第26讲 圆的相关概念及性质（练习）（原卷版）

第26 讲 圆的相关概念及性质 目 录 题型01 理解圆的相关概念 题型02 圆的周长与面积相关计算 题型03 圆中的角度计算 题型04 圆中线段长度的计算 题型05 求一点到圆上一点的距离最值 题型06 由垂径定理及推论判断正误 题型07 利用垂径定理求解 题型08 根据垂径定理与全等/相似三角形综合求解 题型09 在坐标系中利用勾股定理求值或坐标 题型10 利用垂径定理求平行弦问题 题型11 利用垂径定理求同心圆问题 题型12 垂径定理在格点中的应用 题型13 利用垂径定理的推论求解 题型14 垂径定理的实际应用 题型15 利用垂径定理求取值范围 题型16 利用弧、弦、圆心角关系判断正误 题型17 利用弧、弦、圆心角关系求解 题型18 利用弧、弦、圆心角关系求最值 题型19 利用弧、弦、圆心角关系证明 题型20 利用圆周角定理求解 题型21 利用圆周角定理推论求解 题型22 已知圆内接四边形求角度 题型23 利用圆的有关性质求值 题型24 利用圆的有关性质证明 题型25 利用圆的有关性质解决翻折问题 题型26 利用圆的有关性质解决多结论问题 题型27 圆有关的常见辅助线-遇到弦时, 常添加弦心距 题型28 圆有关的常见辅助线-遇到有直径时, 常添加（画）直径所对的圆周角 题型01 理解圆的相关概念 1．（2023·上海普陀·统考二模）下列关于圆的说法中，正确的是（ ） ．过三点可以作一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等 ．平分弦的直径垂直于弦 D．圆的直径所在的直线是它的对称轴 2．（2020·内蒙古乌兰察布·校考一模）下列命题：①三点确定一个圆；②直径是圆的对称轴；③平分弦的 直径垂直于弦；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤相等的圆心角所对的弧相等，正确命题的个 数是（ ） ．0 个 B．1 个 ．2 个 D．3 个 3．（2023·江苏徐州·统考一模）下列说法中，正确的是（ ） ①对角线垂直且互相平分的四边形是菱形； ②对角线相等的四边形是矩形； ③同弧或等弧所对的圆周角相等； ④半圆是弧，但弧不一定是半圆 ．①④ B．②③ ．①③④ D．②③④ 4．（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里 去，这是因为（ ） ．同样长度的线段围成的平面图形中圆的面积最大 B．同一个圆所有的直径都相等 ．圆的周长是直径的π倍 D．圆是轴对称图形 题型02 圆的周长与面积相关计算 5．（2022·山西临汾·统考二模）山西著名工艺品平遥推光漆器外观古朴雅致、闪光发亮，绘饰金碧辉煌， 以手掌推出光泽而得名．图1 是平遥推光漆器的一种图，图2 是选取其某部分并且放大后的示意图．四边 形BD 是边长为2 的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，1 2对角线的长为半径画弧，四条弧相交于 点，则图中阴影部分的面积为（ ） ．2π−4 B．π−2 ．2π D．1 4 π 6．（2019·广东佛山·佛山市三水区三水中学校考一模）某公计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后 来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的 边沿（ ） ．图（1）需要的材料多 B．图（2）需要的材料多 ．图（1）、图（2）需要的材料一样多 D．无法确定 7．（2019·河北张家口·统考一模）半径为R、r的两个同心圆如图所示，已知半径为r的圆周长为a，且 R−r=1，则半径为R的圆周长为（ ） ．a+1 B．a+2 ．a+π D．a+2π 8．（2021·江苏宿迁·统考一模）一块含有30°角的三角板ABC如图所示，其中∠C=90°，∠A=30°， BC=3cm．将此三角板在平面内绕顶点A旋转一周． （1）画出边BC旋转一周所形成的图形； （2）求出该图形的面积． 题型03 圆中的角度计算 9．（2023·山东聊城·统考一模）如图，B 是⊙的弦，⊥B，垂足为，OD∥AB，＝1 2D，则∠BD 的度数为 （ ） ．90° B．95° ．100° D．105° 10．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC=80 °，点D 为弦AC的中点， 点E 为´ BC上任意一点，则∠CED的大小可能是（ ） ．10 ° B．20 ° ．30 ° D．40 ° 11．（2023·湖南湘西·统考模拟预测）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按 顺时针方向旋转得到△O ' A ' B，使点O落在⊙O上，边A ' B交线段AO于点C．若∠A '=27°，则 ∠OCB=¿ 度． 题型04 圆中线段长度的计算 12．（2023·湖南益阳·统考二模）如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，点D 在斜边AB上，以BD为直径 的⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半径为3，AD=2，则线段BC的长 为（ ） ．40 3 B．8 ．24 5 D．6 13．（2023·广东深圳·统考二模）如图，在Rt △ABC中，∠C=90 ∘，点D 在斜边AB上，以BD为直径的 ⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半径为3，AD=2，则线段BC的长为 （ ） ．40 3 B．8 ．24 5 D．9 5 14．（2022·湖北武汉·武汉第三寄宿中学校考模拟预测）如图，将两个正方形如图放置（B，，E 共线， D，，G 共线），若B＝3，EF＝2，点在线段B 上，以F 为半径作⊙，点，点F 都在⊙上，则D 的长是（ ） ．4 B．❑ √10 ．❑ √13 D．❑ √26 题型05 求一点到圆上一点的距离最值 15．（2023·湖北咸宁·统考二模）如图，正方形ABCD内接干圆O，线段MN在对角线BD 上运动，若圆的 面积为2π，MN=1，△AMN周长的最小值是 ． 16．（2023·浙江嘉兴·统考一模）平面直角坐标系xoy中，⊙O的半径为2，点M 在⊙O上，点在线段 OM上，设ON=t （1<t<2），点P 的坐标为(−4,0)，将点P 沿OM方向平移2 个单位，得到点P '，再 将点P '作关于点的对称点Q，连接PQ，当点M 在⊙O上运动时，PQ长度的最大值与最小值的差为 ． （用含t 的式子表示） 17．（2023·山东济宁·统考三模）如图，在Rt △ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D 为线段 AB上的动点，连接CD，过点B 作BE⊥CD交CD于点E，则在点D 的运动过程中，求线段AE的最小值 为 ． 18．（2023·安徽合肥·校联考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，P是矩形内部一动点，且 满足 ，则线段BP的最小值是 ；当BP取最小值时，DP延长线交线段BC于E，则CE 的长为 ． 题型06 由垂径定理及推论判断正误 19．（2022·山东济宁·二模）如图，在⊙O中，AB是直径，CD 是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO、 AD、OD，∠BAD=22.5°，则下列说法中不正确的是（ ） ．CE=EO B．OC=❑ √2CD ．∠OCE=45° D．∠BOC=2∠BAD 20．（2022·河南许昌·统考一模）如图，D 是⊙的直径，弦B⊥D 于点E，则下列结论不一定成立的是（ ） ．E＝BE B．E＝DE ．´ AC= ´ BC D．´ AD= ´ BD 21．（2018·内蒙古包头·校联考一模）如图，已知B 是⊙的直径，弦D B ⊥ 于E，连接B、BD、，下列结 论中不一定正确的是（ ） ．∠B=90° B．E=BE ．BD=B D．´ AD= ´ AC 题型07 利用垂径定理求解 22．（2023·云南·模拟预测）如图，已知B 是⊙的直径，D 是的弦，B⟂D．垂足为E．若B=26，D=24，则 ∠E 的余弦值为（ ） ．7 13 B．12 13 ．7 12 D．13 12 23．（2023·陕西西安·校考二模）如图，D 是圆的弦，直径B⊥D，垂足为E，若B＝12，BE＝3，则四边形 BD 的面积为( ) ．36❑ √3 B．24❑ √3 ．18❑ √3 D．72❑ √3 24．（2022·北京丰台·统考一模）如图，⊙的直径B 垂直于弦D，垂足为E，∠D＝45°，则∠B＝ °． 25．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图，已知B 是⊙的弦，∠B＝120°，⊥B，垂足为，的延长线交⊙ 于点D．若∠PD 是´ AD所对的圆周角，则∠PD 的度数是 ． 题型08 根据垂径定理与全等/相似三角形综合求解 26．（2022·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于 点E． （1）求证：∠BAD=∠CAD； （2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE=3，求GC和 OF的长． 27．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）小明向如图所示的圆形区域内投掷飞镖．已知△ABC是等边三角 形，D 点是弧AC的中点，则飞镖落在阴影部分的概率为 ． 28．（2022·广东广州·统考一模）如图B 与圆相切于，D 是圆内一点，DB 与圆相交于．已知B＝D＝3，D ＝2，B＝6，则圆的半径为 ． 29．（2022·广西钦州·统考一模）如图，在△B 中，∠C=90 ∘，B＝3，＝4，点D 是边上一动点，过点作 AE⊥BE交BD 的延长线于点E，则BD DE 的最小值为 ． 30．（2021·四川成都·统考二模）如图，在半径为3❑ √2的⊙中，B 是直径，是弦，D 是AC ⏜的中点，与BD 交于点E．若E 是BD 的中点，则的长是 ． 题型09 在坐标系中利用勾股定理求值或坐标 31．（2022·山东淄博·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5 的⊙E与y轴交于点A (0,−2)， B (0,4 )，与x轴交于C，D，则点D的坐标为（ ） ．(4−2❑ √6,0) B．(−4+2❑ √6,0) ．(−4+❑ √26,0) D．(4−❑ √26,0) 32．（2021·浙江宁波·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知A (10,0),B (8,0)，点C , D是以OA为 直径的半圆上两点，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标是（ ） ．(2，3) B．(2,4 ) ．(1,2) D．(1,3) 33．（2017·山东临沂·校考一模）如图，已知⊙在平面直角坐标系中，⊙与x 轴交于点B，，与y 轴交于点 D，E，若圆心的坐标为（-4，6），点B 的坐标为（-12，0），则DE 的长度为（ ） ．2❑ √21 B．4❑ √21 ．8 D．16 34．（2022·四川泸州·模拟预测）已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P是反比例函数 y=6 x ( x>0)图像上的一个动点，若以点P为圆心，3为半径的圆与直线y=x相交，交点为A、B，当弦 AB的长等于2❑ √5时，点P的坐标为 ． 题型10 利用垂径定理求平行弦问题 35．（2021·浙江衢州·校考一模）如图，已知B 是半圆的直径，弦D∥B，D＝8．B＝10，则D 与B 之间的 距离是 ． 36．（2022·黑龙江·统考一模）如图，矩形BD 与圆心在B 上的☉交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4， 那么D = ． 37．（2022·黑龙江牡丹江·统考二模）在半径为4m 的⊙O中，弦D 平行于弦B，AB=4 ❑ √3cm， ∠BOD=90°，则B 与D 之间的距离是 m． 题型11 利用垂径定理求同心圆问题 38．（2022·福建·模拟预测）如图，以点为圆心的两个圆中，大圆的弦B 切小圆于点，大圆的半径交小圆 于点D，若D＝3，t∠B＝1 2，则B 的长是 ． 39．（2019·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，两个圆都以O为圆心，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若 AB=6，则圆环的面积为 40．（2022·甘肃武威·统考模拟预测）已知在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦B 交小圆于点，D（如 图）． （1）求证：=BD； （2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆到直线B 的距离为6，求的长． 题型12 垂径定理在格点中的应用 41．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图所示，在由边长为1 的小正方形组成的格图中，一段圆弧经 过格点，B，，AE的延长线经过格点D，则´ AE的长为（ ） ．3 π 4 B．π 2 ．5 π 8 D．5 π 4 42．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，在边长为1 的正方形格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B， O均在格点上，则sinC=¿ ． 43．（2023·天津东丽·统考二模）如图，在格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格 点，点A，B，M均为格点，以格点O为圆心，AB为直径作圆，点M在圆上． （Ⅰ）线段AB的长等于 ； （Ⅱ）请在如图所示的格中，用无刻度的直尺，在´ BM上找出一点P，使´ PM= ´ AM，并简要说明画图方法 （不要求证明） 44．（2023·天津·校联考一模）如图，在每个小正方形的边长为1 的格中，点，B，，D 均为格点，且点， B 在圆上． （1）线段AC的长等于 ； （2）过点D作DF ∥AC，直线DF与圆交于点M , N（点M在N的左侧），画出MN的中点P，简要说明 点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 题型13 利用垂径定理的推论求解 45．（2023·湖南长沙·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，´ BC= ´ BD， ∠CDB=30°，AC=2❑ √3，则OE=¿（ ） ． ❑ √3 2 B．❑ √3 ．1 D．2 46．（2021·江苏扬州·统考一模）如图，在⊙O中，点C是´ AB的中点，连接OC交弦AB于点D，若 OD=3，DC=2，则AB的长是 ． 47．（2023·天津西青·统考一模）已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上两点，´ AC= ´ BC，连接AC， BC，DB． (1)如图①，若AB=10，BD=5，求∠ABC和∠ABD的大小； (2)如图②，过点C作⊙O的切线，与DB的延长线交于点E，若CE=CB，求∠ABD的大小． 48．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点D是弧BC的中点，点 E在DO的延长线上， 连接AE．若∠E=∠B． (1)求证：AE是⊙O的切线； (2)连接AC．若AC=6，CF=4，求OE的长． 题型14 垂径定理的实际应用 49．（2021·山东临沂·统考二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具如图1，明朝科学家徐光启在 《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心为圆心的圆已知圆 心在水面上方，且圆被水面截得的弦B 长为6 米，∠B=413°，若点为运行轨道的最高点（，的连线垂直于 B），求点到弦B 所在直线的距离（参考数据：s413°≈066，s413°≈075，t413°≈088） 50．（2022·河南开封·统考一模）中国5 级旅游景区开封市清明上河，水车中的水车是由立式水轮，竹筒、 支撑杆和水槽等配件组成，如图是水车中半径为5m 的水车灌田的简化示意图，立式水轮⊙O在水流的作 用下利用竹筒将水运送到到点处，水沿水槽P 流到田地，⊙O与水面交于点B，，且点B，，P 在同一直 线上；P 与⊙O相切，若点P 到点的距离为32 米，立式水轮⊙O的最低点到水面的距离为2 米，连接， B． 请解答下列问题， (1)求证：∠PAC=∠PBA． (2)请求出水槽P 的长度． 51．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图是正在修建的某大门上半部分的截面，其为圆弧型，跨度CD （弧所对的弦）的长为3.2米，拱高AB（弧的中点到弦的距离）为0.8米． (1)求该圆弧所在圆的半径； (2)在修建中，在距大门边框的一端（点D）0.4米处将竖立支撑杆HG，求支撑杆HG的高度； 52．（2021·云南大理·统考二模）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字 弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙的两条弦B⊥D，则B、D 互为“十 字弦”，B 是D 的“十字弦”，D 也是B 的“十字弦”． 【概念理解】 （1）若⊙的半径为5，一条弦B =8，则弦B 的“十字弦”D 的最大值为 ，最小值为 ． （2）如图2，若⊙的弦D 恰好是⊙的直径，弦B 与D 相交于，连接，若= 12，D =7， =9，求证︰B、D 互 为“十字弦”； 【问题解决】 （3）如图3，在⊙中，半径为❑ √13，弦B 与D 相交于，B、D 互为“十字弦”且B=D，CH DH =5，则D 的 长度 ． 题型15 利用垂径定理求取值范围 53．（2020·山东泰安·校考模拟预测）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦 B 与小圆有公共点，则弦B 的取值范围是（ ） ．8≤B≤10 B．8＜B≤10 ．4≤B≤5 D．4＜B≤5 54．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，⊙O的弦AB=8，点P 是AB上一动点，若⊙O的直径是10，则 OP的长的取值范围是______． 55．（2023·浙江金华·校考一模）在锐角三角形B 中，∠＝30°，B＝2，设B 边上的高为，则的取值范围是 ． 56．（2022·湖南长沙·校考二模）在半径为5 的圆中，弦AB=8，点C是劣弧AB上的动点（可与A、B重 合），连接OC交AB于点P． (1)如图1，当OC ⊥AB时，求OP的长度； (2)如图2，过C点作CM ⊥AB，垂足为点M，设CM =m，求OP的长度（用含m的式子表示），并指出 m的取值范围； (3)如图3，设CM =m，连接OM．求O M 2+8CM的取值范围． 题型16 利用弧、弦、圆心角关系判断正误 57．（2020·安徽芜湖·校联考三模）在⊙中，M 为´ AB的中点，则下列结论正确的是( ) ．B＞2M B．B＝2M ．B＜2M D．B 与2M 的大小不能确定 58．（2018·湖北襄阳·统考一模）如图，在⊙中，，，D，B 是⊙上四点，，D 交B 于点E，F，且E＝ FB，下列结论中不正确的是（ ） ．E＝F B．弧=弧BD ．＝D＝DB D．D∥B 59．（2018·福建三明·统考一模）如图，在⊙中，直径B⊥弦D，垂足为M，则下列结论一定正确的是( ) ．＝D B．M＝BM ．∠＝1