期中考试压轴题考点训练2（教师版）

期中考试压轴题考点训练(二) 1．将长为2、宽为(大于1 且小于2)的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一 个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式 折叠并压平，剪下个边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下 去…，若在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当＝3 时，的值为( ) ．18 或15 B．15 或12 ．15 D．12 【答】B 【详解】解：第1 次操作，剪下的正方形边长为，剩下的长方形的长宽分别为、2﹣，由1 ＜＜2，得＞2﹣；第2 次操作，剪下的正方形边长为2﹣，所以剩下的长方形的两边分别 为2﹣、﹣(2 ) ﹣＝2 2 ﹣， ①当2 2 ﹣＜2﹣，即＜ 时， 则第3 次操作时，剪下的正方形边长为2 2 ﹣，剩下的长方形的两边分别为2 2 ﹣、(2 ) (2 ﹣﹣ 2) ﹣ ＝4 3 ﹣，则2 2 ﹣＝4 3 ﹣，解得＝12； ②2 2 ﹣＞2﹣，即＞ 时 则第3 次操作时，剪下的正方形边长为2﹣，剩下的长方形的两边分别为2﹣、(2 2) (2 ﹣ ﹣ ) ﹣＝3 4 ﹣，则2﹣＝3 4 ﹣，解得＝15．故选：B． 2．如图是一个正方体，小敏同学经过研究得到如下5 个结论，正确的结论有( )个 ①用剪刀沿着它的棱剪开这个纸盒，至少要剪7 刀，才能展开成平面图形；②用一平面 去截这个正方体得到的截面是三角形B，则∠B=45°；③一只蚂蚁在一个实心正方体木块P 点处想沿着表面爬到点最近的路只有4 条；④用一平面去截这个正方体得到的截面可能是 八边形；⑤正方体平面展开图有11 种不同的图形． ．1 B．2 ．3 D．4 【答】B 【详解】解：(1)B、B、均是相同正方形的对角线，故B=B=，△B 是等边三角形，∠B=60°， ②错误； (2)用一平面去截棱柱，截面最多是(+2)边形，正方体是四棱柱，所以截面最多是六边形， ④错误； (3)正方体的展开图只有11 种，⑤正确； (4)正方体的11 种展开图，六个小正方形均是一连一关系，即必须是5 条边相连，正方体有 12 条棱，所以要剪12-5=7 条棱，才能把正方体展开成平面图形，①正确； (5)正方体有六个面，P 点属于“前、左、下面”这三个面，所以从P 到，可以走“前+上、 前+右、左+上、左+后、下+右、下+后”这六处组合的面，这其中任何一个组合的两个面展 开均是相同的长方形，而P 到的最短路线是这个长方形的对角线，这些对角线均相等，故 从P 到的最短路线有6 条；③错误． 综上所述，正确的选项是①⑤， 故选B 3．如图，在矩形 中， ， ，动点 满足 ，则点 到 、 两点距离之和 的最小值为( ) ． B． ． D． 【答】D 【详解】解：设△PB 的B 边上的高为 ∵ ∴ =2 ∴ 表明点P 在平行于B 的直线EF 上运动，且两平行线间的距离为2，如图所示 ∴BF=2 ∵四边形BD 为矩形 ∴B=D=3，∠B=90゜ ∴F=B-BF=3-2=1 延长F 到G，使G=F=1，连接G 交EF 于点 ∴BF=FG=2 ∵EF∥B ∴∠EFG=∠B=90゜ ∴EF 是线段BG 的垂直平分线 ∴PG=PB ∵P+PB=P+PG≥G ∴当点P 与点重合时，P+PB 取得最小值G 在Rt△GB 中，B=5，BG=2BF=4，由勾股定理得： 即P+PB 的最小值为 故选：D． 4．如图所示，在平面直角坐标系中，(0，0)，B(2，0)， 是等腰直角三角形且 ，把 绕点B 顺时针旋转180°，得到 ，把 绕点顺时针旋转 180°，得到 ，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点 的坐标为( ) ．(4043，－1) B．(4043，1) ．(2022，－1) D．(2022，1) 【答】 【详解】解：过点P1作P1M⊥x 轴于M， ∵ , ， 是等腰直角三角形且 ，P1M⊥x 轴， ∴M=BM= ， ∴M 为 的中点， 在 中， ，M 为 的中点， ∴P1M= =1， ∴点P1的坐标为(1,1)其中横坐标为：2×1－1, 纵坐标为： ， 同理可得点P2的坐标为(3,-1)其中横坐标为： 纵坐标为： ， 点P3的坐标为(5,1)其中横坐标为：2×3－1, 纵坐标为： ， 点P4的坐标为(7,-1)其中横坐标为：2×4－1, 纵坐标为： ， ∴点P 的坐标为 ， ∴点 的坐标为 ， 即 ．故选：． 5．如图，D 是△B 的角平分线，DF⊥B，垂足为F，且DE＝DG，则∠ED＋∠GD 和是( ) ．180° B．200° ．210° D．240° 【答】 【详解】解：过 点作 于 ，如图， 是 的角平分线， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ． 故选：． 6．如图，在四边形 中， 于 ， 则 的长为__________ 【答】 【详解】解：过点B 作 交D 的延长线交于点F，如右图所示， ∵ ， ， ∴ ≌ ， ， ， 即 ， ， 故答为 ． 7．在等边△B 中，E 是∠B 的平分线上一点，∠EB＝105°，点P 在△B 上，若E＝EP，则∠EP 的度数为______． 【答】 或 【详解】解：根据题意作出图形，如图所示， ∵BE 平分∠B， ∴∠BE=∠BE=30°， ∵∠EB=105°， ∴∠BE=45°． 当E=EP 且点P 在边B 上时， ∴∠EB=∠PE=45°， ∴∠EP=90°； 当 且点 在边B 上时， 连接E， ∵BD 垂直平分， ∴E== ， ∴∠ED=∠ED=15°， ∴ ∴ ∴ ∴ ． 故答为：90°或120°． 8．如图，在△B 中，∠＝54°，∠＝76°，D 为B 中点，点P 在上从向运动；同时，点Q 在B 上从B 向运动，当∠PDQ＝_________时，△PDQ 的周长最小． 【答】28° 【详解】过点D 作DF⊥B 于，并截取F＝D，过点D 作DE⊥于M，并截取ME＝DM，连 接EF，则EF 的长为△PDQ 的最小值， 根据作图知：垂直平分DE，B 垂直平分DF， ∴DQ＝FQ，PD＝PE， ∴DQ+DP+PQ＝FQ+PE+PQ， 根据两点之间线段最短，所以EF 的长是△PDQ 的最小值， 此时有：∠FDQ ∠DQP，∠MDP ∠DPQ， 在△B 中有∠＝54°，∠＝76°， ∴∠B＝180°－∠－∠ ＝50°， ∴∠BD＝40°，∠DM＝36°， ∴∠PDQ＝180°﹣∠BD﹣∠DM﹣∠FDQ﹣∠MDP ＝180° 40° 36° ﹣ ﹣ (∠DQP+∠DPQ) ＝104° (180°﹣∠PDQ) ＝104° 90° ﹣ ∠PDQ， 解得：∠PDQ＝28°． 故当∠PDQ＝28°时，△PDQ 的周长最小． 故答为：28° 9．如图，在 中， ，D、E 是 内两点．D 平分 ， ，若 ，则 ______m． 【答】10 【详解】解；过点E 作 ，垂足为F，延长D 到，交B 于点，过点D 作 ， 垂足为G． ， ， ， ， ， ， ． 又 ， ， ，D 平分 ， ，且 ． ， ， ， 四边形DGF 是矩形． ． 故答为：10 10．如图，在 中， ， 、 分别平分 、 ，M、、Q 分别在 、 、 的延长线上， 、 分别平分 、 ， 、 分别平分 、 ，则 _______． 【答】52° 【详解】解： 、 分别平分 、 ， ， ， ， ， 即 ， ， ， 、 分别平分 、 ， ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， 、 分别平分 、 ， ， ， ∴ ， ， 故答为：52°． 11．如图，在△B 中，∠B 的平分线BD 交∠B 的平分线E 于点． (1)求证： ． (2)如图1，若∠=60°，请直接写出BE，D，B 的数量关系． (3)如图2，∠=90°，F 是ED 的中点，连接F． ①求证：B−BE−D=2F． ②延长F 交B 于点G，若F=2，△DE 的面积为10，直接写出G 的长． 【答】(1)见解析 (2)BE+D=B， (3)①见解析；② 【解析】(1) 证明：∵BD 平分∠B，E 平分∠B， ∴∠B= ∠B，∠B= ∠B， ∴∠B=180°−(∠B+∠B) =180°− (∠B+∠B) =180°− (180°− ) ∠ = +90° ∠ ； (2) 解：BE+D=B． 在B 上截取BM=BE，连接M，如图： ∵∠B= +90°=120° ∠ ， ∴∠BE=60°， ∵BD 平分∠B， ∴∠EB=∠MB， ∴△BE≌△BM， ∴∠BE=∠BM=60°， ∴∠M=∠D=60°， ∵为∠DM 的角平分线， ∴∠D=∠M， 在△D 与△M 中， ， ∴△D≌△M (S)， ∴M=D， ∴B=BM+M=BE+D； (3) ①证明：如图，延长F 到点M，使MF=F，连接EM， ∴M=2F． ∵F 是ED 的中点， ∴EF=DF， ∵∠DF=∠EFM， ∴△DF≌△MEF(SS)， ∴D=EM． 过点作E，BD 的垂线，分别交B 于点K，， ∴∠K+∠K=90°． =90° ∵∠ ， ∴∠E+∠E=90° ∵∠E=∠K， ∴∠E=∠K， ∴∠BE=∠BK， ∴△BE≌△BK(S)， 同理可得△D≌△， ∴E=K，D==EM，BE=BK，D=． 由(1)可知∠DE=∠B= ×90°+90°=135°， ∴∠BE=∠D=45°， ∴∠EM=∠K=45°， ∴△ME≌△K， ∴K=M， ∴K=2F． ∵B−BK−=K=2E， ∴B−BE−D=K=2F； ②解：∵△ME≌△K， ∴∠EM=∠K， ∴FG⊥B． 由①可知K=2F=4，△DF≌△MEF， ∴S△DE=S△ME=S△K=10， ∴K×G× =10， ∴G=5． 12．如图1，等腰Rt△B 中，∠B＝90°，B＝，D，E 分别是和B 上的动点，BD⊥E，垂足为 F． (1)求证∠E=∠BD； (2)连接DE，满足∠EB=∠DE，求证：BD=DE+E； (3)点G 在BD 的延长线上，连接EG，满足∠EB=∠GE，试写出E，EG，BG 之间的数量关 系，并证明． 【答】(1)见解析 (2)见解析 (3)BG=E+EG，见解析 【解析】(1) 证明：∵BD⊥F， ∴∠BF=90°， ∵∠E+∠BF=90°，∠BD+∠BF=90° ∴∠E=∠BD． (2) 证明：如图，作M⊥D 于点，M 交E 的延长线于点M 由①知，∠E=∠BD 在△BD 和△M 中， ， ∴△BD≌△M(S) ∴BD=M， ∵∠EB=∠EM， ∴∠DE=∠EM， 又∵∠B=45° ∴∠ME=45° 在△ED 和△EM 中， ， ∴△ED≌△EM(S) ∴EM=ED， ∵M=E+EM， ∴BD=DE+E． (3) 证明：如图，延长E 至点，作E=EG， ∵∠EB =∠GE，∠EB =∠E， ∴∠GE =∠E， ∴∠BEG =∠BE， 在△BEG 和△BE 中， ∴△BEG≌△BE(SS)， ∴B=BG，∠GB =∠B， ∵∠GB =45°－∠BD， ∴∠B =90°－∠BD， ∵∠B =90°－∠E，且∠BD =∠E， ∴∠B =∠B， = ∴B=BG， = ∵E+E=E+EG ∴BG=E+EG． 13．如图1，在等边三角形 中， 于 于 与 相交于点 ． (1)求证： ； (2)如图2，若点 是线段 上一点， 平分 交 所在直线于点 ．求证： ． (3)如图3，若点 是线段 上一点(不与点 重合)，连接 ，在 下方作 边 交 所在直线于点 ．猜想： 三条线段之间的数量关系，并证明． 【答】(1)见解析；(2)见解析；(3)F=G+，理由见解析 【详解】解：(1)证明：∵△B 为等边三角形， ∴B=B=，∠B=∠B=60°， ∵D⊥B，E⊥B， ∴D 平分∠B，E 平分∠B， = ∴∠∠B= = ∠∠B=30°， = ∴， 在Rt△D 中，∠D=90°，∠D=30°， =2 ∴ D， =2 ∴ D； (2)证明：∵B==B，D⊥B， ∴BD=D， ∴BG=G， ∴∠GB=∠GB， ∵G 平分∠BE， ∴∠FG=∠BG= ∠BF=15°， ∴∠BG=150°， ∵∠BGF=60°， ∴∠FG=360°-∠BG-∠BGF=150°， ∴∠BG=∠FG， 在△GB 和△GF 中， ， ∴△GB≌△GF(S)， ∴GB=GF； (3)解：F=G+．理由如下： 连接B，在F 上截取M=G，连接GM， = ∵B，E⊥B， ∴E=BE， = ∴B， ∴∠B=∠B=30°， ∴∠B=120°，∠M=∠BM=60°， ∵M=G， ∴△MG 是等边三角形， ∴GM=G=M，∠MG=∠MG=60°， ∵∠BGF=60°， ∴∠BGF=∠MG， ∴∠MGF=∠GB， ∵∠GMF=120°， ∴∠GMF=∠GB， 在△GMF 和△GB 中， ， ∴△GMF≌△GB(S)， ∴MF=B， ∴MF=， ∵F=M+MF， ∴F=G+． 14．△B 为等腰直角三角形，∠B＝90°，点D 在B 边上(不与点、B 重合)，以D 为腰作等腰 直角△DE，∠DE＝90°． (1)如图1，作EF⊥B 于F，求证：△DB≌△FE； (2)在图1 中，连接E 交B 于M，如图2，求 的值； (3)如图，3，过点E 作E⊥E 交B 的延长线于点，过点D 作DG⊥D，交于点G，连接G，当 点D 在边B 上运动时，探究线段E，G 与DG 之间的数量关系，并证明你的结论． 【答】(1)见解析；(2)2；(3)E=G+GD，证明见解析 【解析】(1) 证明：∵△DE 为等腰直角三角形，∠DE=90°． ∴D=E，∠DB+∠EF=90°， ∵EF⊥B， ∴∠EF+∠EF=90°， ∴∠DB=∠EF， 在△DB 和△EF 中， ∴△DB≌△FE(S)； (2) ∵△DB≌△FE， ∴BD=F，B=EF， ∵△B 为等腰直角三角形， ∴B=B， ∴B=EF，D=BF， 在△BM 和△EFM 中， ∴△BM≌△EFM(S) ∴BM=FM， ∴BF=2BM， ∴D=2BM， ∴ 的值为2； (3) 解：E=G+GD， 在E 上截取EQ=DG，如图， 在△DG 和△EQ 中 ∴△DG≌△EQ(SS)，∴G=Q，∠DG=∠EQ， ∵∠DG+∠DB=45°，∴∠EQ+∠DB=45°， 而∠DE=90°，∴∠Q=45°，∴∠Q=∠G， 在△G 和△Q 中， ∴△G≌△Q(SS)，∴G=Q，∴E=Q+QE=G+DG． 15．在数学活动课上，王老师要求学生将图1 所示的3×3 正方形方格纸，剪掉其中两个方 格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2 的四 幅图就视为同一种设计方(阴影部分为要剪掉部分) 请在图中画出4 种不同的设计方，将每种方中要剪掉的两个方格涂黑(每个3×3 的正方形方 格画一种，例图除外) 【答】见解析 【分析】根据轴对称图形和旋转对称图形的概念作图即可得． 【详解】解：根据剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形；即如图所示：