第16讲 三角形的概念及性质（讲义）（原卷版）

第16 讲 三角形的概念及性质 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 三角形的相关概念 题型01 三角形的分类 题型02 三角形个数的规律探究问题 题型03 三角形的稳定性 考点二 三角形的重要线段 题型01 画三角形的高、中线、角平分线 题型02 已知三角形的高、中线、角平分线，判断式子正误 题型03 等面积法求三角形的高 题型04 利用格求三角形的面积 题型05 与垂心性质有关的计算 题型06 根据三角形的中线求长度 题型07 根据三角形的中线求面积 题型08 判断重心位置 题型09 与重心性质有关的计算 考点三 三角形的性质 题型01 应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围 题型02 应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子 题型03 应用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题 题型04 三角形内角和定理的证明 题型05 应用三角形内角和定理求角度 题型06 三角形内角和与平行线的综合应用 题型07 三角形内角和与角平分线的综合应用 题型08 三角形折叠中的角度问题 题型09 应用三角形内角和定理解决三角板问题 题型10 应用三角形内角和定理探究角的数量关系 题型11 三角形内角和定理与新定义问题综合 题型12 应用三角形外角的性质求角度 题型13 三角形的外角性质与角平分线的综合 题型14 三角形的外角性质与平行线的综合 题型15 应用三角形的外角性质解决折叠问题 题型16 三角形内角和定理与外角和定理综合 考点要求 新课标要求 命题预测 三角形的相关 概念  理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平 分线等概念，了解三角形的稳定性 在初中几何数学中，三角形的基础 知识是解决后续很多几何问题的基础所 以，在中考中，与其它几何图形结合考 察的几率比较大，特别是全等三角形的 性质和判定的综合应用考生在复习该考 点时，不仅要熟悉掌握其本身的性质和 应用，还要注重转化思想在题目中的应 用，同步联想，其他几何图形在什么情 况下会转化成该考点的知识考察 三角形的重要 线段 三角形的性质  探索并证明三角形的内角和定理掌握它的推论:三 角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和  证明三角形的任意两边之和大于第三边 考点一 三角形的相关概念 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形 三角形的表示：用符号“Δ”表示，顶点是、B、的三角形记作“ΔB”，读作“三角形B” 三角形的分类： 1）三角形按边分类：三角形{ 三边都不相等的三角形 等腰三角形{ 等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 2）三角形按角分类：三角形{ 直角三角形 斜三角形{ 锐角三角形 钝角三角形 三角形的稳定性: 三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了 题型01 三角形的分类 【例1】（2022·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）如图，一只手盖住了一个三角形的部分 图形，则这个三角形不可能是（ ） ．钝角三角形 B．直角三角形 ．等腰三角形 D．等边三角形 【变式1-1】（2020·河北保定·统考一模）如图，一个三角形只剩下一个角，这个三角形为( ) 1 三角形的表示方法中“Δ”代表“三角形”,后边的字母为三角形的三个顶点,字母的顺序可以自由安 排 即 ∆B, ∆B 等均为同一个三角形 2 等腰三角形中至少有两边相等,而等边三角形中三边都相等,所以等边三角形是特殊的等腰三角形 3 四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多 边形就具有稳定性了 ．锐角三角形 B．钝角三角形 ．直角三角形 D．以上都有可能 【变式1-2】（2020·吉林长春·统考中考真题）图①、图②、图③均是3×3的正方形格，每个小正方形的 边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的格中， 按下列要求以AB为边画△ABC． 要求： （1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形； （2）三个图中所画的三角形的面积均不相等； （3）点C在格点上． 【变式1-3】（2021·浙江宁波·统考一模）如图，在8×4的正方形格中，按△ABC的形状要求，分别找出 格点，且使BC=5，并且直接写出对应三角形的面积． 题型02 三角形个数的规律探究问题 【例2】（2023·浙江杭州·模拟预测）若一个三角形的任意两条边都不相等，则称之为“不规则三角形”． 顶点在一个正方体顶点上的所有三角形中，这样的“不规则三角形”的个数为（ ） ．8 B．18 ．24 D．36 【变式2-1】（2020·江西南昌·模拟预测）由18 根完全相同的火柴棒摆成的图形如图所示，如果去掉其中 的3 根，那么就可以剩下7 个三角形．以下去掉3 根的方法正确的是（ ） ．DE ,GH , MI B．GF , EF , MF ．GD , EI , MH D．AD , AG ,GD 【变式2-2】阅读下列材料并填空．平面上有个点（≥2）且任意三个点不在同一条直线上，过这些点作直 线，一共能作出多少条不同的直线？ （1）分析：当仅有两个点时，可连成1 条直线；当有3 个点时，可连成3 条直线；当有4 个点时，可连成 6 条直线；当有5 个点时，可连成10 条直线… … （2）归纳：考察点的个数和可连成直线的条数S 发现：如下表 点的个数 可作出直线条数 2 1=S2= 2×1 2 3 3=S3= 3×2 2 4 6=S4= 4×3 2 5 10=S5= 5×4 2 …… …… Sn= n× (n−1) 2 (3)推理：平面上有个点，两点确定一条直线．取第一个点有种取法，取第二个点B 有（－1）种取法，所 以一共可连成(-1)条直线，但B 与B 是同一条直线，故应除以2；即Sn= n× (n−1) 2 （4）结论：Sn= n× (n−1) 2 试探究以下几个问题：平面上有个点（≥3），任意三个点不在同一条直线上，过任意三个点作三角形， 一共能作出多少不同的三角形？ （1）分析： 当仅有3 个点时，可作出 个三角形； 当仅有4 个点时，可作出 个三角形； 当仅有5 个点时，可作出 个三角形； …… （2）归纳：考察点的个数和可作出的三角形的个数S，发现：（填下表） 点的个数 可连成三角形个数 3 4 5 …… (3)推理： （4）结论： 【变式2-3】（2022·吉林长春·校考模拟预测）一个圆周上有12个点：A1，A2，A3，…，A11，A12．以 它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问：有多少种连 法？ 题型03 三角形的稳定性 【例3】（2023·山西运城·统考二模）学校、工厂、企业等单位的大门都是收缩性大门，这种门的门体可以 伸缩自由移动，以此来控制门的大小．这种方法应用的数学知识是（ ） ．三角形的稳定形 B．四边形的不稳定性 ．勾股定理 D．黄金分割 【变式3-1】（2023·广东佛山·校考一模）要使下面的木架不变形，至少需要再钉上几根木条？（ ） ．1 条 B．2 条 ．3 条 D．4 条 【变式3-2】（2022·河北保定·校考一模）能用三角形的稳定性解释的生活现象是（ ） ． B． ． D． 【变式3-3】（2021·浙江台州·一模）如图，升降平台由三个边长为12 米的菱形和两个腰长为12 米的等腰 三角形组成，其中平台M 与底座0平行，长度均为24 米，B，B0分别在M 和0上滑动，且始终保持点B0， 1，1成一直线． (1)这种升降平台的设计原理是利用了四边形的____性； (2)为了安全，该平台在作业时∠B1不得超过40°，求平台高度(0)的最大值（s20°≈034）． 考点二 三角形的重要线段 重要线段 概念 图形 性质 三角形的高 从三角形一个顶点向它的对边做垂 线，顶点和垂足之间的线段叫做三 角形的高线（简称三角形的高）． ∵D 是∆B 中B 边的高 ∴∠DB=∠D=90° 三角形的中 线 在三角形中，连接一个顶点和它对 边的中点的线段叫做三角形的中线 ∵D 是∆B 中B 边的中线 ∴BD=D S△BD=S△D C∆ACD−C∆ABD=AC−AB 三角形的角 平分线 三角形的一个角的平分线与这个角 的对边相交，这个角的顶点和交点 间的线段叫做三角形的角平分线． ∵D 是∆B 中∠B 的角平分线 ∴∠BD=∠D=1 2∠B 三角形的中 位线 连接三角形两边中点的线段叫做三 角形的中位线 ∵DE 是∆B 的中位线 ∴D=DB E=E DE=1 2B DE∥B 概念 图形 性质 重心 三角形三 条中线交 点 1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2）重心和三角形3 个顶点组成的3 个三角形面积相等。 3) 重心到三角形3 个顶点距离的平方和最小。 垂心 三角形三 条高交点 1）锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点 上；钝角三角形的垂心在三角形外； 2）锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆 半径之和的2 倍。 3）三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7 个点可以得到6 组四点 共圆 4）锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三 角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短 题型01 画三角形的高、中线、角平分线 【例1】（2023·河北石家庄·校联考二模）如图，在△ABC中，边AB上的高是（ ） 1 三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段 之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系． 2 常见三角形的高： 3 当已知三角形两边的中点时，可考虑运用三角形中位线定理，得到相应线段的数量关系与位置关系 ．AD B．¿ ．EF D．CH 【变式1-1】（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）在△ABC中，AB=AC，BC长度不确定，拫据尺规 作图痕迹，用直尺不一定能直接画出BC边的高的是（ ） ． B． ． D． 【变式1-2】（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）嘉淇剪一个锐角△ABC做折纸游戏，折叠方法如图所 示，折痕与BC交于点D，连接AD，则线段AD分别是△ABC的（ ） ．高，中线，角平分线 B．高，角平分线，中线 ．中线，高，角平分线 D．高，角平分线，垂直平分线 【变式1-3】（2023·广东深圳·统考二模）观察下列尺规作图痕迹，其中所作线段AD为△ABC的角平分 线的是（ ） ． B． ． D． 【变式1-4】（2023·河北石家庄·统考一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（∠A是钝角）， 他打算用折叠的方法折出∠C的角平分线、AB边上的中线和高线，能折出的是（ ） ．AB边上的中线和高线 B．∠C的角平分线和AB边上的高线 ．∠C的角平分线和AB边上的中线 D．∠C的角平分线、AB边上的中线和高线 【变式1-5】（2023·河北石家庄·校联考二模）小熊和小猫把一个三角形纸片折一次后，折痕把原三角形分 成两个三角形．如图，当∠1=∠2时，折痕是三角形的（ ） ．中线 B．中位线 ．高线 D．角平分线 【变式1-6】（2023·吉林松原·统考一模）图①、图②均是6×6的正方形格，每个小正方形的边长均为1， 每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的格中，分别按下 列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中画△ABC的中位线DE，使点D 、E分别在边AB 、BC上； (2)在图②中画△ABC的高线BF． 题型02 已知三角形的高、中线、角平分线，判断式子正误 【例2】（2023·江苏扬州·校考二模）如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高．则下 列各式中错误的是（ ） ．∠AFB=90° B．AE=CE ．BC=2CD D．∠BAE=1 2 ∠BAC 【变式2-1】（2020 上·安徽池州·八年级统考期末）如图，在△B 中，D 是高，E 是角平分线，F 是中线， 则下列说法中错误的是（ ） ．BF＝F B．∠＋∠D＝90° ．∠BF＝∠F D．S△ABC=2S△ABF 题型03 等面积法求三角形的高 【例3】如图，已知AC ⊥BC，CD⊥AB，AC=5，BC=12，AB=13，则点C到直线AB的距离等于 （ ） ．12 5 B．13 5 ．60 13 D．65 12 【变式3-1】（2023·河北张家口·统考一模）如图，在点，B，，D 中选一个点；与点M，为顶点构成一个 三角形，其面积等于△KMN的面积，这个点为（ ） ．点 B．点B ．点 D．点D 【变式3-2】（2023·江苏苏州模拟）数学活动课上，小敏、小颖分别画了△B 和△DEF，数据如图，如果 把小敏画的三角形面积记作S△B，小颖画的三角形面积记作S△DEF，那么你认为( ) ．S△B >S△DEF B．S△B <S△DEF ．S△B =S△DEF D．不能确定 【变式3-3】（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考二模）如图，小正方形边长为1，连接小正方形的 三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高长度为（ ） ．3 ❑ √5 5 B．3 ❑ √5 10 ． ❑ √5 5 D． ❑ √5 10 题型04 利用格求三角形的面积 【例4】（2021·辽宁沈阳·统考一模）如图，在3×3 的格中，每个小正方形的边长均为1，点，B，都在格 点上，则S△B 的面积为（ ） ．5 2 B．3 ．7 2 D．4 【变式4-1】（2023·北京·统考二模）如图所示的格是正方形格，点，B，，D 均在格点上，则S Δ ABC S Δ ACD (填“＞”，“＜”或“＝”)． 【变式4-2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，格上的每个小正方形的边长均 为1，△ABC的顶点坐标分别为A(−1,3)，B(2,0)，C(−3,−1)． (1)在图中画出△ABC关于x 轴对称的△A1B1C1（点、B、的对应点分别为A1、B1、C1）； (2)求△ABC的面积． 题型05 与垂心性质有关的计算 【例5】（2022·安徽·校联考三模）如图，已知Δ ABC中，∠ACB=45 °，F是高BD和CE的交点， AD=3，CD=5，则线段BF的长度为（ ） ．1 B．2 ．2❑ √2−3 D．4 ❑ √2−3 【变式5-1】（2021·山东威海·统考模拟预测）【信息阅读】垂心的定义：三角形的三条高（或高所在的直 线）交于一点，该点叫三角形的垂心． 【问题解决】如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=62°，为△ABC的垂心，则∠BHC的度数 为（ ） ．120° B．115° ．102° D．108° 【变式5-2】（2022·浙江绍兴·统考一模）在学习三角形高线时，发现三角形三条高线交于一点，我们把这 个交点叫做三角形的垂心．课后小明同学继续探究，上搜索得到了三角形重心的一条性质，制作了如下表 格进行探究． 三角形关 型 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 垂心的位 置 直角顶点 ① 在三角形外部 垂心的性 质 三角形任意顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的两倍． 图形 图1 图2 (1)表格中①处应填： ． (2)小明先选择了直角三角形来探究重心的性质，写出了已知求证，请完成证明． 已知：如图1， 是 ⊙ Rt △ABC的外接圆，∠B=Rt ∠，是△ABC的垂心，OE⊥BC，垂足为E． 求证：AH=2OE． (3)如图2， 是锐角三角形 ⊙ B 的外接圆，高线F 与高线G 交于点，OE⊥BC于点E，为了证明AH=2OE． 小明想把锐角三角形的问题转化为直角三角形，为此他过点B 作了 的直径 ⊙ BD，请继续小明的思路证明． 【变式5-3】（2021·山西吕梁·统考二模）阅读下列材料，并完成相应的学习任务： 我们知道三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．由于三角形的 三条高（或高所在的直线）相交于一点，因此我们把三角形三条高的交点叫做三角形的垂心．下面我们以 锐角三角形为例，证明三角形的三条高相交于一点． 如图，在△B 中，D，BE 分别是B，边上的高，且D 与BE 相交于点P．连接P 并延长，交B 于点F． 求证：F⊥B． 证明：分别过点，B，作它们所对边的平行线，三条平行线两两相交于点M，，Q．分别连接PM，P， PQ． ∵M//B，MQ//B，Q//， ∴四边形MB，四边形B，四边形BQ 都是平行四边形． ∴B=M=，=B=BQ，B=M=Q． ∵D⊥B， ∴∠MD=∠DB=90°，即D⊥M． ∴PM=P． … 学习任务： （1）请将上面剩余的证明过程补充完整； （2）点P 是△MQ 的 ．（填出字母代号即可） ．内心 B．外心 ．垂心 D．重心 （3）若∠B=40°，则∠MP= °． 题型06 根据三角形的中线求长度 【例6】（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，AD是△ABC的中线，AB=5，AC=4， △ACD的周长为10，则△ABD的周长为（ ） ．8 B．9 ．10 D．11 【变式6-1】（2023·青海·统考一模）在△ABC中，D是BC边的中点，若AB=9，AC=5，则△ABC的 中线AD长的取值范围是（ ） ．5< AD<9 B．4< AD<9 ．2< AD<14 D．2< AD<7 【变式6-2】（2022·河南焦作·统考模拟预测）如图，BE 是△ABC的中线，点F 在BE 上，延长F 交B 于 点D，若BF=3 EF，则BD DC =¿（ ） ．4 3 B．3 2 ．6 5 D．2 3 【变式6-3】（2022·江苏泰州·模拟预测）△ABC中，AB：AC=3：2，BC=AC+1，若△ABC的中线 BD把△ABC的周长分成两部分的比是8：7，求边AB，AC的长． 题型07 根据三角形的中线求面积 【例7】（2023·广东梅州·统考一模）如图，△ABC的面积为30，BD=2CD，E 为AB的中点，则 △ADE的面积等于（ ） ．15 B．12 ．10 D．9 【变式7-1】（2023·江苏南京·南师附中新城初中校考模拟预测）如图△ABC中，点D是BC边的中点，E 是AC边上一点，且AE=2 EC，连接AD、BE交于点F，若△BDF的面积是3，则△ABC的面积为 ． 【变式7-2】（2023·江苏扬州·校考二模）探究应用： (1)如图①，在△ABC中，中线AD、BE交于点O．若△ABC的面积为6，求四边形ODCE的面积． 小明