期末考试压轴题考点训练1（教师版）

期末考试压轴题考点训练(一) 1．若关于x 的分式方程 有正整数解，则整数m 的值是( ) ．3 B．5 ．3 或5 D．3 或4 【答】D 【详解】解： ， 两边同时乘以 得： ， 去括号得： ， 移项得： ， 合并同类项得： ， 系数化为1 得： ， 若m 为整数，且分式方程有正整数解，则 或 ， 当 时， 是原分式方程的解； 当 时， 是原分式方程的解； 故选：D． 2．在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时v1千米，下坡时的速度为每小时v2千 米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时( ) ． 千米 B． 千米 ． 千米 D．无法确定 【答】 【详解】平均速度=总路程÷总时间，题中没有单程，可设单程为1，那么总路程为2． 依题意得：2÷( )=2÷ = 千米． 故选． 3．已知关于x 的分式方程 无解，且关于y 的不等式组 有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m 的乘积为( ) ．1 B．2 ．4 D．8 【答】B 【详解】解：分式方程去分母得： ， 整理得： ， 分式方程无解的情况有两种， 情况一：整式方程无解时，即 时，方程无解， ∴ ； 情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2 或x=6， ①当x=2 时，代入 ，得： 解得：得m=4． ②当x=6 时，代入 ，得： ， 解得：得m=2． 综合两种情况得，当m=4 或m=2 或 ，分式方程无解； 解不等式 ， 得： 根据题意该不等式有且只有三个偶数解， ∴不等式组有且只有的三个偶数解为−8，−6，−4， −4< ∴ m−4≤−2， 0< ∴ m≤2， 综上所述当m=2 或 时符合题目中所有要求， ∴符合条件的整数m 的乘积为2×1=2． 故选B． 4．如图所示，在四边形BD 中， ， ， ， ，在D 上找一点P，使 的值最小；则 的最小值为( ) ．4 B．3 ．5 D．6 【答】 【详解】解∶如图，延长D 至'，使'D=D， ∵∠D=90°，'D=D，∴点'与点关于D 对称， 连接'B 交D 于P'，此时P''+BP'=B'最小， = ∵∠∠D=90°，∴D//B， '= ∴∠∠B'，∠B'=180°-∠B= 120°， ' ∵D=D，∠D=90°，∴' =2D， ∵B=2D，∴' =B， '= ∴∠∠B'，∴∠'=∠B'=∠B'=30°， 过点B 作BE⊥D 交D 的延长线于E，则BE=D=2， 在Rt△BE'中，∠'=30°， BE=2，∴B' =2BE=4，即PB+ P 的值最小值为4， 故选∶． 5．如图，点 在线段 上， 于 ， 于 ． ，且 ， ，点 以 的速度沿 向终点 运动，同时点 以 的速度从 开始，在线段 上往返运动(即沿 运动)，当点 到达终点时， ， 同时停止运动．过 ， 分别作 的垂线，垂足为 ， ．设运动时间为 ，当以 ， ， 为顶点的三角形与 全等时，的值为( ) ．1 或3 B．1 或 ．1 或 或 D．1 或 或5 【答】 【详解】解：当点P 在上，点Q 在E 上时， ∵以P，，M 为顶点的三角形与△Q 全等， ∴P＝Q， 5−2 ∴ t＝6−3t， ∴t＝1， 当点P 在上，点Q 第一次从点返回时， ∵以P，，M 为顶点的三角形与△Q 全等， ∴P＝Q， 5−2 ∴ t＝3t−6， ∴t＝ ， 当点P 在E 上，点Q 第一次从E 点返回时， ∵以P，，M 为顶点的三角形与△Q 全等， ∴P＝Q， 2 ∴t−5＝18−3t， ∴t＝ 综上所述：t 的值为1 或或 或 故选：． 6．如图，在 中，点D 是B 边上一点，已知 ， ，E 平分 交B 于点E，连接DE，则 的度数为( ) ． B． ． D． 【答】B 【详解】解：过点E 作 于M， 于， 于，如图， ∵ ， ， ∴ ， ∴ 平分 ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ 平分 ， ∴ ， ∵由三角形外角可得： ， ， ∴ ， 而 ， ∴ ． 故选：B． 7．如图，=B，D=E，∠B= DE=50° ∠ ，D、BE 交于点，连接，则∠E=_______． 【答】65° 【详解】解：如图， ， ， 在 和 中， ； 过点 作 于 ， 于 ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 在 与 中 ， ， 平分 ； ， ， ， ， ， ， 故答为： ． 8．如图，三角形B 中，BD 平分 ，若 ，则 _______． 【答】8 【详解】解：如图，延长D 交B 与点E， ∵BD 平分 ∴ ∵BD=BD ∴ ∴B=BE ∴ ∵ ∴ ∴ ∵D=DE， ∴ ∴ 故答为：8． 9．把一张长方形纸条BD 沿EF 折叠成图①，再沿F 折叠成图②，若∠DEF＝β(0°＜β＜ 90°)，用β 表示∠''FE，则∠''FE＝_______． 【答】 【详解】 四边形 为长方形， ， ， ， 方形纸条 沿 折叠成图①， ， ， 长方形 沿 折叠成图②， ， ． 故答为： ． 10．已知 ，则代数式 的值是__________ 【答】1 【详解】∵ ∴ ，则 ， 将 代入，得： 故答为1 11．如图，四边形 是矩形，延长 到点 ，使 ，连接 ，点 是 的 中点，连接 ， ，得到 ；点 是 的中点，连接 ， ，得到 ； 点 是 的中点，连接 ， ，得到 ；…；按照此规律继续进行下去，若矩形 的面积等于2，则 的面积为_________．(用含正整数 的式子表示) 【答】 【详解】解：∵ ， ∴ 面积是矩形BD 面积的一半，∴梯形BDE 的面积为 ， ∵点 是 的中点，∴ ∴ ， ， ∴ ， ∵点 是 的中点，由中线平分所在三角形的面积可知， ∴ ， 且 ， ∴ ∴ ， 同理可以计算出： ， 且 ， ∴ ， ∴ ， 故 、 、 的面积分别为： ， 观察规律，其分母分别为2,4,8，符合 ，分子规律为 ， ∴ 的面积为 ． 故答为： ． 12．已知 中， ，在B 边上有一点D，若D 将 分为两个等腰三角形， 则 ________． 【答】100°，70°，40°或者10° 【详解】第一种请况：BD=D 时，如图， ∵BD=D，∠B=20°， ∴∠B=∠DB=20°， ∴∠D=∠B+∠DB=40°， (1)当D=D 时，∠=∠D， + ∵∠∠D+∠D=180°，∠D=40°， = ∴∠∠D=70°； (2)当D=时，即有∠D=∠D=40°， =180°- ∴∠ ∠D-∠D=100°； (3)当D=时，∠=∠D=40°； 第二种请况：B=D 时，如图， ∵∠B=20°，B=D， ∴∠B=∠BD=20°， ∴∠D=180°-∠BD=160°， ∵△D 是等腰三角形， ∴有∠=∠D， + ∵∠∠D+∠D=180°， =10° ∴∠ ； 第三种情况：B=BD 时，如图， ∵B=BD， ∴∠BD=∠BD， ∵∠B=20°，∠B+∠BD+∠BD=180°， ∴∠BD=∠BD=80°， ∴∠D=180°-∠BD=100°， ∵△D 是等腰三角形， ∴有∠=∠D， + ∵∠∠D+∠D=180°， =40° ∴∠ ； 综上所述：∠的度数为：70°，100°，40°，10°， 故答为：70°，100°，40°，10°． 13．(1)如图1，在等边三角形B 中，D⊥B 于D，E⊥B 于E，D 与E 相交于点．求证： =2D； (2)如图2，若点G 是线段D 上一点，G 平分∠BE，∠BGF=60°，GF 交E 所在直线于点F． 求证：GB=GF． (3)如图3，若点G 是线段上一点(不与点重合)，连接BG，在BG 下方作∠BGF=60°边GF 交 E 所在直线于点F．猜想：G、F、三条线段之间的数量关系，并证明． 【答】(1)证明过程见解答；(2)证明过程见解答；(3) ，理由见解答． 【详解】证明：(1) 为等边三角形， ， ， ， ， 平分 ， 平分 ， ， ， 在 中， ， ， ， ； (2)证明： ， ， ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ； (3)解： ．理由如下： 连接 ，在 上截取 ，连接 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ． 14．(1)如图①，在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 上的点，且 ．请直接写出线段 ， ， 之间的数量关系：______ ____； (2)如图②，在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 上的点，且 ，(1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 所在直线 上的点，且 ．请画出图形(除图②外)，并直接写出线段 ， ， 之间 的数量关系． 【答】(1) ；(2)成立，理由见解析；(3)图形见解析， 【详解】(1)延长 至 ，使 ，连接 ， ∵ ， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ∵ ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 故答为： ( )( )中的结论仍成立， 证明：延长 至 ，使 ， ∵ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， , ∵ ， ∴ ， ∴ 即 ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ，即 ． ( ) ， 证明：在 上截取 使 ， 连接 ， ∵ ， ， ∴ ， ∵在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 15．问题背景：定义：四边形 ， ， ， ， 分别是直线 ， 直线 上的一点，若 ，则称四边形 是 的“等腰倍角四边 形”． 如图1，四边形 是 的“等腰倍角四边形”， 在四边形 内部，探 究图中线段 ， ， 之间的数量关系． (1)小慧同学探究此问题的方法是：延长 到点 ，使 ．连结 ，先证明 ，再证明 ，可得出结论，她的结论应是 ． (2)探索延伸：如图2，四边形 是 的“等腰倍角四边形”， 有一部分在 四边形 外部，上述结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请求出相 应的结论(写出过程)． (3)实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心( 处)北偏东60°的 处，舰 艇乙在指挥中心南偏西20°的 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后， 舰艇甲向正南方向以60 海里/小时的速度前进，舰艇乙沿南偏东40°的方向 以一定速度前 进2 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 ， 处，且两舰艇之间的夹角为 70°，此时两舰艇之间的距离为280 海里．试求舰艇乙前进的速度． 【答】(1) ；(2)不成立， ；(3)80 海里/小时 【详解】(1)证明：如图1，延长 到点 ，使 ，连结 ， ∵ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ (SS)， ∴BE＝DG，E＝G，∠BE＝DG， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵F＝F，E＝G， ∴ (SS)， ∴EF＝GF， ∴EF＝GF＝DF＋DG＝DF＋BE， 故答为： ； (2)不成立，正确的结论为： ； 证明：如图2，在DF 上截取DG＝BE， ∵ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ (SS)，∴E＝G，∠BE＝DG， ∵ ，∴ ，∴ ， 又∵F＝F，E＝G，∴ (SS)， ∴EF＝GF，∴DF＝DG＋GF＝BE＋EF， 即 ； (3)如图3，点G 在y 轴正半轴上，B 交y 轴负半轴于点，E 交x 轴于点K，过点B 作D∥y 轴， 连接EF，由题意得：∠E＝∠G＝60°，∠B＝∠B＝20°，∠DBF＝40°，＝B， ∴∠K＝30°，∠BF＝180°－∠B－∠DBF＝120°，∴∠E＋∠BF＝180°， ∵∠B＝∠K＋∠K＋∠B＝140°，∠EF＝70°，∴∠EF＝ ∠B， 延长E 到点M，使M＝BF，同(1)可得：EF＝BF＋E， ∵EF＝280 海里，E＝60×2＝120 海里，∴BF＝280－120＝160 海里， ∴舰艇乙前进的速度为：160÷2＝80 海里/小时．