专题67 反比例函数背景下的全等、相似问题（解析版）(1)

考点1 反比例函数与全等三角形综合问题 【例1】．如图，把一个等腰直角三角形放在平面直角坐标系中，∠B＝90°，点（﹣1， 0），点B 在反比例函数y＝ 的图象上，且y 轴平分∠B，则k 的值是________ 解：如图，过点B 作BD⊥x 轴于D，在上截取E＝，连接E， ∵点（﹣1，0）， ∴＝1， ∴＝E＝1， ∴∠E＝45°，E＝ ， ∵△B 为等腰直角三角形，且∠B＝90°， ∴B＝，∠+∠DB＝90°，∠B＝45°， + ∵∠∠＝90°， ∴∠＝∠BD， 在△和△DB 中 例题精讲 ， ∴△△ ≌DB（S）， ∴＝D，＝BD＝1， ∵y 轴平分∠B， ∴∠＝225°， ∵∠E＝∠E+∠＝45°， ∴∠E＝∠＝225°， ∴E＝E＝ ， ∴＝1+ ＝D， ∴D＝ ， ∴点B 坐标为（ ，﹣1）， ∵点B 在反比例函数y＝ 的图象上， ∴k＝﹣1× ＝﹣ ， 变式训练 【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，Rt△B 的斜边B 在x 轴上，点在y 轴上，∠B＝ 30°，点的坐标为（﹣3，0），将△B 沿直线翻折，点B 的对应点D 恰好落在反比例函数 的图象上，则k 的值为（ ） ． B．﹣2 ．4 D．﹣4 解：如图，过点D 作DE⊥y 轴于点E． 由对称可知D＝B， 易证△DE≌△B（S）， ∴E＝，DE＝B， ∵∠B＝30°，＝3 ∴＝ ＝ ， ∠B＝30°， ∴B＝ ＝1， ∴DE＝B＝1，E＝＝ ，E＝2 ， |k|＝DE•E＝1×2 ＝2 ， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴k＝﹣2 ， 故选：B． 【变1-2】．如图，点是反比例函数y＝ 图象上的一动点，连接并延长交图象的另一支于 点B．在点的运动过程中，若存在点（m，），使得⊥B，＝B，则m，满足_______(填 等量关系） 解：如图，连接，过点作E⊥x 轴于点E，过点作F⊥y 轴于点F， ∵由直线B 与反比例函数y＝ 的对称性可知、B 点关于点对称， ∴＝B． 又∵⊥B，＝B， ∴⊥B，＝ B＝， ∵∠E+∠F＝90°，∠F+∠F＝90°， ∴∠E＝∠F， 又∵∠E＝90°，∠F＝90°， ∴△E≌△F（S）， ∴E＝F，E＝F， ∵点（m，）， ∴F＝﹣m，F＝， ∴E＝﹣m，E＝， ∴（﹣m，）， ∵点是反比例函数y＝ 图象上， ∴﹣m＝4，即m＝﹣4， 考点2 反比例函数与相似三角形综合问题 【例2】．如图，在平面直角坐标系中，四边形BD 的边B 与x 轴的正半轴重合，D∥B， DB⊥x 轴，对角线B，D 交于点M．已知D：B＝2：3，△MD 的面积为4．若反比例函 数y＝ 的图象恰好经过点M，则k 的值为（ ） ． B． ． D．12 解：过点M 作M⊥B 于． ∵D∥B， ∴△DM∽△BM， ∴ ＝（ ）2＝ ， ∵S△DM＝4， ∴S△BM＝9， ∵DB⊥B，M⊥B， ∴M∥DB， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴＝ B， ∴S△M＝ ×S△BM＝ ， ∵ ＝ ， ∴k＝ ， 故选：B． 变式训练 【变2-1】．如图，已知第一象限内的点在反比例函数y＝ 上，第二象限的点B 在反比例 函数y＝ 上，且⊥B， ＝ ，则k 的值为（ ） ． B．﹣ ．﹣ D．﹣3 解：作⊥x 轴于点，作BD⊥x 轴于点D． 则∠BD＝∠＝90°， 则∠BD+∠BD＝90°， ∵⊥B， ∴∠BD+∠＝90°， ∴∠BD＝∠， ∴△BD∽△， ∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ， 又∵S△＝ ×4＝2， ∴S△BD＝ ， ∴k＝﹣ ． 故选：B． 【变2-2】．如图，Rt△B 的直角边B 在x 轴正半轴上，斜边边上的中线BD 反向延长线交 y 轴负半轴于E，双曲线 的图象经过点，若S△BE＝8，则k 等于（ ） ．8 B．16 ．24 D．28 解：∵BD 为Rt△B 的斜边上的中线， ∴BD＝D，∠DB＝∠B， 又∠DB＝∠EB，∴∠EB＝∠B， 又∠BE＝∠B＝90°， ∴△BE∽△B， ∴ ＝ ，即B×E＝B×B． 又∵S△BE＝8，即B×E＝2×8＝16＝B×B＝|k|． 又由于反比例函数图象在第一象限，k＞0． 所以k 等于16． 故选：B． 【变2-3】．如图，在等腰△B 中，＝B，顶点为反比例函数y＝ （x＞0）图象上一点，点 B 在x 轴的正半轴上，过点B 作B⊥B，交反比例函数y＝ 的图象上于点，连接交B 于 点D，若△BD 的面积为2，则k 的值为（ ） ．18 B．20 ．22 D．21 解：如图，过点作F⊥B 交x 轴于F，交于点E， ∵＝B，F⊥B， ∴F＝FB＝ B， ∵B⊥B， ∴F∥B， ∴△DE∽△BD， ， ∴B＝2EF， 设F＝，则B＝2， ∴（， ），（2， ）， ∴F＝ ，B＝ ， ∴F＝2B＝4EF，E＝F﹣EF＝3EF， ∵△DE∽△BD， ∴ ， ∴ ＝（ ）2＝ ， ∵△BD 的面积为2， ∴S△DE＝ ， ∴ ＝ ， ∵ ＝ ， ∴E＝E， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴S△E＝ ， ∵ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ∴S△F＝ S△E＝ × ＝10， ∴ |k|＝10， ∵k＞0， ∴k＝20． 故选：B． 1．如图，B⊥x 轴，B 为垂足，双曲线y＝ （x＞0）与△B 的两条边，B 分别相交于，D 两 点，＝ ，且△B 的面积为3，则k 等于（ ） ．4 B．2 ．3 D．1 解：连接B，过点作M⊥B 于M， ∵＝ ，即 ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， 又∵△B 的面积为3， ∴S△B＝ ， 又∵M∥B， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ∴S△M＝ S△B＝ ＝ |k|， ∵k＞0， ∴k＝1， 故选：D． 2．如图，在△B 中，B＝，点在反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上，点B，在x 轴 上，＝ B，延长交y 轴于点D，连接BD，若△BD 的面积等于1，则k 的值为（ ） ．3 B．2 ． D．4 解：作E⊥B 于E，连接， ∵B＝， ∴E＝BE， ∵＝ B， ∴＝ B＝ ×2E＝ E， ∵E∥D， ∴△D∽△E， ∴ ＝（ ）2＝4， ∵△BD 的面积等于1，＝ B， ∴S△D＝ S△BD＝ ， ∴S△E＝4× ＝1， ∵＝ E， ∴S△＝ S△E＝ ， ∴S△E＝ +1＝ ， ∵S△E＝ k（k＞0）， ∴k＝3， 故选：． 3．如图所示，Rt△B 中，∠B＝90°，顶点，B 分别在反比例函数y＝ （x＞0）与y＝﹣ （x＜0）的图象上，则t∠B 的值为（ ） ． B． ． D． 解：作⊥x 轴于，BD⊥x 轴于D，如图， ∵顶点，B 分别在反比例函数y＝ （x＞0）与y＝﹣ （x＜0）的图象上， ∴S△＝ ×|1|＝ ，S△BD＝ ×| 5| ﹣＝ ， ∵∠B＝90°， ∴∠BD+∠＝90°， + ∵∠∠＝90°， ∴∠＝∠BD， 而∠＝∠BD， ∴△∽△BD， ∴ ＝（ ）2＝ ＝ ， ∴ ＝ ， 在Rt△B 中，t∠B＝ ＝ ， 故选：B． 4．如图，函数y＝﹣ （x＜0）的图象经过Rt△B 斜边B 的中点D，与直角边B 相交于， 连接D．若D＝3，则△B 的周长为（ ） ．12 B．6+ ．6+2 D．6+2 解：如图，过点D 作DE⊥于E， ∵点D 是B 的中点， ∴D＝BD＝D＝3， ∴B＝6， ∵DE⊥，B⊥， ∴B∥DE， ∴ ， ∴B＝2DE，＝2E， ∵S△DE＝ DE×E＝ ， ∴S△B＝ B×＝2， ∵B2+2＝B2＝36， ∴（B+）2＝36+8， ∴B+＝2 ， ∴△B 的周长＝+B+B＝6+2 ， 故选：D． 5．如图，长方形BD 的顶点、B 均在y 轴的正半轴上，点在反比例函数y＝ （x＞0）的图 象上，对角线DB 的延长线交x 轴于点E，连接E，已知S△BE＝1，则k 的值是（ ） ．1 B． ．2 D．4 解：延长D 与x 轴交于点F， ∵BD 是矩形， ∴D＝B，D∥B∥E， ∴△BD∽△BE， ∴ ＝ ， 即：D•B＝B•E， 又∵S△BE＝1＝ B•E， ∴D•B＝B•E＝2＝B•B， 即：S 矩形BF＝B•B＝2＝|k|， ∴k＝2 或k＝﹣2（舍去）， 故选：． 6．如图，直线y＝x+2 与反比例函数y＝ 的图象在第一象限交于点P，若P＝ ，则k 的值为 3 ． 解：设点P（m，m+2）， ∵P＝ ， ∴ ＝ ， 解得m1＝1，m2＝﹣3（不合题意舍去）， ∴点P（1，3）， 3 ∴＝ ， 解得k＝3． 故答为：3． 7．已知一次函数y＝2x+4 的图象分别交x 轴、y 轴于、B 两点，若这个一次函数的图象与 一个反比例函数的图象在第一象限交于点，且B＝2B，则这个反比例函数的表达式为 y ＝ ． 解：∵一次函数y＝2x+4 的图象分别交x 轴、y 轴于、B 两点， ∴（﹣2，0），B（0，4）， 过作D⊥x 轴于D， ∴B∥D， ∴△B∽△D， ∴ ＝ ＝ ， ∴D＝6，D＝3， ∴D＝1， ∴（1，6）， 设反比例函数的解析式为y＝ ， ∴k＝6， ∴反比例函数的解析式为y＝ ． 故答为：y＝ ． 8．在平面直角坐标系xy 中，点，B 在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，且点与点B 关 于直线y＝x 对称，为B 的中点，若B＝4，则线段的长为 2 ． 解：设（t， ）， ∵点与点B 关于直线y＝x 对称， ∴B（ ，t）， ∵B＝4， ∴（t﹣ ）2+（ ﹣t）2＝42， 即t﹣ ＝2 或t﹣ ＝﹣2 ， 解方程t﹣ ＝﹣2 ，得t＝﹣ ﹣2（由于点在第一象限，所以舍去）或t＝﹣ +2， 经检验，t＝﹣ +2，符合题意， ∴（﹣ +2， +2），B（ +2，﹣ +2）， ∵为B 的中点， ∴（2，2）， ∴＝ ＝2 ． 故答为2 ． 9．如图，△M 是边长为10 的等边三角形，反比例函数y＝ （x＞0）的图象与边M、M 分 别交于点、B（点B 不与点M 重合）．若B⊥M 于点B，则k 的值为 9 ． 解：过点B 作B⊥x 轴于点，过点作D⊥x 轴于点D，如图， ∵△M 是边长为10 的等边三角形， ∴M＝＝M＝10，∠M＝∠M＝∠M＝60° 设＝b，则B＝ ，B＝2b， ∴BM＝M﹣B＝10 2 ﹣b，B（b， b）， ∵∠M＝60°，B⊥M， ∴M＝2BM＝20 4 ﹣b， ∴＝M﹣M＝10﹣（20 4 ﹣b）＝4b 10 ﹣ ， ∵∠D＝60°， ∴D＝ ＝2b 5 ﹣，D＝ ＝2 b 5 ﹣ ， ∴D＝﹣D＝15 2 ﹣b， ∴（15 2 ﹣b，2 b 5 ﹣ ）， ∵、B 两点都在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上， ∴k＝（15 2 ﹣b）（2 b 5 ﹣ ）＝b• b， 解得b＝3 或5， 当b＝5 时，B＝2b＝10，此时B 与M 重合，不符题意，舍去， ∴b＝3， ∴k＝b• b＝9 ， 故答为：9 ． 10．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，（0，﹣3），D＝3D，点在反比例函数y＝ 图象上， 且y 轴平分∠B，求k＝ ． 解：过作E⊥x 轴，垂足为E， ∵（0，﹣3）， ∴＝3， ∵∠ED＝∠D＝90°，∠DE＝∠D ∴△DE∽△D， ∴ ， ∴E＝1； 又∵y 轴平分∠B，⊥BD， ∴B＝D， ∵∠B＝90°， ∴∠D＝∠DE＝∠BE， ∴△BE∽△D， ∴ 设DE＝，则B＝D＝3，BE＝7， ∴ ， ∴＝ ∴E＝4＝ ∴（ ，1） ∴k＝ ． 故答为： ． 11．如图，矩形B 的两边落在坐标轴上，反比例函数y＝ 的图象在第一象限的分支过B 的 中点D 交B 于点E，连接E，若△E 的面积为12，则k＝ 12 ． 解：如图，过点D、E 分别作x 轴的垂线，垂足分别为F、G， 则S△B＝S 矩形DF＝2S△EG＝k， 又∵EG∥B， ∴△EG∽△B， ∴ ＝（ ）2＝2， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴k＝12 ． 故答为12 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，∠B＝60°，∠B＝90°，反比例函数y1＝ 的图象经过点， 反比例函数y2＝﹣ 的图象经过点B，则m 的值为 1 ． 解：作B⊥x 轴，垂足为，M⊥y 轴，垂足为M， ∵∠B＝60°，∠B＝90°， ∴△B∽△M， ∴ ， 令M＝，则B＝ ， 代入反比例函数y2＝﹣ 得：x＝ ， ∴＝ ，得：M＝ ， ∴ ， 又∵M•M＝m， ∴m＝1． 故答为1． 13．如图，线段与函数y＝ （x＞0）的图象交于点B，且B＝2B，点也在函数y＝ （x＞ 0）图象上，连结并延长交x 轴正半轴于点D，且＝3D，连结B，若△BD 的面积为3，则 k 的值为 ． 解：如图，分别过点，B，作x 轴的垂线，垂足分别为M，E，F． ∴BE∥F∥M， ∴B：＝BE：M＝E：M＝1：3， D：D＝DF：DM＝F：M＝1：4， 设点B 的坐标为（，b）， ∴E＝，BE＝b， ∴M＝3BE＝3b，M＝3E＝3， ∴F＝ M＝ b， ∴（ ， b）， ∴F＝ ， ∴FM＝M﹣F＝ ， ∴DF＝ FM＝ ， ∴D＝M﹣DF﹣FM＝ ． ∵△BD 的面积为3， ∴△B 的面积＝3×△BD 的面积＝9， ∴△BD 的面积＝12． ∴△BD 的面积＝ ×△BD 的面积＝6． ∴ •D•BE＝ ×b＝6． 解得k＝b＝ ． 故答为： ． 14．如图，在平面直角坐标系中，点、B 在函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上，过点作x 轴的垂线，与函数y＝﹣ （x＞0）的图象交于点，连接B 交x 轴于点D．若点的横坐 标为1，B＝3BD，则点B 的横坐标为 2 ． 解：作BE⊥x 轴于E， ∴∥BE， ∴△DF∽△BDE， ∴ ＝ ＝ ， ∵B＝3BD， ∴ ＝ ＝ ， ∴F＝2BE，DF＝2DE， 设B（ ，b）， ∴（1，﹣2b）， ∵函数y＝﹣ （x＞0）的图象交于点， ∴﹣k＝1×（﹣2b）＝﹣2b， ∴k＝2b， ∴B 的横坐标为 ＝ ＝2， 故答为：2． 15．如图，在△B 中，边B 在x 轴上，边交y 轴于点E．反比例函数y＝ （x＞0）的图象恰 好经过点，与边B 交于点D．若E＝E，D＝2BD，S△B＝6，则k＝ ． 解：如图，作M⊥B 于点M，D⊥B 于点， 设（m， ）， 则M＝m，M＝ ， ∵E∥M，E＝E， ∴ ＝ ＝1， ∴＝m， ∵D∥M，D＝2BD， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴D＝ ， ∴D 的纵坐标为 ， ∴ ＝ ， ∴x＝3m， 即＝3m， ∴M＝2m， ∴B＝m， ∴B＝5m， ∵S△B＝6， 5 ∴m• ＝6， ∴k＝ ． 故答为： ． 16．如图，为反比例函数 （其中x＞0）图象上的一点，在x 轴正半轴上有一点B，B ＝4．连接，B，且＝B＝2 ．过点B 作B⊥B，交反比例函数 （其中x＞0）的图 象于点，连接交B 于点D，则 的值为 ． 解：过点作⊥x 轴，垂足为点，交于点M，如图所示． ∵＝B，⊥B， ∴＝B＝ B＝2， ∴＝ ＝ ＝6， ∴点的坐标为（2，6）． ∵为反比例函数 （其中x＞0）图象上的一点， ∴k＝2×6＝12． ∵B⊥x 轴，B＝4，点在反比例函数y＝ 上， ∴B＝3． ∵∥B，＝B， ∴M＝ B＝ ， ∴M＝﹣M＝ ． ∵M∥B， ∴△DM∽△BD， ∴ ， 故答为 ． 17．如图，已知菱形BD 的对角线相交于坐标原点，四个顶点分别在双曲线y＝ 和y＝ （k＜0）上， ＝ ，平行于x 轴的直线与两双曲线分别交于点E，F，连接E，F，则 △EF 的面积为 ． 解：作M⊥x 轴于M，D⊥x 轴于， ∵四边形BD 是菱形， ∴⊥BD， ∴∠M+∠D＝∠D+D＝90°， ∴∠M＝∠D， ∵∠M＝∠D＝90°， ∴△M∽△D， ∴ ＝（ ）2， ∵点在双曲线y＝ ， ＝ ， ∴S△M＝ ×4＝2， ＝ ， ∴ ＝（ ）2， ∴S△D＝ ， ∵D 点在双曲线y＝ （k＜0）上， ∴ |k|＝ ， ∴k＝﹣9， ∵平行于x 轴的直线与两双曲线分别交于点E，F， ∴S△EF＝ + ＝ ， 故答为 ． 18．如图，已知直线l：y＝﹣x+4 分别与x 轴、y 轴交于点，B，双曲线 （k＞0，x＞ 0）与直线l 不相交，E 为双曲线上一动点，过点E 作EG⊥x 轴于点G，EF⊥y 轴于点 F，分别与直线l 交于点，D，且∠D＝45°，则k＝ 8 ． 解：点、B 的坐标分别为（4，0）、（0，4）， 即：＝B，∴∠B＝45°＝∠D， ∠D＝∠D，∴△D∽△D， ∴D2＝D•D， 设点E（m，），则点D（4﹣，），点（m，4﹣m）， 则D2＝（4﹣）2+2＝22 8+16 ﹣ ， D＝ （m+ 4 ﹣），D＝ ， 即22 8+16 ﹣ ＝ （m+ 4 ﹣）× ， 解得：m＝8＝k， 故答为8． 19．如图，平行四边形BD 的顶点在y 轴正半轴上，D 平行于x 轴，直线交x 轴于点E， B⊥，连接BE，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点D，已知S△BE＝2，则k 的值是 4 ． 解：（解法一）过点D 作DF⊥x 轴于点F，如图所示． ∵四边形BD 是平行四边形， ∴B∥D，B＝D． 又∵B⊥， ∴D⊥． ∵D 平行于x 轴， ∴∠D＝∠E． ∵⊥E，D⊥， ∴∠E＝∠D． 设点D 的坐标为（m， ）（m＞0）， 则D＝m，＝DF＝ ． 在Rt△D 中，D＝m，∠D＝90°，D＝m•s∠D． 在Rt△E 中，＝ ，∠E＝90°，E＝ ＝ ． S△BE＝ E•B＝ •m•s∠D＝ k＝2， 解得：k＝4； （解法二）设点D 的坐标为（m，）（m＞0，＞0），则D＝m，＝， ∵D∥x 轴， ∴∠D＝∠E． ∵四边形BD 为平行四边形，B⊥， ∴D⊥，D＝B， ∴∠D＝∠E＝90°， ∴△E∽△D， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴m＝B•E． ∵S△BE＝ B•E＝2， ∴m＝2S△BE＝4． ∵点D 在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上， ∴k＝m＝4． 故答为：4． 20．如图，为反比例函数y＝ （其中x＞0）图象上的一点，在x 轴正半轴上有一点B，B ＝4．连接，B，且＝B．过点B 作B⊥B，交反比例函数y＝ （其中x＞0）的图象于点， 连接交B 于点D，则 的值为 ． 解：过点作⊥x 轴，垂足为，交于点M，如图， ∵＝B，⊥B， ∴＝B＝ B＝ ×4＝2， （2， ），（4， ）， ∵∥B， ∴M＝ B＝ ， ∴M＝