期中考试压轴题考点训练1（教师版）

期中考试压轴题考点训练(一) 1．如图，将 沿 翻折，使其顶点 均落在点 处，若 ， 则 的度数为( ) ． B． ． D． 【答】B 【详解】解：延长 交 于点 ，∵将 沿 ， 翻折，顶点 ， 均落在点 处， ∴ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ， 由三角形外角定理可知： ， ， ∴ ，即： ， ∴ ，∴ ， 故选： ． 2．如图，点D，E 分别是△B 边B，上一点，BD＝2D，E＝E，连接D，BE 交于点F，若 △B 的面积为18，则△BDF 与△EF 的面积之差S△BDF S ﹣△EF 等于( ) ．3 B． ． D．6 【答】 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ①， 同理，∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ②， 由①-②得： ． 故选：． 3．如图，点 在线段 上， 于 ， 于 ． ，且 ， ，点 以 的速度沿 向终点 运动，同时点 以 的速度从 开始，在线段 上往返运动(即沿 运动)，当点 到达终点时， ， 同时停止运动．过 ， 分别作 的垂线，垂足为 ， ．设运动时间为 ，当以 ， ， 为顶点的三角形与 全等时，的值为( ) ．1 或3 B．1 或 ．1 或 或 D．1 或 或5 【答】 【详解】解：当点P 在上，点Q 在E 上时， ∵以P，，M 为顶点的三角形与△Q 全等， ∴P＝Q，∴5−2t＝6−3t，∴t＝1， 当点P 在上，点Q 第一次从点返回时， ∵以P，，M 为顶点的三角形与△Q 全等， ∴P＝Q，∴5−2t＝3t−6， ∴t＝ ， 当点P 在E 上，点Q 第一次从E 点返回时， ∵以P，，M 为顶点的三角形与△Q 全等， ∴P＝Q，∴2t−5＝18−3t， ∴t＝ 综上所述：t 的值为1 或或 或 故选：． 4．如图，在△B 中，D 是△B 的角平分线，点E、F 分别是D、B 上的动点，若∠B＝50°，当 BE+EF 的值最小时，∠EB 的度数为( ) ．105° B．115° ．120° D．130° 【答】B 【详解】解：过点B 作BB′⊥D 于点G，交于点B′，过点B′作B′F′⊥B 于点F′，与D 交于点 E′，连接BE′，如图： 此时BE+EF 最小． ∵D 是△B 的角平分线，∠B＝50°， ∴∠BD＝∠B′D＝25°， ∵BB′⊥D，∴∠GB＝∠GB′＝90°， 在△BG 和△B′G 中， ， ∴△BG≌△B′G(S)，∴BG＝B′G， B＝B′，∴D 垂直平分BB′，∴BE＝BE′， 在△BE′和△B′E′中， ， ∴△BE′ △ ≌B′E (SSS) ′ ，∴∠E′B＝E′B′， ∵E′B′＝∠BD+ F′E′＝25°+90°=115°，∴∠E′B＝115°． 即当BE+EF 的值最小时，∠EB 的度数为115°． 故选B． 5．将长为2、宽为(大于1 且小于2)的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一 个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式 折叠并压平，剪下个边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下 去…，若在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当＝3 时，的值为( ) ．18 或15 B．15 或12 ．15 D．12 【答】B 【详解】解：第1 次操作，剪下的正方形边长为，剩下的长方形的长宽分别为、2﹣，由1 ＜＜2，得＞2﹣；第2 次操作，剪下的正方形边长为2﹣，所以剩下的长方形的两边分别 为2﹣、﹣(2 ) ﹣＝2 2 ﹣， ①当2 2 ﹣＜2﹣，即＜ 时， 则第3 次操作时，剪下的正方形边长为2 2 ﹣，剩下的长方形的两边分别为2 2 ﹣、(2 ) (2 ﹣﹣ 2) ﹣ ＝4 3 ﹣，则2 2 ﹣＝4 3 ﹣，解得＝12； ②2 2 ﹣＞2﹣，即＞ 时 则第3 次操作时，剪下的正方形边长为2﹣，剩下的长方形的两边分别为2﹣、(2 2) (2 ﹣ ﹣ ) ﹣＝3 4 ﹣，则2﹣＝3 4 ﹣，解得＝15． 故选：B． 6．如图，图1 是长方形纸带，将纸带沿 折叠成图2，再沿 折叠成图3，若图3 中 ，则图1 中的 的度数是______． 【答】24° 【详解】∵ ， ∴设∠DEF＝∠EFB＝， 图2 中，∠GF＝∠BGD＝∠EG＝180°﹣2∠DEF＝180°﹣2， 图3 中，∠FE＝∠GF ∠ ﹣ EFG＝180°﹣2﹣＝108°． 解得＝24°． 即∠DEF＝24°， 故答为：24°． 7．如图，在等腰 中， ， 于点 ，以 为边作等边三 角形 ， 与 在直线 的异侧，直线 交直线 于点 ，连接 交 于点 ．若 ， ，则 ______． 【答】6 【详解】解：如图1，∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴直线 垂直平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴在等边三角形 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵在等边三角形 中， ， ∴ ； 在 上截取 ，使 ，连接 ， ∵ ， ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ， ∵ 为等边三角形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，即 ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答为：6． 8．如图，在△B 中，D⊥B 于点D，过作E B，且E＝B，B 上有一点F，连接EF．若EF ＝，D＝4BD，则 ＝_____． 【答】 【详解】解：如图，在D 上取一点G，使GD=BD，连接G，作E⊥B 交B 的延长线于点， ∵D⊥B 于点D， ∴G=B，∠=∠DG=90° ∴∠GD=∠B， ∵E//B， ∴∠E=∠B， ∴∠E=∠GD， ∵E=B， ∴E=G， 在△E 和△GD 中， ， ∴△E≌△GD(S)， ∴E=D，=GD， 在Rt△EF 和Rt△D 中， ， ∴Rt△EF≌Rt△D(L)， ∴F=D， ∴F-=D-GD， ∴F=G， ∴ ， ∴S△EF=S△G， 设GD=BD=m，则D=4BD=4m， ∴G=4m-m=3m，B=4m+m=5m， ∴ ， ∴ ， 故答为： ． 9．如图1 六边形的内角和 为 度，如图2 六边形的内角和 为 度，则 ________． 【答】0 【详解】如图1 所示，将原六边形分成了两个三角形和一个四边形， ∴ =180°×2+360°=720° 如图2 所示，将原六边形分成了四个三角形 ∴ =180°×4=720° m-=0 ∴ 故答为0 10．在 中，已知点D、E、F 分别是边E、BF、D 上的中点，若 的面积是14， 则 的面积为_________． 【答】2 【详解】解：如图，连接 ， ， ， ∵点 是 的中点，点 是 的中点， ∴ 是 的中线， 是 的中线， ∴ ， ， ∴ ； 同理可得 ； ； ∴ ， ∵ ， ， ∴ ，解得 ， 11．如图1，在等边三角形 中， 于 于 与 相交于点 ． (1)求证： ； (2)如图2，若点 是线段 上一点， 平分 交 所在直线于点 ．求证： ． (3)如图3，若点 是线段 上一点(不与点 重合)，连接 ，在 下方作 边 交 所在直线于点 ．猜想： 三条线段之间的数量关系，并证明． 【答】(1)见解析；(2)见解析；(3)F=G+，理由见解析 【详解】解：(1)证明：∵△B 为等边三角形， ∴B=B=，∠B=∠B=60°， ∵D⊥B，E⊥B， ∴D 平分∠B，E 平分∠B， = ∴∠∠B= = ∠∠B=30°， = ∴， 在Rt△D 中，∠D=90°，∠D=30°， =2 ∴ D， =2 ∴ D； (2)证明：∵B==B，D⊥B， ∴BD=D， ∴BG=G， ∴∠GB=∠GB， ∵G 平分∠BE， ∴∠FG=∠BG= ∠BF=15°， ∴∠BG=150°， ∵∠BGF=60°， ∴∠FG=360°-∠BG-∠BGF=150°， ∴∠BG=∠FG， 在△GB 和△GF 中， ， ∴△GB≌△GF(S)， ∴GB=GF； (3)解：F=G+．理由如下： 连接B，在F 上截取M=G，连接GM， = ∵B，E⊥B， ∴E=BE， = ∴B， ∴∠B=∠B=30°， ∴∠B=120°，∠M=∠BM=60°， ∵M=G， ∴△MG 是等边三角形， ∴GM=G=M，∠MG=∠MG=60°， ∵∠BGF=60°， ∴∠BGF=∠MG， ∴∠MGF=∠GB， ∵∠GMF=120°， ∴∠GMF=∠GB， 在△GMF 和△GB 中， ， ∴△GMF≌△GB(S)， ∴MF=B，∴MF=， ∵F=M+MF， ∴F=G+． 12．阅读下列材料： 阳阳同学遇到这样一个问题：如图1，在 中 ， 是 的高， 是 边上一点， 、 分别与直线 ， 垂直，垂足分别为点 、 ． 求证： ． 阳阳发现，连接 ，有 ，即 ．由 ，可得 ． 他又画出了当点 在 的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2 所示， 他猜想此时 、 、 之间的数量关系是： ． 请回答： (1)请补全阳阳同学证明猜想的过程； 证明：连接 ． ________， ________ ________． ， ． (2)参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题： 在 中， ， 是 的高． 是 所在平面上一点， 、 、 分别与直线 、 、 垂直，垂足分别为点 、 、 ． ①如图3，若点 在 的内部，猜想 、 、 、 之间的数量关系并写出推 理过程． ②若点 在如图4 所示的位置，利用图4 探究得此时 、 、 、 之间的数量关 系是：_______．(直接写出结论即可) 【答】(1)S△PB；P；PM；(2)①BD＝PM＋P＋PQ，证明见解析②BD＝PM＋PQ−P． 【详解】解：(1)证明：连接P． ∵S△B＝S△P−S△PB， ∴ •BD＝ •P− B•PM． ∵B＝， ∴BD＝P−PM． 故答为：S△PB；P；PM； (2)①BD＝PM＋P＋PQ； 如图3，连接P、BP、P， ∵S△B＝S△P＋S△PB＋S△BP ∴ •BD＝ •P＋ B•PM＋ B•PQ， ∵B＝＝B， ∴BD＝PM＋P＋PQ； ②BD＝PM＋PQ−P； 如图4，连接P、BP、P， ∵S△B＝S△PB＋S△BP−S△P． ∴ •BD＝ B•PM＋ B•PQ− •P， ∵B＝＝B， ∴BD＝PM＋PQ−P． 13．如图，在△B 中，∠B 的平分线BD 交∠B 的平分线E 于点． (1)求证： ． (2)如图1，若∠=60°，请直接写出BE，D，B 的数量关系． (3)如图2，∠=90°，F 是ED 的中点，连接F． ①求证：B−BE−D=2F． ②延长F 交B 于点G，若F=2，△DE 的面积为10，直接写出G 的长． 【答】(1)见解析 (2)BE+D=B， (3)①见解析；② 【解析】(1) 证明：∵BD 平分∠B，E 平分∠B， ∴∠B= ∠B，∠B= ∠B， ∴∠B=180°−(∠B+∠B) =180°− (∠B+∠B) =180°− (180°− ) ∠ = +90° ∠ ； (2) 解：BE+D=B． 在B 上截取BM=BE，连接M，如图： ∵∠B= +90°=120° ∠ ， ∴∠BE=60°， ∵BD 平分∠B， ∴∠EB=∠MB， ∴△BE≌△BM， ∴∠BE=∠BM=60°， ∴∠M=∠D=60°， ∵为∠DM 的角平分线， ∴∠D=∠M， 在△D 与△M 中， ， ∴△D≌△M (S)， ∴M=D， ∴B=BM+M=BE+D； (3) ①证明：如图，延长F 到点M，使MF=F，连接EM， ∴M=2F． ∵F 是ED 的中点， ∴EF=DF， ∵∠DF=∠EFM， ∴△DF≌△MEF(SS)， ∴D=EM． 过点作E，BD 的垂线，分别交B 于点K，， ∴∠K+∠K=90°． =90° ∵∠ ， ∴∠E+∠E=90° ∵∠E=∠K， ∴∠E=∠K， ∴∠BE=∠BK， ∴△BE≌△BK(S)， 同理可得△D≌△， ∴E=K，D==EM，BE=BK，D=． 由(1)可知∠DE=∠B= ×90°+90°=135°， ∴∠BE=∠D=45°， ∴∠EM=∠K=45°， ∴△ME≌△K， ∴K=M， ∴K=2F． ∵B−BK−=K=2E， ∴B−BE−D=K=2F； ②解：∵△ME≌△K， ∴∠EM=∠K， ∴FG⊥B． 由①可知K=2F=4，△DF≌△MEF， ∴S△DE=S△ME=S△K=10， ∴K×G× =10， ∴G=5． 14．在 中， ，直线 经过点，且 于D， 于E， (1)当直线 绕点旋转到图1 的位置时，显然有： (不必证明)； (2)当直线 绕点旋转到图2 的位置时，求证： ； (3)当直线 绕点旋转到图3 的位置时，试问 、 、 具有怎样的等量关系？请直 接写出这个等量关系． 【答】(1)见解析；(2)见解析；(3)DE=BE-D 【详解】解：(1)∵△B 中，∠B=90°， ∴∠D+∠BE=90°， 又直线M 经过点，且D⊥M 于D，BE⊥M 于E， ∴∠D=∠EB=90° ∴∠D+∠D=90°， ∴∠BE=∠D， 在△D 和△EB 中， ， ∴△D≌△EB(S)， ∴D=BE，E=D， ∴DE=D+E=D+BE； (2)∵△B 中，∠B=90°，直线M 经过点，且D⊥M 于D，BE⊥M 于E， ∴∠D=∠EB=90°，∠D+∠BE=∠BE+∠BE=90°， 而=B， ∴△D≌△EB， ∴D=BE，E=D， ∴DE=E-D=D-BE； (3)如图3， ∵△B 中，∠B=90°，直线M 经过点，且D⊥M 于D，BE⊥M 于E， ∴∠D=∠EB=90°，∠D+∠BE=∠BE+∠BE=90°， ∴∠D=∠BE， = ∵B， ∴△D≌△EB， ∴D=BE，E=D， ∴DE=D-E=BE-D； DE、D、BE 之间的关系为DE=BE-D． 15．在 中， ， ， 为直线 上一点，连接 ，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，在直线 上截取 ，连接 ． (1)当点 ， 都在线段 上时，如图①，求证： ； (2)当点 在线段 的延长线上，点 在线段 的延长线上时，如图②；当点 在线段 的延长线上，点 在线段 的延长线上时，如图③，直接写出线段 ， ， 之间的数量关系，不需要证明． 【答】(1)见解析；(2)图②： ；图③： 【详解】(1)证明：如图，过点 作 交 的延长线于点 ． 0 ∴ ． ∵ ， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 在 和 中， ∴ ． ∴ ， ． ∵ ， ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∵ ， ， ∴ ． 在 和 中， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． (2)图②： ． 证明：过点 作 交 于点 ． ∴ ． ∵ ， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 在 和 中， ∴ ． ∴ ， ． ∵ ， ， ∴ ． ∴ ， ∵ ∴ ． ∴ ． ∵ ， ， ∴ ． 在 和 中， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． 图③： ． 证明：如图，过点 作 交 的延长线于点 ． ∴ ． ∵ ， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 在 和 中， ∴ ． ∴ ， ． ∵ ， ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∵ ， ， ∴ ． 在 和 中， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ．