专题61 二次函数背景下的相似三角形问题（解析版）

在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三 角形存在性问题”． 【相似判定】 判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形； 判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形； 判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形． 以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的 判定方法，解决问题． 【题型分析】 通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1 或2 个动点，即可分为“单动 点”类、“双动点”两类问题． 【思路总结】 根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1 基本是不会用的，这里也一样不怎么用， 对比判定2、3 可以发现，都有角相等！ 所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角． 然后再找： 思路1：两相等角的两边对应成比例； 思路2：还存在另一组角相等． 事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可 优先考虑思路1． 一、如何得到相等角？ 二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？ 搞定这两个问题就可以了． 模型介绍 【例1】．如图，抛物线y＝﹣ x2+ x+2 交x 轴于点，B，交y 轴于点，点M 是第一象限 内抛物线上一点，过点M 作M⊥x 轴于点．若△M 与△B 相似，求点M 的横坐标． 解：∵抛物线y＝﹣ x2+ x+2 交x 轴于点，B，交y 轴于点， ∴当y＝0 时，0＝﹣ x2+ x+2， 解得x1＝﹣1，x2＝4， ∴B＝4， 当x＝0 时，y＝2， ∴＝2， ∵点M 是第一象限内抛物线上一点， ∴设M（m，﹣ m2+ m+2）， ∵M⊥x 轴， ∴＝m，M＝﹣ m2+ m+2，∠M＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠B＝∠M， ∵△M 与△B 相似， ∴ 或 ， ∴ ＝ 或 ＝ ， ∴m＝ 或m＝﹣1+ （负值舍去）， 例题精讲 ∴点M 的横坐标为 或﹣1+ ． 变式训练 【变1-1】．如图，在平面直角坐标系内，已知直线y＝x+4 与x 轴、y 轴分别相交于点和 点，抛物线y＝x2+kx+k 1 ﹣图象过点和点，抛物线与x 轴的另一交点是B， （1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B 点坐标； （2）若在y 轴负半轴上存在点D，能使得以、、D 为顶点的三角形与△B 相似，请求出 点D 的坐标． 解：（1）由x＝0 得y＝0+4＝4，则点的坐标为（0，4）； 由y＝0 得x+4＝0，解得x＝﹣4，则点的坐标为（﹣4，0）； 把点（0，4）代入y＝x2+kx+k 1 ﹣，得k 1 ﹣＝4， 解得：k＝5， ∴此抛物线的解析式为y＝x2+5x+4， ∴此抛物线的对称轴为x＝﹣ ＝﹣ ． 令y＝0 得x2+5x+4＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣4， ∴点B 的坐标为（﹣1，0）． （2）∵（﹣4，0），（0，4）， ∴＝＝4， ∴∠＝∠． ∵∠＝90°，B＝1，＝＝4， ∴＝ ＝4 ，B＝﹣B＝4 1 ﹣＝3． ∵点D 在y 轴负半轴上，∴∠D＜∠，即∠D＜90°． 又∵∠B＞∠B，即∠B＞90°，∴∠B＞∠D． ∴由条件“以、、D 为顶点的三角形与△B 相似”可得△D∽△B， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得：D＝ ， ∴D＝D﹣＝ ﹣4＝ ， ∴点D 的坐标为（0，﹣ ）． 【例2】．如图，抛物线y＝x2+bx+与x 轴交于（1，0），B 两点，与y 轴交于点（0， 3）． （1）求该抛物线的表达式； （2）过点B 作x 轴的垂线，在该垂线上取一点P，使得△PB 与△B 相似，请求出点P 的 坐标． 解：（1）把（0，3）代入y＝x2+bx+， 得＝3， ∴y＝x2+bx+3， 把（1，0）代入y＝x2+bx+3， 得1+b+3＝0， 解得b＝﹣4， ∴该抛物线的表达式为y＝x2 4 ﹣x+3． （2）当点P 在点B 上方时，如图1，PB＝B， ∵PB⊥x 轴， ∴∠BP＝90°， 抛物线y＝x2 4 ﹣x+3，当y＝0 时，则x2 4 ﹣x+3＝0， 解得x1＝1，x2＝3， ∴B（3，0）， ∴B＝＝3，PB＝B＝3 1 ﹣＝2， ∵∠B＝90°， ∴∠B＝∠B＝45°， ∴∠PB＝∠B＝45°， ∵ ＝ ＝1， ∴△PB∽△B， 此时点P 的坐标为（3，2）； 如图2，△PB∽△B，且∠BP＝∠B＝45°，∠BP＝∠B， ∴ ＝ ， ∵B2＝B2+2＝32+32＝18，B＝2， ∴BP＝ ＝ ＝9， 此时点P 的坐标为（3，9）； 当点P 在点B 下方时，∠PB＝135°，∠B＝∠+∠＝90°+∠＜135°， 此时△PB 与△B 不相似， 综上所述，点P 的坐标为（3，2）或（3，9）． 变式训练 【变2-1】．如图，抛物线y＝x2+bx+与x 轴交于点（﹣1，0），点B（3，0），与y 轴交 于点，且过点D（2，﹣3）．点P、Q 是抛物线y＝x2+bx+上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P 在直线D 下方时，求△PD 面积的最大值． （3）直线Q 与线段B 相交于点E，当△BE 与△B 相似时，求点Q 的坐标． 解：（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x 3 ﹣），将点D 坐标代入上式并解得：＝1， 故抛物线的表达式为：y＝x2 2 ﹣x 3… ﹣ ①； （2）设点P（m，m2 2 ﹣m 3 ﹣）， ①当点P 在第三象限时， 设直线PD 与y 轴交于点G，设点P（m，m2 2 ﹣m 3 ﹣）， 将点P、D 的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t 并解得： 直线PD 的表达式为：y＝mx 3 2 ﹣﹣m，则G＝3+2m， S△PD＝ ×G（xD﹣xP）＝ （3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+ m+3， ②当点P 在第四象限时， 设PD 交y 轴于点M， 同理可得：S△PD＝ ×M（xD﹣xP）＝﹣m2+ m+3， 综上，S△PD＝﹣m2+ m+3， 1 ∵﹣＜0，故S△PD有最大值，当m＝ 时，其最大值为 ； （3）∵B＝＝3， ∴∠B＝∠B＝45°， ∵∠B＝∠BE，故△BE 与△B 相似时，分为两种情况： ①当∠B＝∠BQ 时， B＝4，B＝3 ，＝ ， 过点作⊥B 于点， S△B＝ ××B＝ B×，解得：＝2 ， 则s∠B＝ ＝ ，则t∠B＝2， 则直线Q 的表达式为：y＝﹣2x…②， 联立①②并解得：x＝ 或﹣ ， 故点Q（ ，﹣2 ）或（﹣ ，2 ）， ②∠B＝∠BQ 时， t∠B＝ ＝3＝t∠BQ， 则点Q（，﹣3）， 则直线Q 的表达式为：y＝﹣3x…③， 联立①③并解得：x＝ ， 故点Q（ ， ）或（ ， ）； 综上，当△BE 与△B 相似时，Q 的坐标为：（ ，﹣2 ）或（﹣ ，2 ）或（ ， ）或（ ， ）． 1．抛物线y＝﹣x2平移后的位置如图所示，点，B 坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），设 平移后的抛物线与y 轴交于点，其顶点为D． （1）求平移后的抛物线的解析式和点D 的坐标； （2）∠B 和∠BD 是否相等？请证明你的结论； （3）点P 在平移后的抛物线的对称轴上，且△DP 与△B 相似，求点P 的坐标． 解：（1）∵将抛物线y＝﹣x2 平移，平移后的抛物线与x 轴交于点（﹣1，0）和点B （3，0）， ∴平移后的抛物线的表达式为y＝﹣（x+1）（x 3 ﹣）＝﹣x2+2x+3，即y＝﹣x2+2x+3， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x 1 ﹣）2+4， ∴顶点D 的坐标为（1，4）； （2）∠B 与∠BD 相等，理由如下： 如图，∵y＝﹣x2+2x+3， ∴点x＝0 时，y＝3，即点坐标为（0，3）， 又∵B（3，0），∠B＝90°， ∴B＝，∠B＝∠B＝45°． 在△BD 中，∵B2＝32+32＝18，D2＝12+12＝2，BD2＝22+42＝20， ∴B2+D2＝BD2， ∴∠BD＝90°， t ∴∠BD＝ ＝ ＝ ， ∵在△中，∠＝90°， t ∴∠＝ ＝ ， t ∴∠＝t∠BD， ∴∠＝∠BD， + ∴∠∠B＝∠BD+∠B， 即∠B＝∠BD； （3）∵点P 在平移后的抛物线的对称轴上，而y＝﹣x2+2x+3 的对称轴为x＝1， ∴可设P 点的坐标为（1，）． ∵△B 是锐角三角形， ∴当△DP 与△B 相似时，△DP 也是锐角三角形， ∴＜4，即点P 只能在点D 的下方， 又∵∠DP＝∠B＝45°， ∴D 与B 是对应点，分两种情况： ①如果△DP∽△B，那么 ＝ ， 即 ＝ ， 解得＝ ， ∴P 点的坐标为（1， ）； ②如果△DP∽△B，那么 ＝ ， 即 ＝ ， 解得＝ ， ∴P 点的坐标为（1， ）． 综上可知P 点的坐标为（1， ）或（1， ）． 2．如图，已知△B 中，∠B＝90°，以B 所在直线为x 轴，过点的直线为y 轴建立平面直角坐 标系．此时，点坐标为（﹣1，0），B 点坐标为（4，0） （1）试求点的坐标； （2）若抛物线y＝x2+bx+过△B 的三个顶点，求抛物线的解析式； （3）点D（1，m）在抛物线上，过点的直线y＝﹣x 1 ﹣交（2）中的抛物线于点E，那 么在x 轴上点B 的左侧是否存在点P，使以P、B、D 为顶点的三角形与△BE 相似？若存 在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由． 解：（1）在Rt△B 中，∠B＝90°，⊥B， 由射影定理，得：2＝•B＝4，即＝2， ∴（0，2）； （2）∵抛物线经过（﹣1，0），B（4，0），（0，2）， 可设抛物线的解析式为y＝（x+1）（x 4 ﹣）（≠0），则有： 2＝（0+1）（0 4 ﹣），＝﹣ ， ∴y＝﹣ （x+1）（x 4 ﹣）＝﹣ x2+ x+2； （3）存在符合条件的P 点，且P（ ，0）或（﹣ ，0）． 根据抛物线的解析式易知：D（1，3）， 联立直线E 和抛物线的解析式有： ， 解得 ， ， ∴E（6，﹣7）， t ∴∠DB＝ ＝1，即∠DB＝45°，t∠EB＝ ＝1，即∠EB＝45°， ∴∠DB＝∠EB， 若以P、B、D 为顶点的三角形与△BE 相似，则有两种情况： ①△PBD∽△BE；②△PBD∽△EB． 易知BD＝3 ，E＝7 ，B＝5， 由①得： ，即 ，即PB＝ ，P＝B﹣PB＝ ， 由②得： ，即 ，即P′B＝ ，P′＝B﹣BP′＝﹣ ， ∴P（ ，0）或（﹣ ，0）． 3．如图已知直线y＝ x+ 与抛物线y＝x2+bx+相交于（﹣1，0），B（4，m）两点，抛物 线y＝x2+bx+交y 轴于点（0，﹣ ），交x 轴正半轴于D 点，抛物线的顶点为M． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P 为直线B 下方的抛物线上一动点，当△PB 的面积最大时，求△PB 的面积及 点P 的坐标； （3）若点Q 为x 轴上一动点，点在抛物线上且位于其对称轴右侧，当△QM 与△MD 相似 时，求点的坐标． 解：（1）将点B（4，m）代入y＝ x+ ， ∴m＝ ， 将点（﹣1，0），B（4， ），（0，﹣ ）代入y＝x2+bx+， 解得＝ ，b＝﹣1，＝﹣ ， ∴函数解析式为y＝ x2﹣x﹣ ； （2）设P（， 2﹣﹣ ）， 则经过点P 且与直线y＝ x+ 垂直的直线解析式为y＝﹣2x+ 2+﹣ ， 直线y＝ x+ 与其垂线的交点G（ 2+ ﹣ ， 2+ + ）， ∴GP＝ （﹣2+3+4）， 当＝ 时，GP 最大，此时△PB 的面积最大， ∴P（ ，﹣ ）， ∵B＝ ，PG＝ ， ∴△PB 的面积＝ × × ＝ ； （3）∵M（1，﹣2），（﹣1，0），D（3，0）， ∴M＝2 ，D＝4，MD＝2 ， ∴△MD 是等腰直角三角形， ∵△QM 与△MD 相似， ∴△QM 是等腰直角三角形， 设（t， t2﹣t﹣ ） ①如图1，当MQ⊥Q 时，（3，0）； ②如图2，当Q⊥M 时，过点作R⊥x 轴，过点M 作MS⊥R 交于点S， ∵Q＝M，∠QM＝90°， ∴△MS≌△MS（S） ∴t 1 ﹣＝﹣ t2+t+ ， ∴t＝± ， ∴t＞1， ∴t＝ ， ∴（ ，1﹣ ）； ③如图3，当Q⊥MQ 时，过点Q 作x 轴的垂线，过点作S∥x 轴，过点M 作MR∥x 轴， 与过Q 点的垂线分别交于点S、R； ∵Q＝MQ，∠MQ＝90°， ∴△MQR≌△QS（S）， ∴SQ＝QR＝2， ∴t+2＝1+ t2﹣t﹣ ， ∴t＝5， ∴（5，6）； ④如图4，当M⊥Q 时，过点M 作MR⊥x 轴，过点Q 作QS⊥x 轴， 过点作x 轴的平行线，与两垂线交于点R、S； ∵Q＝M，∠MQ＝90°， ∴△MR≌△QS（S）， ∴SQ＝R， ∴ t2﹣t﹣ ＝t 1 ﹣， ∴t＝2± ， ∵t＞1， ∴t＝2+ ， ∴（2+ ，1+ ）； 综上所述：（3，0）或（2+ ，1+ ）或（5，6）或（ ，1﹣ ）． 4．如图，已知抛物线 经过△B 的三个顶点，其中点（0，1），点B（﹣9， 10），∥x 轴，点P 是直线下方抛物线上的动点． （1）直接写出：b＝ 2 ，＝ 1 ； （2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线B，分别交于点E，F，当四边形EP 的面积最 大时，求点P 的坐标； （3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线上是否存在点Q，使得以，P，Q 为顶点的三角 形与△B 相似，若存在，直接写出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 解：（1）将点 （0，1），B（﹣9，10）代入 ， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为 ， ∴b＝2，＝1， 故答为：2，1； （2）∵∥x 轴，（0，1）， ∴ ， ∴x1＝﹣6，x2＝0， ∴（﹣6，1）， ∵（0，1），B（﹣9，10）， ∴直线 B 的解析式为 y＝﹣x+1， 设点 ，则 E（m，﹣m+1）， ∴ ， ∵⊥EP，＝6， ∴S 四边形EP＝S△E+S△P ＝ ××EF+ ＝ ××（EF+PF） ＝ ××PE ＝ ×6×（﹣ m2 3 ﹣m） ＝﹣m2 9 ﹣m ＝﹣（m+ ）2+ ， 6 ∵﹣＜m＜0， 当 时，四边形 EP 的面积的最大值是 ， 此时点 ； （3）存在点Q，使得以，P，Q 为顶点的三角形与△B 相似，理由如下： ∵ ， ∴P（﹣3，﹣2）， ∴PF＝yF﹣yP＝3，F＝xF﹣x＝3， ∴PF＝F， ∴∠PF＝45°． 同理可得：∠EF＝45°， ∴∠PF＝∠EF， ∴在直线 上存在满足条件的 Q， 设 Q（t，1）， ∵（0，1），B（﹣9，10）， （﹣6，1）， ∴ ，＝6， ， 以 ，P，Q 为顶点的三角形与△B 相似， ①当△PQ∽△B 时， ∴ ， ∴ ， ∴t＝﹣4， ∴Q（﹣4，1）； ②当△QP∽△B 时， ∴ ， ∴ ， ∴t＝3， ∴Q（3，1）； 综上所述：Q 点坐标为（﹣4，1）或（3，1）． 5．已知抛物线 经过点（﹣2，0），B（0，﹣4），与x 轴交于另一点，连接 B． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，P 是第一象限内抛物线上一点，且S△PB＝S△PB，求直线P 的表达式； （3）在抛物线上是否存在点D，直线BD 交x 轴于点E，使△BE 与以，B，，E 中的三点 为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明 理由． 解：（1）把点（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y＝ x2+bx+中得： ，解得： ， ∴抛物线的解析式为：y＝ x2﹣x 4 ﹣； （2）当y＝0 时， x2﹣x 4 ﹣＝0， 解得：x＝﹣2 或4， ∴（4，0）， 如图1，过作E⊥BP 于E，过作F⊥BP 于F，设PB 交x 轴于G， ∵S△PB＝S△PB， ∴ ， ∴E＝F， 易得△EG≌△FG， ∴G＝G＝2， 设P（x， x2﹣x 4 ﹣），过P 作PM⊥y 轴于M， t∠PBM＝ ＝ ＝ ， ∴BM＝2PM， 4+ ∴ x2﹣x 4 ﹣＝2x， x2 6 ﹣x＝0， x1＝0（舍），x2＝6， ∴P（6，8）， ∴P 的解析式为：y＝x+2， B 的解析式为：y＝x 4 ﹣， ∴P∥B； （3）以，B，，E 中的三点为顶点的三角形有△B、△BE、△E、△BE，四种，其中△BE 重 合，不符合条件，△E 不能构成三角形， ∴当△BE 与以，B，，E 中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△B 和△BE， ①当△BE 与以，B，中的三点为顶点的三角形相似，如图2， ∵∠BE＝∠B，∠BE≠∠B， ∴∠BE＝∠B＝45°， ∴△BE∽△B， ∴ ， ∴ ， ∴E＝ ，E＝ ﹣2＝ ∴E（ ，0）， ∵B（0，﹣4）， ∴BE：y＝3x 4 ﹣， 则 x2﹣x 4 ﹣＝3x 4 ﹣， x1＝0（舍），x2＝8， ∴D（8，20）； ②当△BE 与以B，、E 中的三点为顶点的三角形相似，如图3，此时E 在的左边， ∵∠BE＝∠BE， ∴当∠BE＝∠BE 时，△BE∽△BE， ∴ ＝ ＝ ， 设BE＝2 m，E＝4 m， Rt△BE 中，由勾股定理得：BE2＝E2+B2， ∴ ， 3m2 8 ﹣ m+8＝0， （m 2 ﹣ ）（3m 2 ﹣ ）＝0， m1＝2 ，m2＝ ， ∴E＝4 m 4 ﹣＝12 或 ， ∵E＝ ＜2，∠EB 或∠BE 是钝角，此时△BE 与以B，、E 中的三点为顶点的三角形不相 似，如图4， ∴E（﹣12，0）； 同理得BE 的解析式为：y＝﹣ x 4 ﹣， ﹣ x 4 ﹣＝ x2﹣x 4 ﹣， x＝ 或0（舍） ∴D（ ，﹣ ）； 同理可得E 在的右边时，△BE∽△BE， ∴ ＝ ， 设E＝2 m，BE＝4 m， Rt△BE 中，由勾股定理得：BE2＝E2+B2， ∴ ， 3m2+2 m 5 ﹣＝0， （m+ ）（3m﹣ ）＝0， m1＝﹣ ，m2＝ ， ∴E＝﹣12（舍）或 ， ∵E＝ ＜4，∠BE 是钝角，此时△BE 与以B，、E 中的三点为顶点的三角形不相似， 综上，点D 的坐标为（8，20）或（ ，﹣ 6．如图，已知抛物线y＝x2+bx+6 经过两点（﹣1，0），B（3，0），是抛物线与y 轴的交 点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P（m，）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，直线P 与x 轴交于点 Q，当∠BQ＝∠B 时，求此时P 点坐标； （3）点M 在抛物线上运动，点在y 轴上运动，是否存在点M、点使得∠M＝90°，且△M 与△B 相似，如果存在，请求出点M 和点的坐标． 解：（1）把（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+6 得： ，解得 ， ∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6； （2）由y＝﹣2x2+4x+6 得（0，6）， ∴＝6， 当Q 在x 轴正半轴，如图： ∵∠BQ＝∠B，且∠B＝∠Q，