专题04 平面直角坐标系的两种压轴题全攻略（教师版）

专题04 平面直角坐标系的两种压轴题全攻 略 类型一、规律性问题 例．如图，动点 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点 运动到 点 ，第二次运动到点 ，第三次运动到 ， ，按这样的运动规律，第 2021 次运动后，动点 的纵坐标是( ) ．1 B．2 ． D．0 【答】B 【详解】解：观察图象，结合第一次从原点 运动到点 ，第二次运动到点 ， 第三次运动到 ， ，运动后的点的坐标特点， 由图象可得纵坐标每6 运动组成一个循环： ， ， ， ， ， ， 经过第2021 次运动后，动点 的坐标与 坐标相同，为 ， 故经过第2021 次运动后，动点 的纵坐标是2．故选：B． 【变式训练1】如图，已知点 (1，0)， (1，1)， (－1，1)， (－1，－1)， (2，－ 1)，…，则点 的坐标为( ) ．(506，506) B．(506，－505) ．(－505，－505) D．(－505，505) 【答】B 【详解】解：通过观察可得数字是4 的倍数的点在第三象限，数字是4 的倍数余1 的点在 第四象限，数字是4 的倍数余2 的点在第一象限，数字是4 的倍数的点在第二象限，且各 个点分别位于象限的角平分线上(1和第四象限内的点除外)， 2021÷4 ∵ ＝505…1，∴点2021在第四象限，点2020在第三象限， ∵ =505，∴2020是第三象限的第505 个点， ∴2020的坐标为(−505，−505)， ∴点2021的坐标为 (506，-505)． 故选：B． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中xy 中，已知点的坐标是(0，2)，以为边在右侧 作等边三角形1，过点1作x 轴的垂线，垂足为点1，以11为边在右侧作等边三角形112，再过 点2作x 轴的垂线，垂足为点2，以22为边在右侧作等边三角形223，……，按此规律继续作下 去，得到等边三角形202020202021，则点2023的纵坐标为( ) ．( )2021 B．( )2022 ．( )2023 D．( )2024 【答】B 【详解】解：∵三角形1是等边三角形，∴1==2，∠1=60°，∴∠11=30°． 在直角△11中，∵∠11=90°，∠11=30°，∴11= 1=1，即点1的纵坐标为1， 同理，22= 12=( )1，33= 23=( )2，即点2的纵坐标为( )1， 点3的纵坐标为( )2， … ∴点2023的纵坐标为( )2022． 故选：B． 【变式训练3】如图，等边三角形B 的边长为1，顶点B 与原点重合，过点B 作M1⊥于点 1，过点1，作1B1∥，交于点B1；过点B1作B12⊥于点2，过点2作2B2∥，交于点B2；…按着这 个规律进行下去，点2021的坐标是 _____． 【答】 【详解】解：如图，连接 由题意知 是等边三角形 的高线， ， ； 是等边三角形 的 高线， ， ； 是等边三角形 的高线， ， ； ∴ ， ， 根据横坐标依次为 ， ， 可得出一般性规律即 的横坐标为 ； 根据纵坐标依次为 ， ， 可得出一般性规律即 的纵坐标为 ； ∴ 的坐标为 ，∴ 的坐标为 故答为： ． 【变式训练4】正方形1B11，2B221，3B332…按如图所示的方式放置，点1、2、3…和点1、2、3… 分别在直线y=kx+b(k＞0)和x 轴上，已知B1(1，1)，B2(3，2)，则B5的坐标是___________． 【答】(31，16) 【详解】解：∵点B1、B2的坐标分别为(1，1)，(3，2)，∴1(0，1)，2(1，2)， ∵点1，2在直线y=kx+b 上，∴ ，解得： ，∴y=x+1， ∵点B2的坐标为(3，2)，∴点3的坐标为(3，4)，点B3的坐标为(7，4)， ∴点4的坐标为(7，8)，点B4坐标为(15，8)，…， ∴B 的横坐标是：2-1，纵坐标是：2-1，即B 的坐标是(2-1，2-1)， ∴B5 的坐标是(25-1，24)，即B5 的坐标是(31，16)，故答为：(31，16)． 类型二、坐标与几何图形综合 例．如图，在平面直角坐标系中，△B 的顶点都在格点上，如果将△B 先沿y 轴翻折，再向 上平移2 个单位长度，得到 ，那么点B 的对应点 的坐标为( ) ． B． ． D． 【答】 【详解】解：根据题意：作图如下， ∴点B 的对应点 的坐标为 ． 故选：． 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，△B 的顶点都在方格线的格点上，将三角形B 绕点P 旋转90°，得到△′B′′，则点P 的坐标为( ) ．(0，4) B．(1，1) ．(1，2) D．(2，1) 【答】 【详解】解：选两组对应点，连接后作其中垂线，两中垂线的交点即为点P，由图知，旋 转中心P 的坐标为(1，2) 故选：． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，点，B 的坐标分别为(-1，0)，(3，0)，现同时 将点，B 分别向上平移2 个单位，再向右平移1 个单位，分别得到点，B 的对应点，D，则 D 的坐标为_______，连接，BD．在y 轴上存在一点P，连接P，PB，使 S 四边形 BD，则点P 的坐标为_______． 【答】 (4，2) (0，4)或(0，-4) 【详解】解：由题意得点D 是点B(3，0)先向上平移2 个单位，再向右平移1 个单位的对应 点， ∴点D 的坐标为(4，2)； 同理可得点的坐标为(0，2)，∴=2， (-1 ∵ ，0)，B(3，0)，∴B=4，∴ ， 设点P 到B 的距离为，∴S△PB= ×B×=2， ∵S△PB=S 四边形BD，得2=8，解得=4， ∵P 在y 轴上，∴P=4，∴P(0，4)或(0，-4)． 故答为：(4，2)；(0，4)或(0，-4)． 【变式训练3】作图题(不写作法)已知：如图，在平面直角坐标系中． (1)作出△B 关于y 轴对称的△1B11，并写出△1B11三个顶点的坐标：1( )，B1( )，1( )； (2)直接写出△B 的面积为 ； (3)在x 轴上画点P，使P+P 最小． 【答】(1)-1，2；-3，1；-4，3；(2) ；(3)作图见详解 (1)解：关于y 轴对称的点的坐标特征为，纵坐标相同横坐标互为相反数， ∵ ， ， ，∴ ， ， ，故答为：-1，2；-3， 1；-4，3； (2)△B 的面积为长方形面积减去三块三角形面积， 故 ，故答为： ． (3)解：如图作点关于x 轴的对称点 ，连接与 ，与x 轴交点为P， 如图所示，点P 即为所求作点． 【变式训练4】如图， ， ，且 ， ，求点的坐标． 【答】点的坐标为( , ) 【详解】解：作M⊥x 轴于M，B⊥M 于, ∵∠B=90°，∴∠MB+ =90° ∠ ， ∵∠MB+∠B=90°，∴∠B=∠M， 在△B 和△M 中， ，∴△B≌△M(S)，∴M=B，=M， ∵ ， ，设M=，则M=5-，B=M=3+，∴M=M-， 5=3+-(5-)，∴= ，∴M= ，M= ，∴点的坐标为( , )． 课后练习 1．如图，在平面直角坐标系中，第1 次将边长为1 的正方形 B 绕点逆时针旋转45°后，得 到正方形1B11；第2 次将正方形1B11绕点逆时针旋转45°后，得到正方形2B22…按此规律，绕 点 旋转得到正方形 2020B20202020，则点 B2021的坐标为______． 【答】 【详解】解：∵四边形B 是正方形，且=1， ∴B(1，1)； 连接B，由勾股定理得：B= ，由旋转得：B= B = B =B =…= ； ∵将正方形B 绕点逆时针旋转45°后得到正方形1B11，相当于将线段B 绕点逆时针旋转 45°，依次得到∠B=∠B B =∠B B =…=45°， ∴B (0， )，B (-1，1)，B (- ，0)，B (-1，-1)，B (0，- )，B (1，-1)，B ( ， 0)，B(1，1)，…，发现是8 次一循环， 2021÷8=252… ∵ 余5， ∴点B 的坐标与点B 的坐标相同， ∴点B 的坐标为 ． 故答为： ． 2．如图，若三角形 是由三角形 平移后得到的，且三角形 中任意一点 经过平移后的对应点为 ， ， ， ． (1)画出三角形 ； (2)写出点 的坐标 ； (3)直接写出三角形 的面积 ； (4)点 在 轴上，若三角形 的面积为6，直接写出点 的坐标 ． 【答】(1)见解析；(2) ；(3)25；(4) 或 【解析】(1)如图，画出三角形 即为所求． (2)点 的坐标 ．故答为： ； (3)直接写出三角形 的面积 ，故答为：25． (4)设 ，则有 ，解得 ， 或 ．故答为： 或 ． 3 如图，在平面直角坐标系中，描出点 、 、 ． (1)在平面直角坐标系中画出 ，则 的面积是 ； (2)若点D 与点关于y 轴对称，则点D 的坐标为 ； (3)求线段的长； (4)已知P 为x 轴上一点，若 的面积为4，求点 的坐标． 【答】(1)画图见解析，4；(2)(-4，3)；(3)5；(4)(10，0)或(-6，0) 【解析】(1)解：如图所示，△B 即为所求； ，故答为：4； (2) 解：∵点D 与点关于y 轴对称，点的坐标为(4，3)，∴点D 的坐标为(-4，3)， 故答为：(-4，3)； (3) 解：连接， 过点作 轴于点D，则 ． ， ， ， 在 中， ， ， ， ， (4)解：∵ 为x 轴上一点，∴可设P 点坐标为(m，0)，∴ ， ∵ 的面积为4，∴ ∴ 或 ，∴ 或 ， ∴P 点坐标为(10，0)或(-6，0)．