统考二模）学校、工厂、企业等单位的大门都是收缩性大门，这种门的门体可以 伸缩自由移动，以此来控制门的大小．这种方法应用的数学知识是（ ） ．三角形的稳定形 B．四边形的不稳定性 ．勾股定理 D．黄金分割 【答】B 【分析】由题意可知收缩大门可以伸缩自由移动，这是根据四边形的不稳定性． 【详解】由题意可知收缩大门可以伸缩自由移动，这是根据四边形的不稳定性． 故选：B 【点睛】本题考查四边形的不稳定性，抓住题意的关键词从而解决问题． 【变式3-1】（2023·广东佛山·校考一模）要使下面的木架不变形，至少需要再钉上几根木条？（ ） ．1 条 B．2 条 ．3 条 D．4 条 【答】 【分析】根据三角形具有稳定性，六边形转化成三角形即可得出答． 【详解】解：根据三角形的稳定性可知，要使六边形木架不变形，至少要再钉上3 根木条． 故答选： 【点睛】本题主要考查的是三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一 确定下来，故三角形具有稳定性． 【变式3-2】（2022·河北保定·校考一模）能用三角形的稳定性解释的生活现象是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据各图所用到的直线、线段有关知识，即可一一判定 【详解】解：、利用的是“两点确定一条直线”，故该选项不符合题意； B、利用的是“两点之间线段最短”，故该选项不符合题意； 、窗户的支架是三角形，利用的是“三角形的稳定性”，故该选项符合题意； D、利用的是“垂线段最短”，故该选项不符合题意； 故选： 【点睛】本题考查了两点确定一条直线、两点之间线段最短、三角形的稳定性、垂线段最短的应用，结合 题意和图形准确确定所用到的知识是解决本题的关键． 【变式3-3】（2021·浙江台州·一模）如图，升降平台由三个边长为12 米的菱形和两个腰长为12 米的等腰 三角形组成，其中平台M 与底座0平行，长度均为24 米，B，B0分别在M 和0上滑动，且始终保持点B0， 1，1成一直线． (1)这种升降平台的设计原理是利用了四边形的____性； (2)为了安全，该平台在作业时∠B1不得超过40°，求平台高度(0)的最大值（s20°≈034）． 【答】(1)不稳定 (2)平台高度(0)的最大值为33 米． 【分析】（1）根据四边形的不稳定性即可解决问题． （2）当∠B1=40°时，平台0的高度最大，解直角三角形1B00，可得01的长，再由3=32=21=10，即可解决问题． 【详解】（1）因为四边形具有不稳定性，点B，B0分别在M 和0上滑动 ，从而达到升降目的，因而这种 设计利用了平行四边形的不稳定性； 故答为：不稳定． （2）由图可知，当∠B1=40°时，平台0的高度最大， ∠0B01=1 2∠B1, 01=12==23==34 ∵B01=2 11 =2×12=24（米），s20°≈034， ∴01=24×s20°×4＝3264≈33(米)， ∴平台高度(0)的最大值为33 米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是熟练菱 形的性质． 考点二 三角形的重要线段 重要线段 概念 图形 性质 三角形的高 从三角形一个顶点向它的对边做垂 线，顶点和垂足之间的线段叫做三 角形的高线（简称三角形的高）． ∵D 是∆B 中B 边的高 ∴∠DB=∠D=90° 三角形的中 线 在三角形中，连接一个顶点和它对 边的中点的线段叫做三角形的中线 ∵D 是∆B 中B 边的中线 ∴BD=D S△BD=S△D C∆ACD−C∆ABD=AC−AB 三角形的角 平分线 三角形的一个角的平分线与这个角 的对边相交，这个角的顶点和交点 间的线段叫做三角形的角平分线． ∵D 是∆B 中∠B 的角平分线 ∴∠BD=∠D=1 2∠B 三角形的中 位线 连接三角形两边中点的线段叫做三 角形的中位线 ∵DE 是∆B 的中位线 ∴D=DB E=E DE=1